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2011届广州市花都区高三年级调研考试理科数学


广东省广州市花都区 2011 届高三年级调研考试

数学试题(理)
考试时间 120分钟 一、选择题(每小题5分,共40分) 1.已知集合 A ? {2,3} ,则集合 A 的子集个数是 A.1个 2.已知数列 B.2个 C.3个 ( ) 满分150分

D.4个 ( )

{an } 满足 2an?1 ? a

n ? 0 (n ? N ? ) ,则数列 {an } 一定是

1 A.公差为 2 的等差数列 1 C.公比为 2 的等比数列

B.公差为 2 的等差数列

D.公比为 2 的等比数列

1 ? y ? sin( ? x ? ), (? ? 0) 2 6 3.函数 的最小正周期是 4? ,则 ? ? 1 A. 4 1 B. 2





C. 1

D. 2

4.如图,一个空间几何体的正视图、侧视图、俯视图为全等的等腰 直角三角形,如果直角三角形的直角边长为2,那么这个几何体 的体积为 ( )

1 A. 3 4 C. 3

2 B. 3

D. 2

5.已知函数 y ? f ( x) 在定义域 [?4, 6] 内可导,其导函数 y ? f '( x) 的图象如右图,则函数

y ? f ( x) 的单调递增区间为
4 11 [?4, ? ],[1, ] 3 3 A. 7 [?3, 0],[ ,5] 3 B.





]

4 11 [ ? ,1],[ , 6] 3 C. 3 7 [?4, ?3],[0, ],[5, 6] 3 D.
6. 为了解一片经济树林的生长情况, 随机测量了其中100株树 木的底部周长(单位:cm) ,根据所得数据画出样本的频 率分布直方图如图所示.那么在这100株树木中,底部周 长小于110cm的株数n是 ( ) A.30 B.60 C.70 D.80

??? ??? ??? ? ? ? ??? ??? ? ? OA, OB, OC, 其中 OA 与 OB 的 7.如图,平面内有三个向量

??? ??? ??? ??? ? ? ? ? OA 与 OC 、 OB 与 OC 的夹角都为30°, 夹角为60°, ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? OA ∣=∣ OB ∣=1, ∣ OC ∣= 2 3 ,若 OC = ? OA + ? OB , 且∣
则 ? ? ? 的值为 A.4 B. 3 3 C. 2 3 D.2 ( )

f ( x) ?0 f ( x) 在 (0, ??) 上是减函数,且 f (?1) ? 0 ,则不等式 x 8.奇函数 的解集为(
A. (??, ?1) ? (1, ??) C. (?1, 0) ? (1, ??) 二、填空题(每小题5分,共30分) B. (??, ?1) ? (0,1) D. (?1,0) ? (0,1)



? ? ? ? a ? (3 ? x, 2), b ? (1, 2x), 且 a ? b ,则 9.已知向量
x ? _______
10.已知函数 f ( x) ? a ? b(a ? 0) 的图象经过点 (2,3) 和原
x

点,则 f (?2) ? ____ . 11.若执行如右图所示的程序框图,则输出的 S = .

12. ?ABC 中, 在 已知 AB ? 4, BC ? 3, AC ? 37 ,则 ?ABC 的最大角 的大小为 .

13.在区间 [0,10] 上随机取两个实数 x , y ,则事件“ 2 x ? y ? 2 ”的概率为_____ 14 . 若 直 线 l : ax ? by ? 1 ? 0 始 终 平 分 圆 M : x ? y ? 4 x ? 2 y ? 1 ? 0 的 周 长 , 则
2 2

? a ? 2? ? ?b ? 2?
2

2

的最小值为_________.

三、解答题

f ( x) ? cos( x ?
15. (本题满分12分)已知 (1)求实数 k 的值;

?
3

) ? k sin x

? 3 f( )? 6 2 . ,且

(2)求函数 f ( x ) 的最大值和最小值.

16. (本题满分12分)某项竞赛分别为初赛、复赛、决赛三个阶段进行,每个阶段选手要 回答一个问题.规定正确回答问题者进入下一阶段竞赛,否则即遭淘汰.已知某选手通过初

3 1 1 , , 赛、复赛、决赛的概率分别是 4 2 4 ,且各阶段通过与否相互独立.
(1)求该选手在复赛阶段被淘汰的概率; (2)设该选手在竞赛中回答问题的个数为 ? ,求 ? 的分布列、数学期望和方差.

[

17. (本小题满分12分) 如图,在正方体 ABCD? A1 B1C1 D1 中, M , N 分别为棱 AB, BC 的 中点. (1)试判截面 MNC1 A1 的形状,并说明理由; (2)证明:平面 MNB1

? 平面 BDD1 B1 .

18. (本小题满分14分)等差数列

{an } 中, a1 ? 3 ,前 n 项和为 S n ,等比数列 {bn } 各项均
q? S2 b2

为正数, (1)求

b1 ? 1 ,且 b2 ? S2 ? 12 , {bn } 的公比

an 与 bn ;
{

1 } S n 的前 n 项和 (2)求数列

19. (本小题满分14分)已知函数 f ( x) ? a ln x ? bx 图象上一点 P (2, f (2)) 处的切线方程为
2

y ? ?3x ? 2 ln 2 ? 2 .
(1)求 a, b 的值;

1 [ , e] (2)若方程 f ( x) ? m ? 0 在 e 内有两个不等实根,求 m 的取值范围(其中 e 为自然
对数的底数) ;

20. (本小题满分14分) 在平面直角坐标系中, O 为坐标原点,已知两点 M (1, ?3), N (5,1) ,若动点 C 满足

???? ???? ? 2 NC ? t NM . 且点 C 的轨迹与抛物线 y ? 4x 交于 A, B 两点.

??? ??? ? ? OA ? OB ; (1)求证:
(2)在 x 轴上是否存在一点 P(m,0)(m ? 0) ,使得过点 P 的直线 l 交抛物线 y ? 4 x 于
2

D, E 两点, 并以线段 DE 为直径的圆都过原点。 若存在, 请求出 m 的值及圆心 M 的
轨迹方程;若不存在,请说明理由.

参考答案
一、选择题 题号 答案 二、填空题 9. ?1 10. ? 1 D 2 C 3 C 4 B 5 B 6 C 7 A 8 D

3 4

11. 420

12. 120?

13. 7

14. 5

三、解答题 15.解: (1)由已知 f ( ) ? cos

?

?
2

6

? k sin

?
6

?

3 ,得 k ? ? 3 --------4 分 2
--------5 分 -------6 分

(2) f ( x) ? cos( x ?

?
3

) ? 3 sin x

? cos x cos

?
3

? sin x sin

?
3

? 3 sin x

1 3 ? cos x ? sin x ? 3 sin x 2 2 ?

--------7 分

? 1 3 cos x ? sin x ? sin( x ? ) 6 2 2

--------9 分

?当 x ?

?
6

? 2k? ?

?
2

, k ? Z ,即 x ? 2k? ?

?
3

,k ?Z 时

--------11 分 --------12 分

函数 f ( x ) 的最大值为 1.

16.解: (1)记“该选手通过初赛”为事件A,“该选手通过复赛”为事件B,“该选手通过 决赛”为事件C,则

P( A) ?

3 1 1 , P( B) ? , P(C ) ? . 4 2 4 3 1 3 ? (1 ? ) ? 4 2 8.

那么该选手在复赛阶段被淘汰的概率

p ? p ( AB) ? P( A) P( B) ?

-------6分 -------7分

(2) ? 可能取值为1,2,3.

P(? ? 1) ? P( A) ? 1 ?

3 1 ? , 4 4

3 1 3 P(? ? 2) ? P( AB) ? P( A) P( B) ? ? (1 ? ) ? , 4 2 8 3 1 3 P(? ? 3) ? P( AB) ? P( A) P( B) ? ? ? . 4 2 8

? 的分布列为:

?
P

1

2

3

1 4

3 8

3 8
-------10分

? 的数学期望
E? ? 1 ? 1 3 3 17 ? 2 ? ? 3? ? . 4 8 8 8

-------11分

? 的方差
D? ? (1 ? 17 2 1 17 3 17 3 39 ) ? ? (2 ? ) 2 ? ? (3 ? ) 2 ? ? 8 4 8 8 8 8 64 .-------12分
--------2分

17.解: (1)截面MNC1A1是等腰梯形, 连接AC,因为M、N分别为棱AB、BC的中点, 所以MN//AC,MN≠AC 又

AC / / AC1,? MN / / AC1, 且MN ? AC1, ? MNC1 A1 是梯形,--------4分 1 1 1

1 易证 Rt?AMA

? Rt?CNC1 ,? A1M ? C1 N

--------6分 --------7分

? MNC1 A1 是等腰梯形
(2)正方体ABCD—A1B1C1D1中

[来源:ks5u.com]

AC ? BD, BB1 ? 平面ABCD, MN ? 平面ABCD, ? BB1 ? MN ,
--------9分

又MN // AC ,? MN ? BD, BD ? BB1 ? B,

?MN ? 平面BDD1 B1 , MN ? 平面B1MN

--------12分

? 平面MNB 1 ⊥平面BDD 1 B 1
(注:对建立空间坐标系完成的,请酌情评分) 18.解: (1)由已知可得

--------14分

?q ? 3 ? a2 ? 12 ? 3 ? a2 ? ?q ? q ?



--------3分

解方程组得, q ? 3 或 q ? ?4 (舍去) ,

a2 ? 6

--------5分 --------7分

? an ? 3 ? (n ? 1)3 ? 3n
(2)

bn ? 3n ?1

? Sn ?

n(3 ? 3n) 1 2 2 1 1 ? ? ? ( ? ) 2 S n n(3 ? 3n) 3 n n ? 1

--------10分

?

1 1 1 2 1 1 1 1 1 1 1 2 1 ? ?…? ? (1 ? ? ? ? ? ? … ? ? ) ? (1 ? ) S1 S 2 Sn 3 2 2 3 3 4 n n ?1 3 n ? 1 -14分

19.解: (1) a f ? ? x ? ? ? 2bx x ,
a f ? ? 2 ? ? ? 4b f ? 2 ? ? a ln 2 ? 4b 2 , . a ? 4b ? ?3 ∴2 ,且
a ln 2 ? 4b ? ?6 ? 2 ln 2 ? 2 .

--------2分 --------4分

--------6分 --------7分

解得 a ? 2, b ? 1 . (2) 令
f ? x ? ? 2 ln x ? x 2

, ,

--------8分

h ? x ? ? f ( x) ? m ? 2ln x ? x 2 ? m
h/ ? x ? ?



2 2(1 ? x 2 ) ? 2x ? h/ ? x ? ? 0 x x ,令 ,

得 x ? 1 ( x ? ?1 舍去) --------9分 . 当 x ? [1, e] 时, h ( x) ? 0 ,
/



h( x) 是减函数

--------11分

则方程 h( x) ? 0 在 e

1 [ , e]
内有两个不等实根的充要条件是

? 1 ? h( e ) ? 0, ? ? ? h(1) ? 0, ? h( e ) ? 0. ? ? ?

--------13分

解不等式组得 m 取值范围是

1? m ? 2?

1 e2 .

--------14分

20.解: (1)由 NC ? t NM . 知点 C 的轨迹是过 M , N 两点的直线, 故点 C 的轨迹方程是:

????

???? ?

--------1分

y?3?

1 ? (?3) ( x ? 1) 4 ,
--------3分

即 y ? x?4

?y ? x ? 4 ? ( x ? 4) 2 ? 4 x ? x 2 ? 12 x ? 16 ? 0 ? 2 ? y ? 4x
? x A xB ? 16, x A ? xB ? 12 y A yB ? ( x A ? 4)( xB ? 4) ? x A xB ? 4( x A ? xB ) ? 16 ? ?16.
--------5分

??? ??? ? ? OA ? OB ? xA xB ? yA yB ? 0 ,故 ??? ??? ? ? OA ? OB

--------7分
2

(2)假设存在 P(m,0)(m ? 0) ,使得过点 P 的直线 l 交抛物线 y ? 4 x 于 D, E 两点,并 以线段 DE 为直径的圆都过原点。 --------8分

D( x1 , y1 ), E( x2 , y2 ) , 由题 意, 直线 l 的 斜率不 为零 , 所以 ,可设 直线 l 的 方 程为
x ? ky ? m ,代入 y 2 ? 4 x, 得

y 2 ? 4ky ? 4m ? 0, ? ? 16(k 2 ? m) ? 0, 即 k 2 ? m ? 0,(?)
同时,

--------10分

y1 ? y2 ? 4k , y1 y2 ? ?4m

? x1 x2 ? (ky1 ? m)(ky2 ? m) ? k 2 y1 y2 ? km( y1 ? y2 ) ? m 2 ? m 2 .

--------12分

??? ??? ? ? OD ? OE ? x1x2 ? y1 y2 ? m2 ? 4m ? 0 则
又 m ? 0 ,解得 m ? 4 ,满足 (?) 式 此时,以 DE 为直径的圆都过原点, 设弦 DE 的中点为 M ( x, y )

x?

1 1 ( x1 ? x2 ), y ? ( y1 ? y2 ) 2 2

x1 ? x2 ? ky1 ? 4 ? ky2 ? 4 ? k ( y1 ? y2 ) ? 8 ? k ? (4k ) ? 8 ? 4k 2 ? 8

? x ? 2k 2 ? 4, ? 2 ? y ? 2k . 消去 k 得 y ? 2 x ? 8 ,即为所求圆心 M 的轨迹方程。 --------14分


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