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高三数学第一轮复习章节测试8-5


第8章 第5节 一、选择题 1.一个与球心距离为 1 的平面截球所得的圆面面积为 π,则球的表面积为( A.8 2π [答案] B B.8π C .4 2 π D.4π

)

[解析] 球的半径 R= 12+12= 2, ∴S=4πR2=8π 故选 B. 2.已知一个空间几何体的三视图及其尺寸如图所示,则该空间几何体的体积是( 14 7

A. 3 B.3 C.14 D.7

)

[分析] 根据三视图还原出空间几何体,按照体积计算公式进行计算. [答案] A [解析] 这个空间几何体是一个一条侧棱垂直于底面的四棱台,这个四棱台的高是 2,上底面 1 14 是边长为 1 的正方形、 下底面是边长为 2 的正方形, 故其体积 V=3×(12+ 12×22+22)×2= 3 . 3.设矩形的边长分别为 a,b(a>b),将其按两种方式卷成高为 a 和 b 的圆柱筒,以其为侧面 的圆柱的体积分别为 Va 和 Vb,则( ) A.Va>Vb B.Va<Vb C.Va=Vb D.Va 和 Vb 的大小不确定 [答案] B a 1 b 1 [解析] 由题意,Vb=π(2π)2b=4πa2b,Va=π(2π)2a=4πb2a,因为 a>b,所以 Va<Vb. 4.(2010· 新课标文)设长方体的长、宽、高分别为 2a,a,a,其顶点都在一个球面上,则该球 的表面积为( ) A.3πa2 B.6πa2 C.12πa2 D.24πa2 [答案] B [解析] 本题考查了长方体的外接球的表面积的算法,此题是简单题,在解决问题时首先考虑 借助长方体和球的关系求得球的半径. 由题可知,长方体的长、宽、高分别为 2a,a,a,其顶点在同一个球面上,所以球的直径等 6 于长方体的体对角线的长度,故 2R= 4a2+a2+a2,解得 R= 2 a,所以球的表面积 S=4πR2 =6πa2,故选 B. 5.已知三棱锥 O—ABC 中,OA、OB、OC 两两垂直,OC=1,OA=x,OB=y,若 x+y=4,则 三棱锥体积的最大值是( )

1 A.3 C.1 [答案] B

2 B.3 4 D.3

1 1 1 x+y 2 [解析] 由条件可知 V 三棱锥 O—ABC=6OA· OB· OC=6xy≤6( 2 )2=3,当 x=y=2 时,取得最 2 大值3. 6.某几何体的三视图如图所示(单位:cm),则该几何体的体积为( )

A.(16+π)cm3 B.(16+3π)cm3 C.(20+4π)cm3 D.(18+π)cm3 [分析] 本题考查三视图、长方体和圆柱体的体积计算,解题的关键是根据三视图想象出几何 体的直观图,再利用体积公式进行求解. [答案] B [解析] 由三视图知,该几何体的上部分是正四棱柱,下部分是圆柱.正四棱柱的底面边长为 4cm,高为 1cm,其体积为 16cm3;圆柱的底面半径为 1cm,高为 3cm,其体积为 3πcm3.所以 该几何体的体积为(16+3π)cm3. π π 7.若圆锥轴截面的顶角 θ 满足3<θ<2,则其侧面展开图中心角 α 满足( π π A.4<α<3 π C.2<α<π [答案] D π π B.3<α<2 D.π<α< 2π )

?π π? [解析] ∵θ∈ 3,2 ? ?
2? ?1 ∴sinθ∈? , ?. ?2 2 ? r 2? ?1 又 l =sinθ∈? , ?, 2 2 ? ?

θ ?π π? ∴ 2∈ 6 , 4 , ? ?

r ∴其侧面展开图中心角 α= l ·2π∈(π, 2π). 8.(2010· 全国卷Ⅰ理)已知在半径为 2 的球面上有 A、B、C、D 四点,若 AB=CD=2.则四面体 ABCD 的体积的最大值为( )

2 3 A. 3

4 3 B. 3

C .2 3

8 3 D. 3

[答案] B [解析] 过 CD 作平面 PCD,使 AB⊥平面 PCD,交 AB 于 P,设点 P 到 CD 的距离为 h,则有 V 1 1 2 四面体 ABCD=3×2×2×2×h=3h,当直径通过 AB 与 CD 的中点时,hmax=2 22-12=2 3,故 4 3 Vmax= 3 . 二、填空题 9.(2010· 天津理)一个几何体的三视图如图所示,则这个几何体的体积为________.

[答案]

10 3

[解析] 由三视图知,该几何体由一个高为 1,底面边长为 2 的正四棱锥和一个高为 2,底面 1 10 边长为 1 的正四棱柱组成,则体积为 2×2×1×3+1×1×2= 3 . 2π 10.(2011· 广东广州)将圆心角为 3 ,面积为 3π 的扇形,作为圆锥的侧面,则圆锥的表面积等 于__________. [答案] 4π 1 1 2π [解析] 设扇形的半径为 r,弧长为 l,则有2rl=2·3 · r2=3π,所以 r=3,l=2π,于是圆锥的 母线长为 3,底面半径为 1,故表面积 S=π·1·3+π·12=4π. 11. (2010· 湖北理)圆柱形容器内部盛有高度为 8cm 的水, 若放入三个相同 的球(球的半径与圆柱的底面半径相同)后, 水恰好淹没最上面的球(如右图 所示),则球的半径是________cm. [答案] 4 4 [解析] 设球的半径为 r,根据题意可得 8πr2+3×3πr3=6πr3,解得 r=4. 三、解答题 12.已知球的半径为 R,在球内作一个内接圆柱,这个圆柱底面半径与高 为何值时,它的侧面积最大?侧面积的最大值是多少? [解析] 作轴截面如图,令圆柱的高为 h,底面半径为 r,侧面积为 S,

?h? 则 2 2+r2=R2,即 h=2× R2-r2, ? ?
∴S=2πrh=4πr· R2-r2

=4π ≤4π



?r2+R2-r2?2=2πR2, 2 ? ?

2 当且仅当 r2=R2-r2 时取等号,此时内接圆柱底面半径为 2 R,高为 2R,最大侧面积等于 2πR2. 13.(2010· 新课标卷)如图,已知四棱锥 P-ABCD 的底面为等腰梯形,AB ∥CD,AC⊥BD,垂足为 H,PH 为四棱锥的高. (1)证明:平面 PAC⊥平面 PBD; (2)若 AB= 6,∠APB=∠ADB=60°,求四棱锥 P-ABCD 的体积. [解析] 本题综合考查立体几何的知识,其中主要考查面面垂直的判定定 理和棱锥的体积公式,在解决时要仔细审核题意,找准入手点进行解决, 题目定位于中低档题,考查处理立体几何的常规方法. 解:(1)因为 PH 是四棱锥 P-ABCD 的高, 所以 AC⊥PH.又 AC⊥BD,PH,BD 都在平面 PBD 内,且 PH∩ BD=H, 所以 AC⊥平面 PBD, 故平面 PAC⊥平面 PBD. (2)因为 ABCD 为等腰梯形,AB∥CD,AC⊥BD,AB= 6, 所以 HA=HB= 3. 因为∠APB=∠ADB=60°, 所以 PA=PB= 6,HD=HC=1, 可得 PH= 3, 1 等腰梯形 ABCD 的面积为 S=2AC×BD=2+ 3. 3+2 3 1 所以四棱锥的体积为 V=3×(2+ 3)× 3= 3 . 14.已知四棱柱 ABCD—A1B1C1D1 的侧棱 AA1 垂直于底面,底面 ABCD 为直角梯形,AD∥BC, AB⊥BC,AD=AA1=2,AB=BC=1,E,F 分别为 A1D,CD 中点. (1)求证:EF∥平面 A1ACC1; (2)求证:CD⊥平面 A1ACC1,并求四棱锥 D—A1ACC1 的体积.

[证明] (1)连 A1C, ∵E、F 分别为 A1D,CD 中点, ∴EF∥A1C, 又∵ 平面 A1ACC1,EF? 平面 A1ACC1∴EF∥平面 A1ACC1 (2)四边形 ABCD 为直角梯形且 AD∥BC,

AB⊥BC,AD=2,AB=BC=1, ∴AC=CD= 2, ∴AD2=AC2+CD2, ∴CD⊥AC, 又∵AA1⊥平面 ABCD, 平面 ABCD, ∴CD⊥AA1, 平面 A1ACC1. 平面 A1ACC1, ∴CD⊥平面 A1ACC1 ∴CD 为四棱锥 D—A1ACC1 的高, 1 1 4 ∴V=3SA1ACC1· CD=3· 2· 2· 2=3. 15.如图,侧棱垂直于底面的三棱柱 ABC—A1B1C1 的底面 ABC 位于平行四边形 ACDE 中,AE =2,AC=AA1=4,∠E=60°,点 B 在线段 DE 上. (1)当点 B 在何处时,平面 A1BC⊥平面 A1ABB1; (2)点 B 在线段 DE 上运动的过程中,求三棱柱 ABC—A1B1C1 全面积最小值.

[分析] 本题属于立体几何探究问题,第(1)问解题思路是逆向的推理问题,从结论下手,寻求 解题突破口;第(2)问解决的关键是将动点转化为代数表达式,从而将问题解决. [解析] (1)由于三棱柱 ABC—A1B1C1 为直三棱锥,则 AA1⊥平面 ABC,∵ 平面 ABC,∴AA1⊥BC.而 AA1∩ AB=A,只需 BC⊥平面 A1ABB1,即 AB ⊥BC,就有“平面 A1BC⊥平面 A1ABB1”. 在平行四边形 ACDE 中, ∵AE=2,AC=4,∠E=60°. 过点 B 作 BH 垂直 AC 于 H,则 BH= 3. 若 AB⊥BC,有 BH2=AH×CH,∵AC=4,∴AH=1 或 3. 两种情况下,B 为 ED 的中点或与点 D 重合. (2)三棱柱 ABC—A1B1C1 全面积等于侧面积与两个底面积之和. 显然其底面积和平面 ACC1A1 的面积为定值,只需保证侧面 ABB1A1 和侧面 B1C1CB 面积之和 最小即可. 过点 B 作 BF 垂直 AC 于 F,则 BF= 3. 令 AF = x , 则 侧 面 ABB1A1 和 侧 面 B1C1CB 面 积 之 和 等 于 4×(AB + BC) = 4[ 3+x2 + 3+ - ]. 其中 3+x2+ 3+ - 表示动点(x,0)到定点(0,- 3)和(4, 3)的距离之和,当且仅当 x =2 时取得最小值. 所以三棱柱的全面积的最小值为 4× 3 2× 2 +42+4×2 7

=4 3+8 7+16. [点评] 立体几何题中求值问题多数情况下是求体积和面积问题,解题时重点关注题目中的位 置关系,垂直是求值的根源.本题中的动点问题,还有存在性问题都是当前高考命题的热点, 同学们需认真把握.


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