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空间几何体的表面积与体积(经典)


1、 3

空间几何体的表面积与体积

1. 柱体、锥体、台体的表面积

正方体、长方体的表面积就是各个面的面积之和。

探究

棱柱、棱锥、棱台也是由多个平面图形围成的 几何体,它们的展开图是什么?如何计算它们的 表面积?

棱柱的侧面展开图是由平行四

边形组成的平面图 形,棱锥的侧面展开图是由三角形组成的平面图 形,棱台的侧面展开图是由梯形组成的平面图形。
这样,求它们的表面积的问题就可转化为求平行 四边形、三角形、梯形的面积问题。

例1、已知棱长为 a, 各面均为等边三角形的 四 面体S ? ABC(如下图), 求它的表面积 .
S

A B D C

圆柱的展开图是一个矩形:
如果圆柱的底面半径为 r ,母线为 l ,那么圆柱 2 ? r 的底面积为 ,侧面积为 2?rl 。因此圆柱的 表面积为

S = 2p r + 2p rl = 2p r (r + l )
O`

2

O

圆锥的展开图是一个扇形:
如果圆柱的底面半径为 r ,母线为 l ,那么它 的表面积为

S = p r + p rl = p r (r + l )
S

2

2?r

O

设圆台的母线长为l,上、下底面的周长
为c/、c,半径分别是r/、r,求圆台的侧面积 解:S圆台侧= 1 c(l + x)? 1 c / x
r
/

x c/
l

c

2 2 1 = [cl + (c - c / ) x]. 2



r

c/ x ? = , c x+ l

c/l \ x= . / c- c

代入⑴,得

/ 1 c l 1 / / = p ( r + r )l S圆台侧 = [cl + (c - c / ) ] = ( c + c ) l / 2 2 c- c

圆台的展开图是一个扇环,它的表面积等于上、 下两个底面和加上侧面的面积,即

S = p (r + r + r l + rl )

'2

2

'

2?r `
O`

2?r

O

例2 如下图, 一个圆台形花盆直径为 20cm, 盆底 直径为 15cm, 底部渗水圆孔直径为 1.5cm, 盆壁长 15cm.那么花盆的表面积约是 多少平方厘米(?取 3.14, 结果精确到 1cm) ?
20cm

15cm

15cm

柱体、锥体、台体的体积
正方体、长方体,以及圆柱的体积公式可以统 一为:

V = Sh(S为底面面积,h为高)

一般棱柱的体积公式也是V = Sh,其中S为 底面面积,h为高。

1 棱锥的体积公式也是 S = Sh ,其中S为底 3 面面积,h为高。

探究

探究棱锥与同底等高的棱柱体积之 间的关系?
O`

S

1 它是同底同高的圆柱的体积的 3 。 圆台(棱台)的体积公式:

O

O

其是S‘,S分别为上底面面积,h为圆台(棱台)高。

1 ` V = (S + 3

S S + S )h

`

例3 有一堆规格相同的铁制 (铁的密度是7.8 g / cm ) 六角螺帽(如下图)共重5.8kg,已知底面是正六边形 , 边长为 12m m,内孔直径 10m m, 高为10m m,问这堆螺帽 大约有多少个(?取3.14) ?

3

圆柱、圆锥、圆台
名 称 圆柱 圆锥 圆台

侧 面 展 开 图

l

c

c/
l

c

l

c

侧 面 积 表 面 积

S侧=cl=2πrl

cl =πrl S侧= 1 2

1 / ( c + c )l S侧= 2

=π(r+r/)l

S = 2p r + 2p rl

2

S = p r 2 + p rl = p (r + l )

S = p (r ?2 + r 2 ) + p (r ? l + rl )

例4.如图,正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为a,它的各个 顶点都在球O的球面上,问球O的表面积。
分析:正方体内接于球,则由球和正方体都是中心对称图形可 知,它们中心重合,则正方体对角线与球的直径相等。

D A O D1 A1 B1 B

C A

D B O D1 A1 B1

C

略解:
RtD B1D1D中 : B1D = 2 R,B1D = 2a 3 a 2

C1

C1

(2 R) 2 = a 2 + ( 2a) 2 , 得:R = \ S = 4p R 2 = 3p a 2

? a2 变题1.如果球O和这个正方体的六个面都相切,则有S=——。
2 ? a2 变题2.如果球O和这个正方体的各条棱都相切,则有S=——。

找正方体的棱长a与球半径R之间的关系 关键:

例5.钢球直径是5cm,求它的体积. (变式2)把钢球放入一个正方体的有盖纸 盒中,至少要用多大的纸?
用料最省时,球与正方体有什么位置关系?

球内切于正方体
侧棱长为5cm

S侧 = 6? 5

2

150cm

2

1.球的直径伸长为原来的2倍,体积变为原来 的几倍? 8倍

2.一个正方体的顶点都在球面上,它的棱长是 4cm,求这个球的体积.

32 3?

3.有三个球,一球切于正方体的各面,一球 切于正方体的各侧棱,一球过正方体的各 顶点,求这三个球的体积之比. 作轴截面

小结
本节课主要介绍了求空间几何体的表面积 和体积的公式和方法: 将空间图形问题转化为平面图形问题, 利用平面图形求面积的方法求立体图形的表面积。


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