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河北省张家口市2014-2015学年高一上学期期末数学试卷 (Word版含解析)


河北省张家口市 2014-2015 学年高一上学期期末数学试卷
一、选择题(每小题 5 分,共 60 分,每小题只有一个答案是正确的) 1. (5 分)若集合 U={1,2,3,4},M={1,2},N={2,3},则?U(M∪N)是() A.{1,2,3} B.{4} C.{1,3,4} D.{2}

2. (5 分)已知向量 =(﹣3,1) ,

=(6,x) ,若 ∥ ,则 ? 等于() A.﹣20 B.﹣16 C.19 D.﹣18

3. (5 分)已知函数 f(2x﹣1)=3x+a,且 f(3)=2,则 a 等于() A.﹣3 B.1 C.﹣4 4. (5 分)已知函数 f(x)= sin2x,则 f(x+ A.最小正周期为 π 的奇函数 C. 最小正周期为 的奇函数 )是()

D.2

B. 最小正周期为 π 的偶函数 D.最小正周期为
x

偶函数

5. (5 分)已知集合 A={x|lgx≤1},B={x|2 ≤1},则 A∪B 等于() A.(0,10] B.(﹣∞,0] C.(0,+∞) 10] 6. (5 分)在下列命题中,正确的个数是() ①若| |=| |, = ; ②若 = ,则 ∥ ; ③| |=| |;

D.(﹣∞,

④若 ∥ , ∥ ,则 ∥ . A.1 B.2 C.3 D.4

7. (5 分)已知 a>0 且 a≠1,下列函数中,在区间(0,a)上一定是减函数的是() A.f(x)= =logax 8. (5 分)在如图所示的边长为 6 的正方形 ABCD 中,点 E 是 DC 的中点,且 么 ? 等于()
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B.f(x)=x ﹣3ax+1

2

C.f(x)=a

x

D.f(x)

=

,那

A.﹣18

B.20
2

C.12

D.﹣15

9. (5 分)若函数 f(x)=x ﹣4x﹣m+4(﹣1≤x<4)有两个零点,则 m 的取值范围是() A.(0,9] B.(4,9) C.(0,4) D. 10. (5 分)已知 A.﹣ B. = ,则 sin2α+cos(α﹣ C. )等于() D.﹣

11. (5 分)设 min{p,q}表示 p,q 两者中的较小的一个,若函数 ,则满足 f(x)<1 的 x 的集合为() A. B.(0,+∞) C.(0,2)∪(16,+∞) D.

12. (5 分)若将函数 f(x)=2sin(3x+φ)图象向右平移

个单位后得到的图象关于点(



0)对称,当|φ|取最小值时,函数 f( x)在上的最大值是() A.1 B. C. D.2

二、填空题(每小题 5 分,共 20 分) 13. (5 分)已知集合 A={1,3, },B={1,m},若 A∩B=B,则 m=. 14. (5 分)已知 tanθ=﹣sin ,则 tan(θ+ )=.

15. (5 分)向量 , 满足| |=1,| ﹣ |=

, 与 的夹角为 60°,| |=.

16. (5 分)已知 f(x)是 R 上的奇函数,且当 x∈(﹣∞,0]时,f(x)=﹣xlg(2 ﹣x+ ) , 当 x>0 时,不等式 f(x)<0 恒成立,则 m 的取值范围是.

m

三、解答题(共 70 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17. (10 分)已知| |=2,| |=3, (2 ﹣3 )?(2 + )=3,求:
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(1) ? ; (2)| + |.

18. (12 分)计算:log3 设集合 A={x|
﹣x

+lg25+lg4+

+log23?log34;

≤2 ≤4},B={x|m﹣1<x<2m+1}.若 A∪B=A,求 m 的取值范围.

19. (12 分)已知函数 f(x)=sin(ωx+φ) (ω>0,|φ|<π)的图象如图所示. (Ⅰ)求 ω,φ 的值; (Ⅱ)设 g(x)=f(x)f(x﹣ ) ,求函数 g(x)的单调递增区间.

20. (12 分)已知函数 f(x)=x +2ax+2,x∈. (1)求实数 a 的取值范围,使 y=f(x)在区间上是单调函数; (2)若 a≥1,用 g(a)表示函数 y=f(x)的最小值,求 g(a)的解析式. 21. (12 分)已知锐角△ ABC 中的三个内角分别为 A,B,C. (1)设 ? = ? ,求证:△ ABC 是等腰三角形; ) , =(cos2C,2cos
2

2

(2)设向量 =(2sinC,﹣ ( ﹣B)的值.

﹣1) ,且 ∥ ,若 sinA= ,求 sin

22. (12 分)已知函数 f(x)=log4(4 +1)+kx(k∈R)是偶函数 (1)求 k 的值; (2)设 g(x)=log4(a?2 ﹣ a) ,若函数 f(x)与 g(x)的图象有且只有一个公共点,求 实数 a 的取值范围.
x

x

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河北省张家口市 2014-2015 学年高一上学期期末数学试 卷
参考答案与试题解析

一、选择题(每小题 5 分,共 60 分,每小题只有一个答案是正确的) 1. (5 分)若集合 U={1,2,3,4},M={1,2},N={2,3},则?U(M∪N)是() A.{1,2,3} B.{4} C.{1,3,4} D.{2} 考点: 交、并、补集的混合运算. 专题: 集合. 分析: 由并集、补集的运算分别求出 M∪N、?U(M∪N) . 解答: 解:因为 M={1,2},N={2,3},所以 M∪N={1,2,3}, 又集合 U={1,2,3,4},则?U(M∪N)={4}, 故选:B. 点评: 本题考查并集、补集的混合运算,属于基础题.

2. (5 分)已知向量 =(﹣3,1) , =(6,x) ,若 ∥ ,则 ? 等于() A.﹣20 B.﹣16 C.19 D.﹣18

考点: 平面向量数量积的运算. 专题: 计算题;平面向量及应用. 分析: 运用向量共线的坐标表示,可得﹣3x=6,解得 x=﹣2,再由向量的坐标表示,即可 得到所求值. 解答: 解:向量 =(﹣3,1) , =(6,x) , 若 ∥ ,则﹣3x=6, 解得,x=﹣2, 则 =﹣3×6+1×(﹣2)=﹣20.

故选 A. 点评: 本题考查向量的共线的坐标表示,考查向量的数量积的坐标表示,考查运算能力, 属于基础题. 3. (5 分)已知函数 f(2x﹣1)=3x+a,且 f(3)=2,则 a 等于() A.﹣3 B. 1 C.﹣4 D.2 考点: 函数的值. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 直接利用赋值法求解.
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解答: 解:令 2x﹣1=3 解得:x=2 则:3×2+a=2 解得:a=﹣4 故选:C 点评: 本题考查的知识要点:函数解析式的应用及相关的运算问题.属于基础题型.

4. (5 分)已知函数 f(x)= sin2x,则 f(x+ A.最小正周期为 π 的奇函数 C. 最小正周期为 的奇函数

)是()

B. 最小正周期为 π 的偶函数 D.最小正周期为 偶函数

考点: 三角函数的周期性及其求法. 专题: 三角函数的求值;三角函数的图像与性质. 分析: 化简解析式 f(x+ 解答: 解:f(x+ )即可求出其周期和奇偶性. )=﹣ cos2x 是最小正周期为 π 的偶函数.

)= sin(2x+

故选:B. 点评: 本题主要考查了三角函数的周期性及其求法,三角函数的奇偶性,属于基础题. 5. (5 分)已知集合 A={x|lgx≤1},B={x|2 ≤1},则 A∪B 等于() A.(0,10] B.(﹣∞,0] C.(0,+∞) D.(﹣∞,10] 考点: 并集及其运算. 专题: 集合. 分析: 由对数函数、指数函数的性质求出集合 A、B,再由并集的运算求出 A∪B. 解答: 解:由 lgx≤1=lg10 得 0<x<10,则集合 A=(0,10], x 0 由 2 ≤1=2 得 x≤0,则集合 B=(﹣∞,0], 所以 A∪B=(﹣∞,10], 故选:D. 点评: 本题考查并集及其运算,以及对数、指数函数的性质,属于基础题. 6. (5 分)在下列命题中,正确的个数是() ①若| |=| |, = ; ②若 = ,则 ∥ ; ③| |=| |;
x

④若 ∥ , ∥ ,则 ∥ . A.1 B. 2 C. 3 D.4

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考点: 平行向量与共线向量. 专题: 平面向量及应用. 分析: 根据向量相等的概念可以判断①②是否正确; 根据相反向量可以判断③是否正确; 根据向量平行的概念判断④是否正确. 解答: 解:对于①,| |=| |时, 与 的方向不一定相同,∴ = 不一定成立,命题错误; 对于②,当 = 时, ∥ ,命题正确; 对于③,向量 与 是相反向量,∴| |=| |,命题正确;

对于④,当 ∥ , ∥ 时,若 = ,则 与 的方向不能确定,∴ ∥ 不一定成立,命题 错误. 综上,正确的命题是②③. 故选:B. 点评: 本题考查了平面向量的基本概念的应用问题,是基础题目. 7. (5 分)已知 a>0 且 a≠1,下列函数中,在区间(0,a)上一定是减函数的是() A.f(x)= B.f(x)=x ﹣3ax+1 C.f(x)=a
2 x

D.f(x)=logax

考点: 函数单调性的判断与证明. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 根据基本初等函数的单调性,对选项中的每一个函数进行判断即可. 解答: 解:对于 A,a>0 时,函数 f(x)= 满足条件; 对于 B,函数 f(x)=x ﹣3ax+1 在区间(﹣∞, a)上是减函数,∴在区间(0,a)上是 减函数; x 对于 C、D,函数 f(x)=a 和 f(x)=logaax=1+logax 在区间(0,a)上可能是增函数,也 可能是减函数. 综上,满足条件的是 B. 故选:B. 点评: 本题考查了判断常见的基本初等函数的单调性问题,是基础题目.
2

=2﹣ 在区间(0,a)上是增函数,不

8. (5 分)在如图所示的边长为 6 的正方形 ABCD 中,点 E 是 DC 的中点,且 么 ? 等于()

=

,那

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A.﹣18

B.20

C.12

D.﹣15

考点: 平面向量数量积的运算. 专题: 计算题;平面向量及应用. 分析: 运用中点向量表示形式和向量加法的三角形法则可得 = ﹣ , 再由向量的

数量积的性质,向量的平方即为模的平方,及向量垂直的条件:数量积为 0,计算即可得到 结论. 解答: 解:在△ CEF 中, 由于点 E 为 DC 的中点,则 由 即有 = ,则 =(
2

= = =

+ , + +



= ﹣

+

= )=

﹣ ﹣

, +

)?(

=( ﹣ )×6 +0=﹣15. 故选 D. 点评: 本题考查平面向量的数量积的性质, 考查向量垂直的条件和向量的平方即为模的平 方,考查中点向量表示形式,考查运算能力,属于中档题. 9. (5 分)若函数 f(x)=x ﹣4x﹣m+4(﹣1≤x<4)有两个零点,则 m 的取值范围是() A.(0,9] B.(4,9) C.(0,4) D. 考点: 函数零点的判定定理. 专题: 函数的性质及应用. 2 分析: 构造函数 g(x)=(x﹣2) , (﹣1≤x<4) ,与 y=m 有 2 个交点,画出图象求解即 可. 2 2 解答: 解:∵函数 f(x)=x ﹣4x﹣m+4=(x﹣2) ﹣m, (﹣1≤x<4) , 2 ∴设 g(x)=(x﹣2) , (﹣1≤x<4) , 2 ∵函数 f(x)=x ﹣4x﹣m+4(﹣1≤x<4)有两个零点, 2 ∴函数 g(x)=(x﹣2) , (﹣1≤x<4) ,与 y=m 有 2 个交点, f(2)=0.f(﹣1)=9,f(4)=4,
2

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根据图象得出:m 的取值范围是(0, 4) 故选:C 点评: 本题考查了函数的零点与函数图象的交点关系, 构造函数画出图象求解即可, 难度 不大,属于中档题. 10. (5 分)已知 A.﹣ B. = ,则 sin2α+cos(α﹣ C. )等于()

D.﹣

考点: 同角三角函数基本关系的运用. 专题: 三角函数的求值. 分析: 将已知关系式中的“切”化“弦”,整理可得 sinα+cosα= ﹣ ,cos( ﹣α)=sin(x+ )= ,从而可得答案. ,两端平方后可得 sin2α=

解答: 解:由已知得:
2

=

=sinα+cosα=



∴(sinα+cosα) =1+2sinαcosα=1+sin2α= ,

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∴sin2α=﹣ , 又 sinα+cosα= ∴sin(α+ sin(α+ ) , )=cos( ﹣α)=sin(x+ )= ,

)= ,cos(α﹣ )=﹣ .

∴sin2α+cos(α﹣

故选:A. 点评: 本题考查同角三角函数基本关系的运用, 考查诱导公式与二倍角的正弦, 考查转化 思想与运算求解能力,属于中档题. 11. (5 分)设 min{p,q}表示 p,q 两者中的较小的一个,若函数 ,则满足 f(x)<1 的 x 的集合为() A. B.(0,+∞) C.(0,2)∪(16,+∞) D.

考点: 对数函数的单调性与特殊点. 专题: 计算题;新定义;转化思想. 分析: 先根据“设 min{p,q}表示 p,q 两者中的较小的一个”求得函数 f(x) ,再按分段函 数用分类讨论解不等式. 解答: 解:①当 即 x>4 时 ②当 即 x<4 时 f(x)=log2x ∴f(x)<1 当 x>4 时 <1 此时:x>16 当 x<4 时 f(x)=log2x<1 此时:0<x<2 故选 C 点评: 本题是一道新定义题,首先要根据定义求得函数,再应用函数解决相关问题,这类 问题的解决,正确转化是关键. 时 时

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12. (5 分)若将函数 f(x)=2sin(3x+φ)图象向右平移

个单位后得到的图象关于点(



0)对称,当|φ|取最小值时,函数 f( x)在上的最大值是() A.1 B. C. D.2

考点: 函数 y=Asin(ωx+φ)的图象变换. 专题: 三角函数的求值;三角函数的图像与性质. 分析: 先求将函数平移 个单位后得到函数解析式为 g(x)=2sin(3x﹣ ,即有解析式 f( x)=2sin(x﹣ +φ) ,可得

+φ=kπ(k∈Z) ,求得 φ=﹣

) ,从而可求最大值.

解答: 解:将函数 f(x)=2sin(3x+φ)图象向右平移 (3x﹣ 依题意知 ∴φ=kπ﹣ +φ)的图象, +φ=kπ(k∈Z) , (k∈Z) ,只有当 k=0,即 φ=﹣ ) , 时,|φ|min=

个单位后得到函数 g(x)=2sin



∴f( x)=2sin(x﹣ ∵x∈, ∴x﹣ ∈,

∴f( x)max=2. 故选:D. 点评: 本题主要考查了函数 y=Asin(ωx+φ)的图象变换,三角函数的图象与性质,三角 函数的最值,属于中档题. 二、填空题(每小题 5 分,共 20 分) 13. (5 分)已知集合 A={1,3, },B={1,m},若 A∩B=B,则 m=3 或 0. 考点: 交集及其运算. 专题: 集合. 分析: 由 A,B,以及 A 与 B 的交集为 B,列出关于 m 的方程,求出方程的解即可得到 m 的值. 解答: 解:∵集合 A={1,3, },B={1,m},且 A∩B=B, ∴m=3 或 m= , 解得:m=3 或 m=0 或 m=1, 由元素的互异性得到 m=1 不合题意,舍去, 则 m=3 或 0. 故答案为:3 或 0.
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点评: 此题考查了交集及其运算,熟练掌握交集的定义是解本题的关键.

14. (5 分)已知 tanθ=﹣sin

,则 tan(θ+

)= .

考点: 两角和与差的正切函数;同角三角函数基本关系的运用. 专题: 三角函数的求值. 分析: 依题意,可得 tanθ=﹣ ,利用两角和的正切公式即可求得答案. 解答: 解:∵tanθ=﹣sin =sin =﹣ ,

∴tan(θ+

)=

=

= .

故答案为: . 点评: 本题考查两角和与差的正切函数,考查诱导公式的应用,属于中档题.

15. (5 分)向量 , 满足| |=1,| ﹣ |=

, 与 的夹角为 60°,| |= .

考点: 数量积表示两个向量的夹角. 专题: 平面向量及应用. 分析: 由题意可得: 解答: 解:由题意可得: 代入值可得:1﹣2×1× 整理可得 故答案为: 点评: 本题考查向量模长的求解,熟练掌握数量积的运算是解决问题的关键,属基础题. 16. (5 分)已知 f(x)是 R 上的奇函数,且当 x∈(﹣∞,0]时,f(x)=﹣xlg(2 ﹣x+ ) , 当 x>0 时,不等式 f(x)<0 恒成立,则 m 的取值范围是 解答: 解: (1)∵(2 ﹣3 )?(2 + )=3, ∴(2 ﹣3 )?(2 + )=4 ﹣4 ? ﹣3 =﹣4 ? ﹣11=3,
m

,展开代值可得 ,即 = , = , ,

,解之即可.

× + ,解得

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∴ ? =﹣ ; (2)| + |= = = .

点评: 本题考查了平面向量数量积的运算性质,是一道基础题.

18. (12 分)计算:log3 设集合 A={x|
﹣x

+lg25+lg4+

+log23?log34;

≤2 ≤4},B={x|m﹣1<x<2m+1}.若 A∪B=A,求 m 的取值范围.

考点: 对数的运算性质;并集及其运算. 专题: 函数的性质及应用;集合. 分析: (1)根据对数的运算性质计算即可, (2)根据集合的运算,求出 a 范围, 解答: 解: (1)log3 +lg25+lg4+ +log23?log34=log3 ﹣

1+2lg5+2lg2+2+

?2log32=﹣ +2+2+2=



(2)化简集合 A=,集合 B=(m﹣1,2m+1) ∵A∪B=A, ∴B?A, 当 2m+1≤m﹣1,即 m≤﹣2 时,B=??A, 当 B≠?,即 m>﹣2 时, ∴ ,

解得﹣1≤m≤2, 综上所述 m 的取值范围是(﹣∞,﹣2]∪ 点评: 本题考查了对数的运算性质和集合的运算,属于基础题 19. (12 分)已知函数 f(x)=sin(ωx+φ) (ω>0,|φ|<π)的图象如图所示. (Ⅰ)求 ω,φ 的值; (Ⅱ)设 g(x)=f(x)f(x﹣ ) ,求函数 g(x)的单调递增区间.

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考点: 由 y=Asin(ωx+φ)的部分图象确定其解析式;正弦函数的单调性;y=Asin(ωx+φ) 中参数的物理意义. 专题: 计算题;数形结合. 分析: (1)由图象知,周期的四分之一为 图象过( ,故周期为 T=π,用公式可求出 ω 的值,又

,0) ,将其代入方程即可解得?的值.

(2)整理出 g(x)的表达式,变形为 y=asin(ωx+?)+k 的形式,利用其单调性求函数的 单调区间. 解答: 解: (Ⅰ)由图可知 又由 ∵|?|<π∴ , , (2 分)

得,sin(π+?)=1,又 f(0)=﹣1,得 sinφ=﹣1 , (4 分) (6 分) = ,即 (9 分) (12 分) . (13 分)

(Ⅱ)由(Ⅰ)知: 因为 所以, 故函数 g(x)的单调增区间为

点评: 考查识图的能力与利用 三角恒等变换进行变形的能力,以及形如 y=asin(ωx+?) +k 的三角函数求单调区间的方法. 20. (12 分)已知函数 f(x)=x +2ax+2,x∈. (1)求实数 a 的取值范围,使 y=f(x)在区间上是单调函数; (2)若 a≥1,用 g(a)表示函数 y=f(x)的最小值,求 g(a)的解析式. 考点: 二次函数的性质;函数解析式的求解及常用方法. 专题: 函数的性质及应用. 分析: (1)根据 f(x)在上是单调函数,得出﹣a≤﹣5 或﹣a≥5,求解即可. (2)根据题意得出当﹣5≤﹣a≤﹣1,当﹣a<﹣5 时,分类讨论求解即可.
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2

解答: 解: (1)函数 f(x)=x +2ax+2,x∈的对称轴为 x=﹣a, ∵f(x)在上是单调函数. ∴﹣a≤﹣5 或﹣a≥5, 得出:a≥5 或 a≤﹣5, (2)∵a≥1, ∴﹣a≤﹣1, 当﹣5≤﹣a≤﹣1, 即 1≤a≤5 时, 2 f(x)min=f(﹣a)=2﹣a , 即 a>5,f(x)min=f(﹣5)=27﹣10a, ∴g(a)= 点评: 本题考查了函数的性质, 得出不等式组求解即可, 关键是利用性质转化不等式组求 解,属于中档题. 21. (12 分)已知锐角△ ABC 中的三个内角分别为 A,B,C. (1)设 ? = ? ,求证:△ ABC 是等腰三角形; ) , =(cos2C,2cos
2

2

(2)设向量 =(2sinC,﹣ ( ﹣B)的值.

﹣1) ,且 ∥ ,若 sinA= ,求 sin

考点: 平面向量的综合题;三角函数的恒等变换及化简求值. 专题: 计算题. 分析: (1)由已知可得 ,代入可证 (2)由 ∥ ,根据向量平行的坐标表示可得 可得 从而有 锐角,可得 cosA= ,利用差角公式可求 , , 结合已知 C 的范围可求 C= ,根据三角形的内角和可得, ,结合三角形的知识可得 ,即 ,从而可证 ,整理 ,

,又 sinA= ,且 A 为

解答: 解: (1)因为

, (4 分) 所以 ,即 ,故△ ABC 为等腰三角形. (6 分)
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(2)∵ ∥ ,∴ ∴ ∴ ∴ ,∴ ,∴ , (12 分) = . (14 分) ,即 . (8 分) . (10 分) ,∵C 为锐角,∴2C∈(0,π) ,

又 sinA= ,且 A 为锐角,∴cosA= ∴

点评: 平面向量与三角函数结合的试题是高考近几年的热点之一, 而通常是以平面向量的 数量积为工具,结合三角公式最终转化为三角函数形式,结合三角函数的性质.属于基础知 识的简单综合试题. 22. (12 分)已知函数 f(x)=log4(4 +1)+kx(k∈R)是偶函数 (1)求 k 的值; (2)设 g(x)=log4(a?2 ﹣ a) ,若函数 f(x)与 g(x)的图象有且只有一个公共点,求 实数 a 的取值范围. 考点: 函数的图象. 专题: 函数的性质及应用. 分析: (1)根据偶函数的定义建立方程关系即可求 k 的值; (2)根据函数 f(x)与 g(x)的图象有且只有一个公共点,即可得到结论. 解答: 解(1)∵函数 f(x)=log4(4 +1)+kx(k∈R) )是偶函数 ∴f(﹣x)=log4(4 +1)﹣kx)=log4( ∴﹣(k+1)=k,则 k=
x
﹣x

x

x

x

)﹣kx=log4(4 +1)+kx(k∈R)恒成立

x



(2)g(x)=log4(a?2 ﹣ a) , 函数 f(x)与 g(x)的图象有且只有一个公共点,即 方程 f(x)=g(x)只有一个解 由已知得 log4(4 +1)
x

x=log4(a?2 ﹣ a) ,

x

∴log4(

)=log4(a?2 ﹣ a) ,

x

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方程等价于



设 2 =t,t>0,则(a﹣1)t ﹣
2

x

2

﹣1=0 有一解 ﹣1,

若 a﹣1>0,设 h(t)=(a﹣1)t ﹣ ∵h(0)=﹣1<0,∴恰好有一正解 ∴a>1 满足题意 若 a﹣1=0,即 a=1 时,不满足题意 若 a﹣1<0,即 a<1 时,由 当 a=﹣3 时,t= 满足题意 当 a= 时,t=﹣2(舍去)

,得 a=﹣3 或 a= ,

综上所述实数 a 的取值范围是{a|a>1 或 a=﹣3}. 点评: 本题主要考查函数奇偶性的应用,以及对数的基本运算,考查学生的运算能力,综 合性较强.

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河北省沧州市2014-2015学年高一上学期期末数学试卷 Word版含解析

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河北省石家庄市正定中学2014-2015学年高一(下)期末数学试卷 Word版含解析

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河南省洛阳市2014-2015学年高一上学期期末数学试卷 (Word版含解析)

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