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广东省韶关市乳源中学2014-2015学年高一下学期期中数学试卷(理科)


广东省韶关市乳源中学 2014-2015 学年高一下学期期中数学试卷 (理科)
一、选择题: 1.圆 A:x +y +4x+2y+1=0 与圆 B:x +y ﹣2x﹣6y+1=0 的位置关系是() A.相交 B.相离 C.相切 D.内含 2.如图所示的程序框图中,输出 S 的值为()
2 2 2 2

A.10

B.1

2

C.15

D.8

3.某校高中生共有 2700 人,其中 2014-2015 学年高一年级 900 人,2014-2015 学年高二年 级 1200 人,2015 届高三年级 600 人,现采取分层抽样法抽取容量为 135 的样本,那么 2014-2015 学年高一,2014-2015 学年高二,2015 届高三各年级抽取的人数分别为() A.45,75,15 B.45,45,45 C.30,90,15 D.45,60,30 4.下列对一组数据的分析,不正确的说法是() A.数据极差越小,样本数据分布越集中、稳定 B. 数据平均数越小,样本数据分布越集中、稳定 C. 数据标准差越小,样本数据分布越集中、稳定 D.数据方差越小,样本数据分布越集中、稳定 5.甲乙两人下棋,和棋的概率是 ,乙获胜的概率是 ,则甲不输的概率是() A. B. C. D.

6.某人向一个半径为 6 的圆形标靶射击,假设他每次射击必定会中靶,且射中靶内各点是 随机的,则此人射击中靶点与靶心的距离小于 2 的概率为() A. B. C. D.

7. A.±

等于() B. C. ﹣ D.

8.已知 A.﹣2

=﹣5,那么 tanα 的值为() B. 2 C. D.﹣

二、填空题: 9.圆心在直线 2x﹣y﹣7=0 上的圆 C 与 y 轴交于两点 A(0,﹣4) 、B(0,﹣2) ,则圆 C 的方程为. 10.已知圆 x ﹣4x﹣4+y =0 上的点 P(x,y) ,求 x +y 的最大值. 11.数据 x1,x2,…,x8 平均数为 6,标准差为 2,则数据 2x1﹣6,2x2﹣6,…,2x8﹣6 的 平均数为,方差为
2 2 2 2

12.如图给出的是计算 是.

的值的一个框图,其中菱形判断框内应填入的条件

13.有五根细木棒,长度分别为 1,3,5,7,9(cm) .从中任取三根,能搭成三角形的概 率是.

14.已知

,则 cosα﹣sinα=.

三、解答题: 15.某种日用品上市以后供不应求,为满足更多的消费者,某商场在销售的过程中要求购买 这种产品的顾客必须参加如下活动: 摇动如图所示的游戏转盘 (上面扇形的圆心角都相等) , 按照指针所指区域的数字购买商品的件数,每人只能参加一次这个活动. (1)某顾客自己参加活动,购买到不少于 5 件该产品的概率是多少? (2)甲、乙两位顾客参加活动,求购买该产品件数之和为 10 的概率.

16.已知关于 x,y 的方程 C:x +y ﹣2x﹣4y+m=0. (1)若方程 C 表示圆,求 m 的取值范围. (2)若圆 C 与直线 l:x+2y﹣4=0 相交于 M,N 两点,且 MN= ,求 m 的值.

2

2

17.甲、乙两台机床同时加工直径为 100 mm 的零件,为了检验产品的质量,从产品中各随 机抽取 6 件进行测量,测得数据如下(单位 mm) : 甲:99,100,98,100,100,103 乙:99,100,102,99,100,100 (1)分别计算上述两组数据的平均数和方差; (2)根据(1)的计算结果,说明哪一台机床加工的这种零件更符合要求. 18.已知 0<x<π,sinα、cosα 是方程 5x ﹣x+m=0 的两实根,求: (1)m 的值; (2)求 sinα、cosα、tanα 的值; 3 3 (3)sin α+cos α 的值. 19.某学校为了了解学生的日平均睡眠时间(单位:h)随机选择了 n 名学生进行调查,下 表是这 n 名学生的日睡眠时间的频率分布表: 序号 i 分组(睡眠时间) 频数(人数) 频率 1 [4,5) 6 0.12
2

2 [5,6) 0.20 3 [6,7) a 4 [7,8) b 5 [8,9) 0.08 (1)求 n 值,若 a=20 将表中数据补全,并画出频率分布直方图 (2)统计方法中,同一组数据常用该组区间的中点值作为代表,若据此计算的上述数据的 平均值为 6.52,求 a,b 的值,并由此估计该学校学生的日平均睡眠时间在 7 小时以上的频 率. 20.已知甲袋中有 1 只白球,2 只红球;乙袋中有 2 只白球,2 只红球,现从两袋中各取一 球. (Ⅰ)两球颜色相同的概率; (Ⅱ)至少有一个白球的概率.

广东省韶关市乳源中学 2014-2015 学年高一下学期期中 数学试卷(理科)
一、选择题: 2 2 2 2 1.圆 A:x +y +4x+2y+1=0 与圆 B:x +y ﹣2x﹣6y+1=0 的位置关系是() A.相交 B.相离 C.相切 D.内含 考点: 圆与圆的位置关系及其判定. 专题: 直线与圆. 分析: 把两圆的方程化为标准方程,分别找出圆心坐标和半径,利用两点间的距离公式, 求出两圆心的距离 d,然后求出 R﹣r 和 R+r 的值,判断 d 与 R﹣r 及 R+r 的大小关系即可得 到两圆的位置关系. 2 2 2 2 解答: 解:把圆 x +y +4x+2y+1=0 和 x +y ﹣2x﹣6y+1=0 分别化为标准方程得: 2 2 2 2 (x+2) +(y+1) =4, (x﹣1) +(y﹣3) =9, 故圆心坐标分别为(﹣2,﹣1)和(1,3) ,半径分别为 R=2 和 r=3, ∵圆心之间的距离 d= =5,R+r=5,

则两圆的位置关系是相外切. 故选:C. . 点评: 本题考查圆与圆的位置关系,位置关系分别是:当 0≤d<R﹣r 时,两圆内含;当 d=R﹣r 时,两圆内切;当 R﹣r<d<R+r 时,两圆相交;当 d=R+r 时,两圆外切;当 d>R+r 时,两圆外离(其中 d 表示两圆心间的距离,R,r 分别表示两圆的半径) . 2.如图所示的程序框图中,输出 S 的值为()

A.10

B.12

C.15

D.8

考点: 循环结构. 专题: 图表型. 分析: 分析程序中各变量、各语句的作用,再根据流程图所示的顺序,可知:该程序的作 用是计算 S=1+2+3+4+5 的值,计算可得答案. 解答: 解:分析程序中各变量、各语句的作用, 再根据流程图所示的顺序,可知: 该程序的作用是计算 S=1+2+3+4+5 ∵S=1+2+3+4+5=15 故选 C. 点评: 根据流程图(或伪代码)写程序的运行结果,是算法这一模块最重要的题型,其处 理方法是: :①分析流程图(或伪代码) ,从流程图(或伪代码)中既要分析出计算的类型, 又要分析出参与计算的数据 (如果参与运算的数据比较多, 也可使用表格对数据进行分析管 理)?②建立数学模型,根据第一步分析的结果,选择恰当的数学模型③解模. 3.某校高中生共有 2700 人,其中 2014-2015 学年高一年级 900 人,2014-2015 学年高二年 级 1200 人,2015 届高三年级 600 人,现采取分层抽样法抽取容量为 135 的样本,那么 2014-2015 学年高一,2014-2015 学年高二,2015 届高三各年级抽取的人数分别为() A.45,75,15 B.45,45,45 C.30,90,15 D.45,60,30 考点: 分层抽样方法. 专题: 计算题. 分析: 根据分层抽样的定义求出在各层中的抽样比, 即样本容量比上总体容量, 按此比例 求出在各年级中抽取的人数. 解答: 解:根据题意得,用分层抽样在各层中的抽样比为 = ,

则在 2014-2015 学年高一年级抽取的人数是 900× 人数是 1200× =60 人, =30 人,

=45 人, 2014-2015 学年高二年级抽取的

2015 届高三年级抽取的人数是 600×

那么 2014-2015 学年高一、2014-2015 学年高二、2015 届高三各年级抽取的人数分别为 45, 60,30. 故选 D. 点评: 本题考查了抽样方法中的分层抽样. 根据样本结构和总体结构保持一致, 求出抽样 比,再求出在各层中抽取的个体数目,计算时要细心,避免出错. 4.下列对一组数据的分析,不正确的说法是() A.数据极差越小,样本数据分布越集中、稳定 B. 数据平均数越小,样本数据分布越集中、稳定 C. 数据标准差越小,样本数据分布越集中、稳定 D.数据方差越小,样本数据分布越集中、稳定 考点: 极差、方差与标准差;众数、中位数、平均数. 专题: 阅读型. 分析: 根据极差、平均数、标准差、方差的意义即可判断. 解答: 极差反映了最大值与最小值差的情况,极差越小,数据越集中. 方差、标准差是用来衡量一组数据波动大小的量,方差标准差越大,表明这组数据偏离平均 数越大,即波动越大,数据越不稳定.方差较小的数据波动较小,稳定程度高. 平均数越小,说明数据整体上偏小,不能反映数据稳定与否. 故选 B 点评: 本题考查极差、平均数、标准差、方差的意义,属于基础题.

5.甲乙两人下棋,和棋的概率是 ,乙获胜的概率是 ,则甲不输的概率是() A. B. C. D.

考点: 专题: 分析: 解答:

互斥事件的概率加法公式. 概率与统计. 根据甲输的概率是乙获胜的概率,甲不输与甲输是对立事件,求出对应的概率. 解:甲乙两人下棋,记“甲不输”为事件 A,“乙获胜”为事件 B,

则 P(B)= ; 又甲输的概率是乙获胜的概率, 且甲不输与甲输是对立事件, 所以甲不输的概率是 P(A)=1﹣P(B)=1﹣ = .

故选:D. 点评: 本题可惜了互斥事件与对立事件的概率公式的应用问题,是基础题目. 6.某人向一个半径为 6 的圆形标靶射击,假设他每次射击必定会中靶,且射中靶内各点是 随机的,则此人射击中靶点与靶心的距离小于 2 的概率为() A. B. C. D.

考点: 几何概型. 专题: 计算题. 分析: 本题考查的知识点是几何概型的意义, 关键是要找出射击中靶点与靶心的距离小于 2 对应的平面图形的面积, 及整个靶子面积的大小, 并将它们一齐代入几何概型的计算公式, 进行求解. 解答: 解:整个靶子是下图中所示的大圆, 而距离靶心距离小于 2 用下图中阴影部分的小圆所示: 故此人射击中靶点与靶心的距离小于 2 的概率 P= 故选 B. = .

点评: 几何概型的概率估算公式中的“几何度量”,可以为线段长度、面积、体积等,而且 这个“几何度量”只与“大小”有关,而与形状和位置无关.解决的步骤均为:求出满足条件 A 的基本事件对应的“几何度量”N(A) ,再求出总的基本事件对应的“几何度量”N,最后根据 P= 求解.

7. A.±

等于() B. C. ﹣ D.

考点: 运用诱导公式化简求值;同角三角函数基本关系的运用. 专题: 三角函数的求值. 分析: 由条件利用诱导公式进行化简所给的式子,可得结果. 解答: 解: =|sin600°|=|sin240°|=|﹣sin60°|=sin60°= ,

故选:B. 点评: 本题主要考查利用诱导公式进行化简求值,属于基础题.

8.已知 A.﹣2

=﹣5,那么 tanα 的值为() B. 2 C. D.﹣

考点: 同角三角函数基本关系的运用. 分析: 已知条件给的是三角分式形式,且分子和分母都含正弦和余弦的一次式,因此,分 子和分母都除以角的余弦,变为含正切的等式,解方程求出正切值. 解答: 解:由题意可知:cosα≠0,分子分母同除以 cosα, 得 ∴tanα=﹣ =﹣5, .

故选 D. 点评: 同角三角函数的基本关系式揭示了同一个角三角函数间的相互关系, 其主要应用于 同角三角函数的求值和同角三角函数之间的化简和证明. 在应用这些关系式子的时候就要注 意公式成立的前提是角对应的三角函数要有意义. 二、填空题: 9.圆心在直线 2x﹣y﹣7=0 上的圆 C 与 y 轴交于两点 A(0,﹣4) 、B(0,﹣2) ,则圆 C 的方程为(x﹣2) +(y+3) =5. 考点: 圆的标准方程. 专题: 计算题. 分析: 由垂径定理确定圆心所在的直线, 再由条件求出圆心的坐标, 根据圆的定义求出半 径即可. 解答: 解:∵圆 C 与 y 轴交于 A(0,﹣4) ,B(0,﹣2) , ∴由垂径定理得圆心在 y=﹣3 这条直线上. 又∵已知圆心在直线 2x﹣y﹣7=0 上,∴联立 ∴圆心 C 为(2,﹣3) , ∴半径 r=|AC|=
2 2 2

,解得 x=2,

=
2



∴所求圆 C 的方程为(x﹣2) +(y+3) =5. 2 2 故答案为(x﹣2) +(y+3) =5. 点评: 本题考查了如何求圆的方程,主要用了几何法来求,关键确定圆心的位置;还可用 待定系数法. 10.已知圆 x ﹣4x﹣4+y =0 上的点 P(x,y) ,求 x +y 的最大值
2 2 2 2



考点: 点与圆的位置关系. 专题: 计算题. 2 2 分析: 利用圆的方程求出 x 的范围,然后整理出 x +y 的表达式,即可求出最大值.

解答: 解:因为圆 x ﹣4x﹣4+y =0 化为(x﹣2) +y =8,所以(x﹣2) ≤8, 解得 2﹣2 ≤x≤2+2 , 圆上的点 P(x,y) , 2 2 所以 x +y =4x+4≤ . 故答案为: . 点评: 本题考查圆的方程的应用,考查转化思想与计算能力. 11.数据 x1,x2,…,x8 平均数为 6,标准差为 2,则数据 2x1﹣6,2x2﹣6,…,2x8﹣6 的 平均数为 6,方差为 16 考点: 众数、中位数、平均数. 分析: 平均数的计算规律性很强, 把知道平均数的一组数据做相同的变化, 这组数据的平 均数做一样的变化,而方差只与变量前的系数有关.原数据标准差为 2,则方差为 4. 解答: 解:∵数据 x1,x2,…,x8 平均数为 6, ∴x1+x2+…+x8=8×6=48, ∴2x1﹣6+2x2﹣6+…+2x8﹣6=2×48﹣48=48, ∴2x1﹣6,2x2﹣6,…,2x8﹣6 的平均数为 6 数据数据 x1,x2,…,x8 标准差为 2, ∴方差为 4, 2 ∴数据 2x1﹣6,2x2﹣6,…,2x8﹣6 的方差为 2 ×4=16, 故答案为:6;16. 点评: 本题原理非常简单,但是它是常出的一个问题,培养运用从具体到抽象、从特殊到 一般.分析问题的能力,充分体现了数学的化归思想.

2

2

2

2

2

12.如图给出的是计算 是 i>10.

的值的一个框图,其中菱形判断框内应填入的条件

考点: 程序框图. 专题: 压轴题. 分析: 由本程序的功能是计算 的值,由 S=S+ ,故我们知道最后一次

进行循环时的条件为 i=10, 当 i>10 应退出循环输出 S 的值, 由此不难得到判断框中的条件. 解答: 解:∵S= 并由流程图中 S=S+ 故循环的初值为 1 终值为 10、 步长为 1 故经过 10 次循环才能算出 S= 的值,

故 i≤10,应不满足条件,继续循环 ∴应 i>10,应满足条件,退出循环 填入“i>10”. 故答案为:i>10 点评: 算法是新课程中的新增加的内容,也必然是新 2015 届高考中的一个热点,应高度 重视.程序填空也是重要的考试题型,这种题考试的重点有:①分支的条件②循环的条件 ③变量的赋值④变量的输出.其中前两点考试的概率更大.此种题型的易忽略点是:不能 准确理解流程图的含义而导致错误. 13.有五根细木棒,长度分别为 1,3,5,7,9(cm) .从中任取三根,能搭成三角形的概 率是 .

考点: 等可能事件的概率. 专题: 计算题. 分析: 由组合数公式可得从 5 根木棒中任取 3 根的情况数目, 由三角形的三边关系分析可 得取出的三根可以搭成三角形的情况数目,由等可能事件的概率公式,计算可得答案. 3 解答: 解:根据题意,从 5 根木棒中任取 3 根,有 C5 =10 种情况, 其中能构撘成三角形的有 3、5、7,3、7、9,5、7、9,共 3 种情况, 则能搭成三角形的概率为 故答案为 . ;

点评: 本题考查等可能事件计算, 涉及三角形三边的关系, 关键是分析出可以成三角形的 情况.

14.已知

,则 cosα﹣sinα=﹣



考点: 同角三角函数基本关系的运用.

专题: 三角函数的求值. 分析: 根据 α 的范围,确定 cosα﹣sinα 的符号,然后利用平方,整体代入,开方可得结 果. 解答: 解:因为 2 所以 cosα﹣sinα=﹣ 故答案为: 点评: 本题是基础题,考查三角函数的化简求值,注意平方关系的应用,角的范围以及三 角函数的符号是解题的关键,考查计算能力,推理能力. 三、解答题: 15.某种日用品上市以后供不应求,为满足更多的消费者,某商场在销售的过程中要求购买 这种产品的顾客必须参加如下活动: 摇动如图所示的游戏转盘 (上面扇形的圆心角都相等) , 按照指针所指区域的数字购买商品的件数,每人只能参加一次这个活动. (1)某顾客自己参加活动,购买到不少于 5 件该产品的概率是多少? (2)甲、乙两位顾客参加活动,求购买该产品件数之和为 10 的概率. . = , ,所以 cosα﹣sinα<0,所以(cosα﹣sinα) =1﹣
2

考点: 互斥事件的概率加法公式;等可能事件的概率. 分析: (1)由本题所给的条件知,做这个实验包含 12 个基本事件,且每个事件发生的概 率是相等的,所以本题是一个古典概型,列举出购买到不少于 5 件该产品的几种情况即可. (2)甲、乙两位顾客参加活动购买该产品数之和为 10 为事件 B,共有 144 种情况,符合条 件的有 9 种情况,求比值得结果. 解答: 解: (1)设购买到不少于 5 件该产品为事件 A, 则 (2)设甲、乙两位顾客参加活动购买该产品数之和为 10 为事件 B, 共有 12×12=144 种情况, 事件 B 有(1,9) , (2,8) , (3,7) , (4,6) , (5,5) , (6, 4) , (7,3) , (8,2) , (9,1)共 9 种情况, 则

点评: 古典概型要求能够列举出所有事件和发生事件的个数,本题可以列举出所有事件, 概率问题有时同其他的知识点结合在一起,但是解起来不很困难,往往是题目条件偏长. 16.已知关于 x,y 的方程 C:x +y ﹣2x﹣4y+m=0. (1)若方程 C 表示圆,求 m 的取值范围. (2)若圆 C 与直线 l:x+2y﹣4=0 相交于 M,N 两点,且 MN= ,求 m 的值.
2 2

考点: 直线与圆的位置关系;圆的一般方程. 专题: 直线与圆. 分析: (1)将方程配方为标准形式,然后分析表示圆的条件; (2)由(1)得到 m<5,利用直线与圆相交得到的弦长,半径与弦心距的关系求 m. 解答: 解: (1)方程 C 可化为 (x﹣1) +(y﹣2) =5﹣m, 显然 5﹣m>0 时,即 m<5 时方程 C 表示圆. (2)圆的方程化为(x﹣1) +(y﹣2) =5﹣m 圆心 C(1,2) ,半径
2 2 2 2

,m<5,

则圆心 C(1,2)到直线 l:x+2y﹣4=0 的距离为



∵MN= 有 ∴5﹣m=

, MN=

, ,

,得

m=4.满足 m<5,

所以 m=4. 点评: 本题考查了圆的方程、直线与圆的位置关系;属于基础题. 17.甲、乙两台机床同时加工直径为 100 mm 的零件,为了检验产品的质量,从产品中各随 机抽取 6 件进行测量,测得数据如下(单位 mm) : 甲:99,100,98,100,100,103 乙:99,100,102,99,100,100 (1)分别计算上述两组数据的平均数和方差; (2)根据(1)的计算结果,说明哪一台机床加工的这种零件更符合要求. 考点: 极差、方差与标准差. 专题: 计算题. 分析: (1)根据所给的两组数据,分布求出两组数据的平均数,结果两组数据的平均数 相等,再利用方差公式求两组数据的方差,得到甲的方差大于乙的方差. (2)对于两组数据的平均数和方差进行比较,知道两组数据的平均数相等,甲的方差大于 乙的方差,说明乙机床生产的零件质量比较稳定. 解答: 解: (1) = =100mm,

= S
2


=100mm,
2 2 2 2 2

= [(99﹣100) +(100﹣100) +(98﹣100) +(100﹣100) +(100﹣100) +(103
2 2

﹣100) ]= mm . S
2


= [(99﹣100) +(100﹣100) +(102﹣100) +(99﹣100) +(100﹣100) +(100
2 2

2

2

2

2

2

﹣100) ]=1mm . 2 2 (2)因为两个机床产品的平均数相等,且 S 甲>S 乙,说明甲机床加工零件波动比较大, 因此乙机床加工零件更符合要求. 点评: 本题考查两组数据的平均数和方差,对于两组数据通常要求它们的平均数和方差, 来比较两组数据的平均水平和波动大小,本题是一个基础题. 18.已知 0<x<π,sinα、cosα 是方程 5x ﹣x+m=0 的两实根,求: (1)m 的值; (2)求 sinα、cosα、tanα 的值; (3)sin α+cos α 的值. 考点: 同角三角函数基本关系的运用. 专题: 三角函数的求值. 分析: (1)根据题意,利用韦达定理及同角三角函数间基本关系列出关系式,整理即可 求出 m 的值; (2) 利用完全平方公式及同角三角函数间基本关系列出关系式, 整理求出 sinα﹣cosα 的值, 与已知等式联立求出 sinα 与 cosα 的值,即可确定出 tanα 的值; (3)原式利用立方和公式变形,再利用同角三角函数间基本关系化简,将各自的值代入计 算即可求值. 解答: 解: (1)∵0<α<π,sinα、cosα 是方程 5x ﹣x+m=0 的两实根, ∴sinα+cosα= ,sinαcosα= , ∵(sinα+cosα) =1+2sinαcosα=1+ 解得:m=﹣ ; , = ,
2 2 3 3 2

=



(2)∵sinα+cosα= ①,sinαcosα=﹣ ∴(sinα﹣cosα) =1﹣2sinαcosα=1+ ∴sinα﹣cosα= ②,
2

联立①②解得:sinα= ,cosα=﹣ ,tanα=﹣ ; (3)∵sinα+cosα= ,sinαcosα=﹣ ,

∴原式=(sinα+cosα) (sin α﹣sinαcosα+cos α)=(sinα+cosα) (1﹣sinαcosα)= ×

2

2

=



点评: 此题考查了同角三角函数间基本关系的运用,熟练掌握基本关系是解本题的关键. 19.某学校为了了解学生的日平均睡眠时间(单位:h)随机选择了 n 名学生进行调查,下 表是这 n 名学生的日睡眠时间的频率分布表: 序号 i 分组(睡眠时间) 频数(人数) 频率 1 [4,5) 6 0.12 2 [5,6) 0.20 3 [6,7) a 4 [7,8) b 5 [8,9) 0.08 (1)求 n 值,若 a=20 将表中数据补全,并画出频率分布直方图 (2)统计方法中,同一组数据常用该组区间的中点值作为代表,若据此计算的上述数据的 平均值为 6.52,求 a,b 的值,并由此估计该学校学生的日平均睡眠时间在 7 小时以上的频 率. 考点: 用样本的频率分布估计总体分布;频率分布表;频率分布直方图. 专题: 计算题. 分析: (1)由题意可得 n= =50,当 a=20 时,对应的频率为 =0.4,故 b 对应的频

率为 1﹣0.12﹣0.2﹣0.4﹣0.08=0.8,故频率 0.2 对应的频数为 50×0.2=10,0.08 对应的频率 为 50×0.08=4,故可得到完整的频率分步表,由此画出频率分步直方图. (2) 由题意可得 a+b=50﹣6﹣10﹣4=30, 且 4.5×0.12+5.5×0.2+6.5× +7.5× +8.5×0.08=6.52,

由此求得 a 和 b 的值,从而求得学生的睡眠时间在 7 小时以上的频率. 解答: 解: (1)由题意可得 n= =50,当 a=20 时,对应的频率为 =0.4,故 b 对应

的频率为 1﹣0.12﹣0.2﹣0.4﹣0.08=0.8, 故频率 0.2 对应的频数为 50×0.2=10,0.08 对应的频率为 50×0.08=4. 故表格中的数据分别为: 序号 i 分组(睡眠时间) 频数(人数) 频率 1 [4,5) 6 0.12 2 [5,6) 10 0.20 3 [6,7) a=20 0.4 4 [7,8) b=10 0.2 5 [8,9) 4 0.08 频率分步直方图为:

(2) 由题意可得 a+b=50﹣6﹣10﹣4=30, 且 4.5×0.12+5.5×0.2+6.5× 即 a+b=30,且 13a+15b=420,解得 a=15,b=15. 故学生的睡眠时间在 7 小时以上的频率等于 +0.08=0.38.

+7.5×

+8.5×0.08=6.52,

点评: 本题主要考查频率分步表和频率分步直方图, 用样本的频率估计总体的频率, 体现 了数形结合的数学思想,属于基础题. 20.已知甲袋中有 1 只白球,2 只红球;乙袋中有 2 只白球,2 只红球,现从两袋中各取一 球. (Ⅰ)两球颜色相同的概率; (Ⅱ)至少有一个白球的概率. 考点: 列举法计算基本事件数及事件发生的概率. 专题: 概率与统计. 分析: (Ⅰ)用列举法求出“从两袋中各取一球”包含基本事件共有 12 个,其中,“从两袋 中各取一球,两球颜色相同”包含 6 个基本事件,由此求得两球颜色相同的概率. (Ⅱ) 设 B 表示“从两袋中各取一球, 至少有一个白球”, 求得事件 B 包含基本事件个数为 8, 由此求得至少有一个白球的概率. 解答: 解:设甲袋中 1 只白球记为 a1,2 只红球记为 b1,b2; 乙袋中 2 只白球记为 a2, a3,2 只红球记为 b3,b4. 所以“从两袋中各取一球”包含基本事件(a1,a2) , (a1,a3) , (a1,b3) , (a1,b4) , (b1,a2) , (b1,a3) , (b1,b3) , (b1,b4) , (b2,a2) , (b2,a3) , (b2,b3) , (b2,b4)共有 12 种.….. (Ⅰ)设 A 表示“从两袋中各取一球,两球颜色相同”, 所以事件 B 包含基本事件(a1,a2) , (a1,a3) , (b1,b3) , (b1,b4) , (b2,b3) , (b2,b4) 共有 6 种. 所以 .…..

(Ⅱ)设 B 表示“从两袋中各取一球,至少有一个白球”, 所以事件 A 包含基本事件(a1,a2) , (a1,a3) , (a1,b3) , (a1,b4) , (b1,a2) , (b1,a3) , (b2,a2) , (b2,a3)共有 8 种.

所以

.…..

点评: 本题考查古典概型问题, 可以列举出试验发生包含的事件和满足条件的事件, 应用 列举法来解题是这一部分的最主要思想,属于中档题.


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