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两道解析几何竞赛题的推广


1 2 O  

数学 通 讯 —— 2 O 1 O年 第 5 , 6期 ( 上半月)  

? 课 外 园地 ?  

两道 解析 几何竞 赛题 的推广 
蔡玉书  
( 江 苏 省 苏 州市 第 一 中学 , 2 1 5 0 0 6 )  

试题 l ( 2 0 0 7年 辽 宁省 沈 阳 市数 学 竞赛 试 
题) 椭 圆 c:   +   一l ( a> b > o )的左 、 右焦 点 

设 直线 AB的方 程是 Y一 如 + m( m≠ O ) , 即 
= ==

1  

③ 

分 别为 F 。 , F   , 右顶点 为 A, P 为椭 圆 C 上任 意一 

将 ③ 代人 ② 得  +  y 2 +2 (   +  ) (   )= 0   ④ 

点. 已知两 .  

的最大值为3 , 最小值为 2 .  

( 1 ) 求椭 圆 C的方 程 ;  

( 2 ) 若直线 z : Y: = = 如 +m与椭 圆C相交 于M 、   N 两点 ( M、 N 不 是左右 顶点 ) , 且 以 MN 为直径 的  圆过点 A. 求证 : 直线 z 过定 点, 并 求 出该 定 点 的 
坐标 .  

因为 A( x 。 , Y   ) , B( x   , Y   )的坐标 既适合 方程 

②, 又适 合方程 ③ , 所 以适 合 方程 ④ , 又原 点也 适 
合 方程 ④ , 方 程 ④ 是 一 个齐 次 二 次 方程 , 它表 示  直线 P A, P B的合 成方程 . 因为直线 P A, P B垂 直 ,   所以   , Y 。 的 系数 和为零 , 于是 
(   1

试题 2 ( 2 0 0 9年 上 海 市数 学竞 赛试 题 ) A 是 
双曲线  - 7 - 一y 。: 1的右顶 点 , 过 点 A 的两 条互 相 

口  口 。  ) +( 丢+ b   。    b   。   ) =0
一  

⑤  

垂直 的直线 分别 与双 曲线 的 右支 交 于点 M 、 Ⅳ, 问  直线 MN 是否一 定过 z轴 上 一定 点 ? 如 果 存在 这 

即  ( n 。 +b   )   +2 ( n 。   一b 2   o 五 )= = = 0   ⑥ 
. . 一


2 ( 口   Y o —b 2 z 0 矗 )   —  
‘ 

样 的定点 P试 求 出这 个定 点 P 的坐标 , 如 果 不存 
在这样 的定 点 , 请 说明理 由.   经研究 , 这 两 道 试题 可 以进 一步 推 广 为下 面  的两 个定理 :  



1_ D  

所以, 直线 A B 的方程 可化 为 

№+   , T o ) 一 (   + 南   。 ) : 。 ,  
于是, 在新 坐标 系 中直 线 A B 经过 定点 
, 

定理1  过 椭圆  + 菩一1 ( n >6 >o ) 上 一  
定 点 P( x 。 , Y 。 ) , 作 两 条互 相垂 直 的直线 P A, P B,   分别 交椭 圆于 A, B, 当P A, P B变 化时 , 则 直线 A B  

2 6 0  

2 a2  

、  

一孺
口2


z 。 ’ 一  
6 0   n 2~ 6  

Y o ) ‘  
、  

回到原 坐标系 中 , 直线 A B 经过定 点 


恒 过 一 个 定 点 (   口   { 十 等 D     。 , 一   口 。 { 十 等   b   。 ) .  
定 理 的 证 明  因 为 P( x 。 , Y 。 ) 在 椭 圆上 , 所 以 
口2   I  

。’一  

Y。,?  

同理有 

定理 2   过双 曲线  一y A  = = = 1 ( n> 0 b>


0,  

+  b   2   一 1

① 

口≠ 6 ) 上 一定 点 P( x 。 , Y 。 ) , 作 两条互 相垂 直 的直  平移坐 标 系 , 将 原 点移 至 P( x 。 , Y 。 ) , 则 在新 坐 
标 系 中, 椭 圆方程 变为 
( z+ z 0 )   J(  + Y 0  
n 2     。 6  


线分 别 交双曲线 于 A, B, 当P A, P B 变化 时 , 则直 
线A B 恒过一 个定点 (   一 
D—   n一 一

Y o ) .  
D一  

一  ’  

1  

n  一

即  . T z +  + 2 (  

+ 

): = = 0  

② 

( 收稿 日期 : 2 0 1 0 —0 1 —2 0 )  


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