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排列组合二项复习


第九章 排列
组合 二项式定理

一.两个基本原理
加法原理: 做一件事,完成它可以有n类办法 第1类办法中――有m1种不同的方法 第2类办法中――有m2种不同的方法 …… 第n类办法中――有mn种不同的方法

则完成这件事共有N=m1+m2+…+mn种不同的办法
(不论哪一类办法中的哪一种方法都能独立完成这

件事) 理解: ①前提:做一件事完成它有n类办法 ②在这n类办法中选用任何一种方法都可完成这件事 ③完成这件事的各种方法是相互独立的、互斥的,

一.两个基本原理
乘法原理: 做一件事完成它需要分n个歩骤: 做第1歩――有m1种不同的方法 做第2歩――有m2种不同的方法 …… 做第n歩――有mn种不同的方法

则完成这件事共有N=m1×m2×……×mn种不同的方法
理解: 需要依次完成所有歩骤才能完成这件事,而完成 每一个歩骤各自有若干方法,即各歩骤不可缺少

?加法原理(并联) 两个基本原理的区别: ? ?乘法原理(串联)

一.两个基本原理
附加: 抽屉原理: 把n个不同物体放入m个抽屉里的放入方法有mn种

一.两个基本原理

二.排列及其应用
从n个不同元素中,任取m(n≥m)个元 ▲排列定义: 素,按照一定的顺序排成一列,叫做 从n个不同元素中取出m个元素的一个 排列(树图). 问:一个排列指什么?

▲排列数:从n个不同元素中取出m(n≥m)个元素的 所有排列的个数,叫做从n个不同元素中 取出m个元素的排列数,
问:所有排列指什么?

▲排列数公式: 从 n 个不同元素中取出 m 个元素的排
列数,记为

▲规定:

常用方法:
(1)直接法 (2)间接法:处理“至多”或“至少”一类问题非常有效求其反面

(3)优选法: 部分元素要排在某些特殊位置时要优先予以考虑。
(4)排除法: 反面情形较为简单,可计算反面情形再从所有情形 中减去. (5)捆绑法: 部分元素要连排在一起时,可将它们排列后视为 一个元素再和其它排列(相邻问题). (6)插空法: 某些元素要求隔开或顺序有规定时,可先排其余 元素(不相邻问题)

例 1 . 已 知 集 合 A={a1,a2,a3},B={b1,b2,b3,b4,b5,b6}, 若A中的不同元素对应到B中的不同象,则这样 的映射个数其有( ) A. 3 B. 20 C . 64 D. 120

例2.7人排成一排,其中甲乙两人不相邻的排 法有多少?

例 3.7 名师生站成一排照相留念,其中老师 1 人,男生4人,女生2人,在下列情况下,各 自不同站法多少种?
(1).两名女生必须相邻而站. (2).4名男生互不相邻. (3).若4名男生身高都不等且男生按从高到底 的一种顺序站.

(4).老师不站中间,女生不站两端.
(5).女生甲不站左端,女生乙不站右端.

例4.由1、2、3、4、5组成没有重复数字的五 位数120个,把这些五位数从小到大的顺序排 列起来。 (1).43251是第几个数? (2).写出第 93个数? 例5.已知甲组有2n人,乙组有n+1人,设从甲 组中选出 3 人分别参加数理化三科竞赛 ( 每科 限一人参加)的选法数是x,从乙组中选出4人 站成一排照相的站法数是 y,若 x=2y, 求 n、x、 y.

二.组合及其应用
从n个不同元素中,任取m(n≥m)个元 ▲组合定义: 素并成一组,叫做从n个不同元素中 取出m个元素的一个组合(树图). 问:一个组合指什么?

▲组合数:从n个不同元素中取出m(n≥m)个元素的 所有组合的个数,叫做从n个不同元素中 取出m个元素的组合数,
问:所有组合指什么?

▲组合数公式: 从 n 个不同元素中取出 m 个元素的组 m 合数,记为 C n

0 规定: C n

? C ?1
n n m n

▲组合数的两个性质:
定理1: C 定理2:

?C

n?m n

排列与组合关系:
排列 组合

顺序问题 相同 与 相异 公式

与元素的顺序有关 ab与ba是不同的排列 abc与abd是不同的排列 abd与abd是相同的排列

与元素的顺序无关 ab与ba是相同的组合 abc与abd是不同的组合

规定

例1.从4个不同元素a、b、c、d中取出3个元 m m m 素的排列与组合关系: Pn ? Cn Pm
组合 排列

例1.9人分往3处劳动,若
(1)甲处要4人,乙处要3人,丙处要2人,有几种分法. (2)一处要4人,一处要3人,一处要2人,有几种分法. 例2.从4名男生和5名女生中任选出3名,其中至少男女 生各一名,则不同取法有 ( )

A.140

B.80

C.70

D.35

例3.在100件产品中,有4件次品,现任意抽出5件, 其中至少有1件是次品的抽法有多少?

例4.从四面体顶点和各棱中点共10个点中任取4个不共 面的点,不同取法有 ( ) A.150种 B.147种 C.144种 D.141种

例5.10名优秀学生名额分到6个班,每班至少一个名额 的分法有多少种? 例6.11名学生中有5名只会英语,4名只会日语,2人 既会英语又会日语,从中选出4人参加英语比赛,4人 参加日语比赛有多少种不同的选 法?

例7.四个不同的小球放入编号为1、2、3、4的四个盒 中则4个有一个是空盒的放法有多少种. 例8.从1、2、3、4、…、9九个数字中,选出3个不同 的数字作为y=ax2+bx+c的系数且a>b>c,这种系数有多 少种 N 例9.(走路问题)(方法:数格子)如图在某 城市中M、N两地之间有整齐的道路网, 若规定只能向东或向北两个方向沿图 中路线前进,则M到N不同的走法共有:M
A.25 B.15 C.13 D.10 例10.(组成长方形问题)(方法:数线)如上图可组成多少 个长方形.

三.二项式定理及其应用 一.二项式定理及展开式
◆项数 ◇杨辉三角 ◆二项式系数

二.二项式定理的通项 是第几项?

是第r+1项

三.二项式定理展开式的中间项
n为偶数时:中间项为第 n为奇数时:中间项为第

中间项的二项式系数最大

四.二项式系数 的性质 首先构建一个函数式 f ( x) ? (1 ? x)n
(1).当x ? 1时则C ? C ? C ? C ? ? ? C ? 2
0 n 1 n 2 n 3 n n n n

由(1)(2)得.C ? C ? C ? ? ? C ? C ? C ? ? ? 2
0 n 2 n 4 n 1 n 3 n 5 n

n ?1

n? n? [ 2 (cos ? i sin )] ? 2 (cos ? i sin ) 4 4 4 4
n n 2

?

?

五.区别“二项式系数”与二项式展开式中“某项的系 数”
例如

n? 结论:(1).C ? C ? C ? C ? ? ? 2 cos 4 n n? 1 3 5 7 2 (2).Cn ? Cn ? Cn ? Cn ? ? ? 2 sin 4
0 n 2 n 4 n 6 n n 2

六.二项式定理题型
(1)求展开式:

例1.求(1 ? 2 x) 8的展开式

例3.若(2 x ? 3 ) ? a0 ? a1 x ? a2 x ? a3 x ? a4 x
4 2 3

4

求(a0 ? a2 ? a4 ) ? (a1 ? a3 )
2

2

例5.已知(1 ? x) n 展开式中奇数项之和为A,偶数项之 和为B, 求A ? B
2 2

(2)求证整除问题:

例2.今天是星期二, 再过2 天是星期几 ?
(3)证明恒等式

100

(2n)! 例2.求证 : (C ) ? (C ) ? (C ) ? ? ? (C ) ? ? C2nn n!n!
0 2 n 1 2 n 2 2 n n 2 n

(4)求近似问题

▲组合数的两个性质的应用
m 定理1: C n

?C

n?m n

定理2:

例1:填空

(2).C ? C ? C ? ? ? C ?
4 5 4 6 4 7 4 10

例2:证明下列恒等式
0 2 n ?1 n n (1).C m ? C1 ? C ? ? ? C ? C ? C m ?1 m?2 m ? n ?1 m ?n m ? n ?1

▲ (a ? b)

n

题型

【方法】:利用通项与分解因式列表法

1 100 例2.在( x ? 3 ) 的展开式中有多少项是有理项. x
【分析】:列表法分类讨论

例4.在(x 2 ? 3 x ? 2)5的展开式中x的系数
(-168)

(240)

▲ ( a ? b ? c)

n

题型
(-15120) (-20) (-51)

【方法】:先任意组合两项或分解因式列表法

【小结】

1 例2.求(| x | ? ? 2) 3 展开式中常数项 | x| 1 例3.求(x ? ? 1) 5 展开式中常数项 x


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