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空间向量及其运算习题课


空间向量及其运算习题课

1.给出以下命题: 基础检测 (1)两个空间向量相等,则它们的起点、终点相同; ?? ? ? ? ? (2)若空间向量 a、 满足 | a |?| b | ,则 a ? b ; b ??? ???? ? ? (3)在正方体 ABCD ? A1B1C1D1 中,必有 AC ? AC1 ; ?? ? ? ? ? ?? ? ? ? ??1

? ; ? (4)若空间向量 m n、 满足 m ? n, n ? p,则 m ? p 、p (5)空间中任意两个单位向量必相等。 其中不正确命题的个数是( C ) A.1 B.2 C.3 D.4

2.下列命题中正确的有: B ? ? ? ? ? ? ? ? (1) p ? xa ? yb  p 与 a 、 共面 ; ? b ? ? ? ? ? ? ? ? (2) p 与 a 、 共面 ? p ? xa ? yb  b ;

???? ? ???? ? ???? ? (3) MP ? xMA ? yMB ? P、M、A、B共面;

???? ? ???? ???? ? ? (4) P、M、A、B共面 ? MP ? xMA ? yMB ;

A.1个

B.2个

C.3个

D.4个

???? ???? ? ? ???? ???? ? ? 3.对于空间中的三个向量 MA 、MB 、 MA-MB 它们一 2 定是( A ) A.共面向量 B.共线向量

C.不共面向量

D.既不共线又不共面向量

4.已知A、B、C三点不共线,对平面外一点O,在下 列条件下,点P是否与A、B、C共面?

??? 2 ??? 1 ??? 2 ???? ? ? ? (1) OP ? OA ? OB ? OC ; ??? 5 ??? 5 ??? 5???? ? ? ?

(2) OP ? 2OA ? 2OB ? OC ;

→ =2AB,则 C 的 → 5.已知 A(3,-2,4),B(0,5,-1),若OC 3 14 10 14 10 坐标是( B )A.(2,- , ) B.(-2, ,- ) 3 3 3 3 14 10 14 10 C.(2,- ,- ) D.(-2,- , ) 3 3 3 3 6.已知A、B、C三点的坐标分别为A(4,1,3),B(2,- 5,1),C(3,7,λ),若 则λ等于( D) A.λ=28 B.λ=-28 C.λ=14 D.λ=-14

7.已知a=(2,-3,0),b=(k,0,3),<a,b>=120°,则 k=________. ? 39

8.设命题p:{a,b,c}为空间的一个基底,命题q:a、 充分不必要 b、c是三个非零向量,则命题p是q的__________条件. 9.(1)已知向量a=(2,4,5),b=(3,x,y),若a∥b,则x 15 =________,y=________. 6 2 (2)已知:a=(2,4,x),b=(2,y,2),若|a |=6,且a⊥b, 1或- 3 则x+y=________.

10.设已知两点 (4,0,5)和B(7,1,3),求AB A 的单位向量。 3 1 2 3 1 2 ( , ,? ) 或(,, ) 14 14 14 14 14 14

例1.设A(x1,y1,z1)和B(x2,y2,z2)为两已知点,而在AB
MB ,使它 AM 与 直线上的点 M 分有向线段 AB 为两个有向线段 AM ? ? ,求分点 M 的坐标. 们的值的比等于某数?(???1),即 MB z
解 设所求点为M(x,y,z),则
? ??

? ??

? ??

? ??

A M AM ?{x?x 1,y?y 1,z?z 1},MB ? {x 2?x,y 2?y,z 2?z}.
? ??

,z?z 1},MB ? {x 2?x,y 2?y,z 2?z}.

? ??

B O y

依题意有 AM ?? MB ,即 x {x?x1,y?y1,z?z1} ?? {x2?x,y2?y,z2?z}, {x,y,z}?{x1,y1,z1}? ?{ x2,y2, 2}??{x,y,z}, 1 {x,y,z}? {x 1? ?x 2,y 1? ?y 2,z 1? ?z 2}, 1? ? x1 ? ?x 2 y1 ? ?y 2 z 1 ? ?z 2 x? ,y? ,z? . 1? ? 1? ? 1? ?

? ??

? ??

例 2.如图, 在空间四边形 ABCD 中, AB ? 2 , BC ? 3 , BD ? 2 3 , CD ? 3 , ?ABD ? 30? ,?ABC ? 60? ,求 AB 与 CD 的夹角的余弦值
王新敞
奎屯 新疆

??? ??? ??? ? ? ? 解:∵ CD ? BD ? BC ,

??? ??? ??? ??? ??? ??? ? ? ? ? ? ? ∴ AB ? CD ? AB ? BD ? AB ? BC ??? ? ??? ? ??? ??? ? ? ?| AB | ? | BD | ? cos ? AB, BD ? ??? ? ??? ? ??? ??? ? ? ? | AB | ? | BC | ? cos ? AB, BC ?

? 2 ? 2 3 ? cos150? ? 2 ? 3 ? cos120? ? ?6 ? 3 ? ?3
??? ??? ? ? ??? ??? ? ? AB ∴ cos ? AB, CD ?? ??? ? CD? ? ?3 ? ? 1 , ? ??? 2 | AB | ? | CD | 2 ? 3

??? ??? ? ? 说明:由图形知向量的夹角时易出错,如 ? AB, BD ?? 150? ??? ??? ? ? 易错写成 ? AB, BD ?? 30? ,注意推敲!

1 ∴ AB 与 CD 的夹角的余弦值为 . 2

例 3 如图所示,直三棱柱 ABC—A1B1C1,底面△ABC 中,CA=CB =1,∠BCA=90° ,棱 AA1=2,N 是 A1A 的中点. (1)求 BN 的长; (2)求异面直线 BA1 与 CB1 所成角的余弦值.

解 如图所示,以 C 为原点建立空间直角坐标系. → (1)依题意得 B(0,1,0),N(1,0,1).∴|BN|= 3,∴BN 的长为 3.
(2)依题意得 A1(1,0,2),B(0,1,0),C(0,0,0),B1(0,1,2), → → → → ∴BA1=(1,-1,2),CB1=(0,1,2),∴BA1· 1=3. CB

→ → 又∵|BA1|= 6,|CB1|= 5,

→ → BA1· 1 CB 30 → ,CB 〉= → ∴cos〈BA1 = . 1 10 → → |BA ||CB |
1 1

例4.如图,已知平行四边形ABCD,从平 ??? ? ???? ??? ???? ? 面AC外一点O引向量 OE ? kOA , OF ? kOB,
???? ???? ???? ? ??? ? OG ? kOC , OH ? kOD ,

求证: ⑴四点E、F、G、H共面; ⑵平面EG//平面AC.

例5(试用向量方法证明直线与平面垂直的判定定理) 已知直线m ,n是平面 ?内的两条相交直线, 如果 l ⊥m, l ⊥n,求证: l ⊥? .
分析:要证明一条直线与一个平面 垂直,由直线与平面垂直的定义可 知,就是要证明这条直线与平面内 的任意一条直线都垂直.

l

?? ? m ? ?? g n m

? g l

m

达标检测
1.设 a , b , c 是任意的非零空间向量,且相互不共线, 则: ①( a · b ) c ? ( c · a ) b =0
? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?

②| a |-| b |<| a ? b |
2

?

?

?

?

③( b · c ) a ? ( c · a ) b 不与 c 垂直 ④(3 a +2 b )·(3 a ? 2 b )=9| a | - 4 b 中,真命题是(D) (A)①②
?? ?? ? ?
? 2

(B)②③
?? ?? ? ?

(C)③④
?? ?

2. 已 知 向 量 a, b 满 足 a ? 1, b ? 2, a ? b ? 3 , 则

?? ?

(D)②④

?? ?? ? ?

1 a ? b ? _____.

3.已知PA垂直于正方形ABCD所在的平面,M、N分别是 AB、PC的中点,并且PA=AD.求MN,DC的坐标。
解:

作业: 1.已知空间四边形ABCD的每条边和对角线的长都是a, 2 点M、N分别是边AB、CD的中点,求MN的长.
G为CC1的中点,求证:A1O⊥平面GBD. 3.已知空间四边形OABC各边及对角线长都相等,E,F分 别为AB,OC的中点,求异面直线OE与BF所成角的余弦 2 值.
3
2 2.在正方体ABCD- 1B1C1D1 中,O为AC与BD的交点, A a

4.设a=(1,5,-1),b=(-2,3,5),若(ka+b)∥(a-3b), 求k. k=-1
3

探究展示: 1.设直线l的方向向量为 , 若a与平面?所成的角为 0,则直线l与 a 0
平面?所成的角为多少度?直 线与平面有何位置关系 ? 2.平面的法向量是否唯一?若不唯一,它们之间有何位 置关系? 3.已知A(1,0,1)、B(0,1,1)、C(1,1,0),求平面ABC的一 个法向量.

4.已知两点 A( , 2,) B 2, ? 3 求直线 AB 与坐标 1 ? 3 ,( 1, ), 平面 yOz 的交点. (, 3 ),( 1 ),(,2 , ) 5. 已 知两 点 A 1 2, B 2,2 P 1 1, , 点 Q 在 OP ?? ??? ? 上运动,求当 QA ? QB 取得最小值时,点 Q 的坐标.


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