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2012优化方案高考数学(理)总复习(北师大版)第3章§3.5


§3.5 三角函数的图像与性质

§ 3.5 三 角 函 数 的 图 像 与 性 质

双基研习?面对高考

考点探究?挑战高考

考向瞭望?把脉高考

双基研习?面对高考

基础梳理
1.周期函数 一般地,对于函数y=f(x),如果存在一个______ 非零 实数T,使得当x取定义域内的每一个值时, _______________ 都成立,那么就把函数y=f(x)叫 f (x+T)=f(x) 作周期函数,不为零的实数T叫作这个函数的周 期.对于周期函数来说,如果所有的周期中存在 最小正 周期,今 着一个最小的正数,就称它为________ 后提到的三角函数的周期,如未特别指明,一般 最小正周期 . 都是指它的_____________

思考感悟

如果函数y=f(x)的周期为T,那么函数y=f(ωx)的
周期是多少?

2.正弦函数、余弦函数、正切函数的图像和性质

课前热身
π 1.设函数 f(x)= cos(2x- ),x∈ R,则 f(x)是( 2 A.最小正周期为 π 的奇函数 B.最小正周期为 π 的偶函数 π C.最小正周期为 的奇函数 2 π D.最小正周期为 的偶函数 2 )

答案:A

2.函数 f(x)=sinx-cosx 的最大值为( A.1 B. 2 C. 3 D.2

)

答案:B

3.M,N 是曲线 y=πsinx 与曲线 y=πcosx 的两个 不同的交点,则|MN|的最小值为( ) A.π B. 2π C. 3π D. 2π

答案:C 4.(教材习题改编)y=1+cosx,x∈[0,2π]的图像
与y=0的交点的个数为________. 答案:1

5.(原创题)函数y=|tanx|的单调增区间是
________.

解析:画出函数 y=|tanx|的图像如下图,易知其单 π 调增区间为:[kπ,kπ+ ), k∈Z. 2
π 答案:[kπ,kπ+ ),k∈ Z 2

考点探究?挑战高考

考点突破 三角函数的定义域 求三角函数的定义域时,转化为三角不等式组

求解,常常借助于三角函数的图像和周期解决,
求交集时可以利用单位圆,对于周期相同的可

以先求交集再加周期的整数倍即可.

例1

求下列函数的定义域:
2 2

(1)y= -2cos x+ 3cosx-1+ lg(36-x ); lg? 2sinx-1?+ - tan x-1 (2)y= . x π cos? + ? 2 8

【思路点拨】

先列出使函数有意义的不等式(

组),再结合函数的图像或三角函数线求解.

【解】 (1)由题意,得 2 ? - 2cos x+ 3cosx-1≥ 0, ?
? 2 ? 36 - x >0. ?

1 ? ? ?cosx≥ 2, ??2cosx- 1??cosx-1?≤ 0, 即? 也即? ?- 6<x<6. ? ? ?-6<x<6. π π ? ?- 3+ 2kπ≤ x≤ 3 +2kπ? k∈ Z? , 解得? ? ?- 6<x<6.

取 k=-1,0,1,可分别得到 5π π π 5π x∈ (-6,- ]或 x∈ [- , ]或 x∈[ , 6). 3 3 3 3 即所求的定义域为 5π π π 5π (- 6,- ]∪ [- , ]∪ [ , 6). 3 3 3 3

? ?-tanx-1≥0, (2)由题意,知? x π ? ?cos?2+8?≠0,
2sinx- 1>0,

? ? 即?tanx≤-1, x π π ? ?2+8 ≠kπ+2?k∈Z?.
1 sinx> , 2 可利用单位圆中的三角函数线直观地求得不等式组 的解集,如图所示,

? ? π π 有?kπ-2 <x≤ kπ-4 ?k∈Z? , 3π ? ?x≠2kπ+ 4 ?k∈Z?.

π 5π 2kπ+ <x<2kπ+ ?k∈ Z? , 6 6

π 3π ∴该函数的定义域为{x|2kπ+ <x<2kπ+ , k∈Z}. 2 4

【方法小结】 (1)三角函数的定义域是研究其他一 切性质的前提. (2)三角函数的定义域要求同其他函数中对自变量的 π 限制一样,另外 y= tanx 中 x≠ kπ+ , k∈ Z. 2 (3) 求三角函数定义域实际上是解简单的三角不等 式,常借助三角函数线或三角函数图像来求解.

三角函数的值域和最值

1.三角函数属于初等函数,因而前面学过的求
函数值域的一般方法,也适用于三角函数,但涉

及正弦、余弦函数的值域时,应注意正弦、余弦
函数的有界性,即|sinx|≤1,|cosx|≤1对值域的影 响. 2.解答此类题目首先应进行三角恒等变形,将 函数式化为只含一个三角函数式的形式,再根据

定义域求解.

(1)求函数 y=sin2x+sinx-1 的值域; π π (2)若 <x< ,求函数 y=tan2xtan3x 的最大值; 4 2 (3)求函数 f(x)=sin2x-2sin2x 的最大值及 f(x)取最大 值时 x 的集合.
例2

【思路点拨】 等求解.

先将原函数式进行恒等变形,再

化为一个角的三角函数或利用|sinx|≤1,|cosx|≤1

【解】

(1)令 t= sinx,则 t∈[-1,1], 12 5 2 y= t +t-1=(t+ ) - , t∈ [- 1,1], 2 4 5 ∴ y∈ [- , 1]. 4 4 2tan x 3 (2)y= tan2x· tan x= 1- tan2x = 2 1 1 - tan4x tan2x = 2 1 12 1 ? 2 - ?- 4 tan x 2 ,

π π ∵ <x< , 4 2 1 1 1 1 1 ∴ tanx>1,0< 2 <1,- < 2 - < . 2 tan x 2 2 tan x 1 12 1 ∴ 0≤ ( 2 - ) < , tan x 2 4 1 1 12 1 - ≤ ( 2 - ) - <0. 4 tan x 2 4 1 12 1 1 ∴当( 2 - ) - =- , 4 4 tan x 2 即 tanx= 2时,ymax=-8.

π (3)∵ f(x)= sin2x- (1- cos2x)= 2sin(2x+ )-1, 4 π π π ∴当 2x+ = 2kπ+ ,即 x=kπ+ (k∈ Z)时, 4 2 8 f(x)取得最大值 2- 1. π ∴ f(x)取最大值时 x 的集合为 {x|x= kπ+ , k∈ Z}. 8

【规律小结】

求解涉及三角函数的值域(最值)

的题目一般常用以下方法: (1)利用sinx、cosx的值域; (2)形式复杂的函数应化为y=Asin(ωx+φ)+k的 形式逐步分析ωx+φ的范围,根据正弦函数单调

性写出y=Asin(ωx+φ)的值域;
(3)换元法:把sinx、cosx看作一个整体,可化为 二次函数.

互动探究 1

π 若将例 2(1)、 (3)中的 x∈R 改为 x∈[ , 6

π ],结果如何? 3

π π 1 3 解:(1)当 x∈[ , ]时,t∈[ , ], 6 3 2 2 1 2 3- 1 此时 y∈[- , ]. 4 4

π π π 7π 11π (3)当 x∈ [ , ]时,2x+ ∈ [ , ], 6 3 4 12 12 π 7π π 此时当 2x+ = ,即 x= 时, 4 12 6 3-1 f(x)取得最大值为 . 2 π ∴ fx)取得最大值时 x 的集合为{ }. 6

三角函数的单调性
函数 y= Asin(ωx+ φ)(A>0, ω>0)的单调区间的确定, 基本思想是把 ωx+ φ 看做一个整体,比如:由 2kπ π π - ≤ωx+φ≤2kπ+ (k∈Z)解出 x 的范围,所得区 2 2 π 3 间即为增区间; 由 2kπ+ ≤ωx+φ≤2kπ+ π(k∈ Z) 2 2 解出 x 的范围,所得区间即为减区间.

例3 求下列函数的单调递增区间:

3 π (1)y= sin(- x+ ); 2 4 π (2)y= 1- 2cos( - x); 3 (3)y= sin2x+ sinx.

【思路点拨】

利用复合函数的单调性规律“同

增异减”求解.

【解】

(1)该函数的定义域为 R. 3 π 令 t=- x+ ,则 y= sint. 2 4 因为 t 是 x 的一次减函数, 故应取 y= sin t 的减区间 才符合要求. π 3π 由单调性可知, 2kπ+ ≤ t≤ 2kπ+ (k∈ Z), 2 2 π 3 π 3π 即 2kπ+ ≤- x+ ≤ 2kπ+ (k∈ Z). 2 2 4 2 4kπ 5π 4kπ π ∴- - ≤ x≤- - ,k∈ Z. 3 6 3 6

3 π ∴ y= sin(- x+ )的单调递增区间是 2 4 4kπ 5π 4kπ π [- - ,- - ](k∈ Z). 3 6 3 6 π (2)该函数的定义域为 R,y=f(x)=1- 2cos( -x)= 1 3 π - 2cos(x - ) ,所以 f(x) 的单调增区间恰为 g(x) = 3 π 2cos(x- )的单调减区间, 3

π 4 而 g(x)的单调减区间为[2kπ+ , 2kπ+ π](k∈ Z), 3 3 π 4 所以原函数的单调增区间为[2kπ+ , 2kπ+ π](k∈ 3 3 Z). (3)该函数的定义域为 R. 2 令 u= sinx,则 y= u + u, u∈[-1,1], 12 1 而 y= u + u=(u+ ) - 开口向上,对称轴为 u=- 2 4
2

1 . 2

1 故当- ≤ u≤1 时, y= u2+ u 是增函数, 所求 x 的范 2 1 围应使 u= sinx 是增函数且满足条件- ≤ sinx≤1, 2 π π 则 2kπ- ≤ x≤ 2kπ+ (k∈ Z); 6 2 1 当-1≤ u≤- 时,y= u2+ u 是减函数,所求 x 的范 2 围应使 u= sinx 是减函数且满足条件- 1≤ sinx≤- 1 , 2

7π 3π 则 2kπ+ ≤ x≤ 2kπ+ (k∈ Z). 6 2 综上所述,函数 y= sin2x+ sinx 的单调递增区间是 π π 7π 3π [2kπ- , 2kπ+ ]和 [2kπ+ , 2kπ+ ],k∈ Z. 6 2 6 2

【误区警示】

(1)单调区间是定义域的子区间,

因而应先求定义域.

(2)正确分析复合函数的复合情况是解题关键也是
易错点.

三角函数的周期性和对称性
1.y= Asin(ωx+ φ)和 y= Acos(ωx+ φ)的最小正周期 2π π 为 , y=tan(ωx+ φ)的最小正周期为 . |ω| |ω| 2.正、余弦函数的图像既是中心对称图形,又是轴 对称图形,正切函数的图像只是中心对称图形,应 熟记他们的对称轴和对称中心,并注意数形结合思 想的应用.

例4 (1)(2010年高考陕西卷)函数f(x)=2sinxcosx

是(

)

A.最小正周期为2π的奇函数
B.最小正周期为2π的偶函数

C.最小正周期为π的奇函数
D.最小正周期为π偶函数

(2)(2009 年高考全国卷Ⅰ )如果函数 y= 3cos(2x+ φ) 4π 的图像关于点 ( ,0)中心对称,那么 |φ|的最小值为 3 ( ) π π A. B. 6 4 π C. 3 π D. 2

【思路点拨】 (1)化为 f(x)= Asin(ωx+ φ)后再判断; π (2)余弦函数的对称中心是(kπ+ ,0)(k∈ Z),由此来 2 求 |φ|的最小值.

【解析】 (1)f(x)= 2sinxcosx= sin2x 是奇函数,T= 2π = π,因此 f(x)是最小正周期为 π 的奇函数. 2 4π (2)∵ y= 3cos(2x+ φ)的图像关于点( , 0)中心对称, 3 4π 8π π ∴ 3cos(2× + φ)=0.∴ + φ= + kπ, k∈ Z. 3 3 2 13π π ∴ φ=- + kπ, k∈ Z.∴当 k= 2 时,|φ|有最小值 . 6 6

【答案】

(1)C

(2)A
形如y=f(ωx+φ)的三角函数在求

【名师点评】

解单调区间、周期、最值、对称性等问题时,往
往把ωx+φ看作一个整体.

变式训练 2 ________.

1 (1)函数 y= sin2x 的最小正周期 T= 2

(2)(2009 年高考江西卷 )函数 f(x)=(1+ 3tanx)cosx 的最小正周期为 ( ) 3π A. 2π B. 2 C. π π D. 2

2π 解析:(1)函数 y=sinωx 的最小正周期 T= ,所以 |ω| 1 2π 函数 y= sin2x 的最小正周期 T= =π.故填 π. 2 2 π (2)选 A.依题意得 f(x)= cosx+ 3sinx=2sin(x+ ), 6 因此其最小正周期是 2π,故选 A.

答案:(1)π

(2)A

方法感悟 方法技巧

1.利用函数的有界性(-1≤sin x≤1,-1≤cos
x≤1),求三角函数的值域(最值).(如例2(1)、(3)) 2.利用函数的单调性求函数的值域或最值.(如 例2(2)) 3.利用换元法求复合函数的单调区间(要注意x

系数的正负号).(如例3)

4.正、余弦函数的线性关系式都可以转化为 f(x)= asin x+ bcosx= a2+b2sin(x+ φ),特别注意把 sin α ± 3cos α , 3sinα ± cos α 转化为 y= 2sin(α + φ)形 式时, φ 为特殊角. 5.三角函数的定义域是研究其他一切性质的前提, 求三角函数的定义域,事实上就是解最简单的三角 不等式 (组 ). 通常可用三角函数的图像或三角函数线 来求解.注意数形结合思想的应用. (如例 1)

6.函数 y= Asin(ωx+ φ)(A, ω≠ 0)为奇函数的充要 条件为 φ= kπ, k∈ Z; 为偶函数的充要条件为 φ= kπ π + ,k∈ Z.函数 y= Acos(ωx+ φ)(A,ω≠ 0)为奇函数 2 π 的充要条件为 φ= kπ+ ,k∈ Z;为偶函数的充要条 2 件为 φ=kπ,k∈ Z.函数 y= Atan(ωx+ φ)(A, ω≠ 0) kπ 为奇函数的充要条件为 φ= , k∈ Z;它不可能是 2 偶函数. (如例 4)

失误防范 1.闭区间上最值或值域问题,首先要在定义域 的基础上分析单调性,含参数的最值问题,要讨

论参数对最值的影响.
2.求三角函数的单调区间时,应先把函数式化

成形如y=Asin(ωx+φ)(ω>0)的形式,再根据基
本三角函数的单调区间,求出x所在的区间.应 特别注意,考虑问题应在函数的定义域内考虑. 注意区分下列两题的单调增区间不同:

π π (1)y= sin(2x- ); (2)y= sin( -2x). 4 4 3.利用换元法求三角函数最值时,注意三角函数的 有界性,注意新元的范围.

考向瞭望?把脉高考

考情分析 三角函数的性质是每年高考必考的知识点之一, 考查重点是三角函数的周期性、单调性、最 值.题型既有小题,又有解答题,难度中、低 档.近几年试题加强了与三角恒等变换交汇命题 的考查,在考查三角函数性质的同时,又考查三 角恒等变换的方法与技巧. 预测2012年高考仍将以三角函数周期性、单调性、 最值为主要考点,考查运算和恒等变形能力.

规范解答
(本题满分 12 分 )(2010 年高考湖北卷)已知函 π π 1 1 数 f(x)= cos( + x)cos( - x), g(x)= sin2x- . 3 3 2 4 (1)求函数 f(x)的最小正周期; (2)求函数 h(x)=f(x)-g(x)的最大值,并求使 h(x)取 得最大值的 x 的集合.


π π 【解】 (1)∵ f(x)= cos( + x)cos( - x) 3 3 1 3 1 3 = ( cosx- sinx)· ( cosx+ sinx) 2 2 2 2 1 2 3 2 = cos x- sin x 4 4 1+ cos2x 3-3cos2x 1 1 = - = cos2x- , 8 8 2 4 2π ∴ f(x)的最小正周期为 = π.4 分 2

1 1 2 (2) 由 (1) 知 h(x) = f(x) - g(x) = cos2x - sin2x = 2 2 2 π cos(2x+ ), 6 分 4 π π 当 2x+ =2kπ(k∈ Z),即 x= kπ- (k∈ Z)时, h(x) 4 8 2 取得最大值 .10 分 2 π h(x)取得最大值时,对应的 x 的集合为 {x|x=kπ- , 8 k∈ Z}.12 分

【名师点评】

(1)本题易错点是:①不会化简

f(x),不知从何处入手;②三角变换公式不熟, 不能逆用两角和(差)的三角公式将f(x),h(x)化为 “一角一函数”;③记混正、余函数取得最值时的 x的集合,致使h(x)取得最大值时x的集合求错.

(2)解决这类题目的一般思路就是变换函数解析式
,将其化为y=Asin(ωx+φ)+h的形式,一般要 求A>0,ω>0(当然这不是绝对的),然后根据y= Asin(ωx+φ)+h的性质解决问题.对于函数y= Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)的性质,完全可以令z=

ωx+φ,与函数y=sin z的性质类比得到,解决相
应的问题.

(3)在三角函数试题中一个重要的技巧就是变换 y= asin x+ bcos x(a,b 为常数).对于函数式 y=asinx + bcos x,一般情况是将其化为 y= a +b sin(x+ a φ),其中确定的常数 φ 满足 cosφ= 2 , sinφ= 2 a +b b 注意其中 a= ± 1, b= ± 1;a= ± 1,b= ± 3; 2 2 a +b a= ± 3, b= ± 1 这几种特殊情况.
2 2

在一般情况下,尽可能取 ω 为正值,若是负值可以 π 再通过诱导公式变换为正值, 如求函数 y= sin( -2x) 4 的单调递增区间时,一般是转化为求函数 y= sin(2x π - )的单调递减区间. 4

名师预测
π π 2π 设函数 f(x)= sin( x- )- 2cos x+ 1. 4 6 8 (1)求 f(x)的最小正周期; (2)若函数 y= g(x)与 y=f(x)的图像关于直线 x= 1 对 4 称,求当 x∈ [0, ]时, y= g(x)的最大值. 3

π π π π π 3 π 解: (1)f(x)= sin xcos - cos xsin - cos x= sin x 4 6 4 6 4 2 4 3 π π π - cos x= 3sin( x- ), 2 4 4 3 2π 故 f(x)的最小正周期为 T= = 8. π 4 (2)法一:在 y= g(x)的图像上任取一点(x,g(x)),它 关于 x= 1 的对称点为 (2-x,g(x)).由题设条件,点 (2-x, g(x))在 y=f(x)的图像上.

π π π π π g(x)= f(2- x)= 3sin[ (2- x)- ]= 3sin( - x- ) 4 3 2 4 3 π π = 3cos( x+ ). 4 3 4 π π π 2π 当 0≤ x≤ 时, ≤ x+ ≤ ,因此 y=g(x)在区间 3 3 4 3 3 4 π 3 [0, ]上的最大值为 g(x)max= 3cos = . 3 3 2

4 2 法二:因区间[0, ]关于 x= 1 的对称区间为[ , 2], 3 3 且 y= g(x)与 y= f(x)的图像关于 x=1 对称, 故 y=g(x) 4 2 在 [0, ]上的最大值即为 y= f(x)在 [ , 2]上的最大值. 3 3 2 π π π π 当 ≤ x≤ 2 时,- ≤ x- ≤ , 3 6 4 3 6 2 3 ∴ f(x)在 [ , 2]上的最大值为 f(x)= , 3 2 4 3 ∴ g(x)在 [0, ]上的最大值为 . 3 2

本部分内容讲解结束
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