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北京市2016届高三数学一轮专题突破训练《数列》(文)及答案


北京市 2016 届高三数学文一轮复习专题突破训练 数列
一、填空、选择题 1、(2013 年北京高考)若等比数列{an}满足 a2+a4=20,a3+a5=40,则公比 q=________;前 n 项 和 Sn=________. 2、(昌平区 2015 届高三上期末)已知数列 {an } 满足 3an?1 ? an ? 4 (n ? 1 ,n ? N* ), 且

a1 ? 9, 其 前 n 项之和为 S n ,则满足不等式 | S n ? n ? 6 |? A.7 B.6

1 成立的 n 的最小值是 40
C.5 D.4 )

3、 (房山区 2015 届高三一模) 已知数列 {an } 的前 n 项和为 Sn ,a1 ? 1 ,Sn ? 2an?1 , 则 Sn ?( A. 2
n ?1

B. ( )

3 2

n ?1

C. ( )

2 3

n ?1

D.

1 2 n ?1

4、(海淀区 2015 届高三一模)已知 {an } 为等差数列, Sn 为其前 n 项和.若 a3 ? ?6 , S1 ? S5 ,则 公差 d ? ________; Sn 的最小值为 .

* 5、(海淀区 2015 届高三二模)已知数列 {an } 的前 n 项和为 Sn , an ? 0 (n ? N ) , an an ?1 ? Sn ,

则 a3 ? a1 ?

. ( )

6、已知等差数列 1, a, b ,等比数列 3, a ? 2, b ? 5 ,则该等差数列的公差为 A.3 或 ?3 B.3 或 ?1 C. 3 D. ?3

7、设 Sn 为等比数列 ?an ? 的前 n 项和, 2a3 ? a4 ? 0 ,则 A.2 B.3 C.4

S3 a1
D.5





8、等差数列 {an } 中, a2 ? 3, a3 ? a4 ? 9, 则 a1a6 的值为 A. 14 B. 18 C.21 D.27





9、在等差数列 ?an ? 中, a7 ? a9 ? 16 , a4 ? 1 ,则 a12 的值是 A.15 B.30 C.31 D.64





10、已知 {an } 为等差数列, Sn 为其前 n 项和.若 a1 + a9 = 18, a4 = 7 ,则 S10 = A. 55 B. 81 C. 90 D. 100





二、解答题

1、 (2015 年北京高考)已知等差数列 ?an ? 满足 a1 ? a2 ? 10 , a4 ? a3 ? 2 . (Ⅰ)求 ?an ? 的通项公式; (Ⅱ)设等比数列 ?bn ? 满足 b2 ? a3 , b3 ? a7 ,问: b6 与数列 ?an ? 的第几项相等?

2、 (2014 年北京高考) 已知 ?an ? 是等差数列, 满足 a1 ? 3,a4 ? 12 , 数列 ?bn ? 满足 b1 ? 4 , b4 ? 20 , 且 ?bn ? an ? 为等比数列. (Ⅰ)求数列 ?an ? 和 ?bn ? 的通项公式; (Ⅱ)求数列 ?bn ? 的前 n 项和. 3、(2013 年北京高考)给定数列 a1,a2,…,an,对 i=1,2,…,n-1,该数列前 i 项的最大值 记为 Ai,后 n-i 项 ai+1,ai+2,…,an 的最小值记为 Bi,di=Ai-Bi. (1)设数列{an}为 3,4,7,1,写出 d1,d2,d3 的值; (2)设 a1,a2,…,an(n≥4)是公比大于 1 的等比数列,且 a1>0.证明:d1,d2,…,dn-1 是等比 数列; (3)设 d1,d2,…,dn-1 是公差大于 0 的等差数列,且 d1>0,证明:a1,a2,…,an-1 是等差数列.

4、(昌平区 2015 届高三上期末)在等比数列 ?an ? 中, a2 ? 2, a5 ? 16 . (I)求等比数列 ?an ? 的通项公式; (II)若等差数列 ?bn ? 中, b1 ? a5 , b8 ? a2 ,求等差数列 ?bn ? 的前 n 项的和 Sn ,并求 Sn 的最大 值. 5、(朝阳区 2015 届高三一模)设数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn ,且 a1 ? 4 , an?1 ? Sn , n ? N .
?

(Ⅰ)写出 a2 , a3 , a4 的值; (Ⅱ)求数列 ?an ? 的通项公式; (Ⅲ)已知等差数列 ?bn ? 中,有 b2 ? a2 , b3 ? a3 ,求数列 ?an ? bn ? 的前 n 项和 Tn .

6、 (东城区 2015 届高三二模)已知等比数列 ?an ? 的前 4 项和 S4 ? 5 ,且 4a1 ,

3 a2 , a2 成等差数列. 2

(Ⅰ)求 ?an ? 的通项公式; (Ⅱ)设 ?bn ? 是首项为 2 ,公差为 ? a1 的等差数列,其前 n 项和为 Tn ,求满足 Tn?1 ? 0 的最大正整 数n. 7、(房山区 2015 届高三一模)已知数列 ?an ? 中,点 (an , an?1 ) 在直线 y ? x ? 2 上,且首项 a1 是方 程 3x ? 4 x ? 1 ? 0 的整数解.
2

(Ⅰ)求数列 {an } 的通项公式; (Ⅱ)数列 {an } 的前 n 项和为 S n ,等比数列 {bn } 中, b1 ? a1 , b2 ? a2 ,数列 {bn } 的前 n 项和 为 Tn ,当 Tn ? S n 时,请直接写出 n 的值.

8 、(丰台区 2015 届高三一模)已知等差数列 {an } 和等比数列 {bn } 中, a1 ? b1 ? 1 , a2 ? b2 ,

a4 ? 2 ? b3 .
(Ⅰ)求数列 {an } 和 {bn } 的通项公式;
* (Ⅱ)如果 am ? bn (n ? N ) ,写出 m,n 的关系式 m ? f (n) ,并求 f (1) ? f (2) ?

? f (n) .

9、 (丰台区 2015 届高三二模)已知等差数列 {an } 的前 n 项和为 Sn ,等比数列 {bn } 满足 a1 ? b1 ? 1 ,

S3 ? b3 ? 2 , S5 ? b5 ? 1 .
(Ⅰ)求数列 {an } , {bn } 的通项公式; (Ⅱ)如果数列 {bn } 为递增数列,求数列 {anbn } 的前 n 项和 Tn .

10、(海淀区 2015 届高三一模)已知数列 {an } 的前 n 项和为 Sn , an?1 ? 2an (n ? N*) ,且 a2 是 S2 与 1 的等差中项. (Ⅰ)求 {an } 的通项公式; (Ⅱ)若数列 {

1 } 的前 n 项和为 Tn ,且对 ?n ? N * , Tn ? ? 恒成立,求实数 ? 的最小值. an

11、(海淀区 2015 届高三二模)已知数列 {an } 是首项为 2,公比为 2 的等比数列,又数列 {bn } 满足

bn ? 2 log2 an , Sn 是数列 {bn } 的前 n 项和.
(Ⅰ)求 Sn ; (Ⅱ)若对任意的 n ? N * ,都有

Sn Sk ? 成立,求正整数 k 的值. an ak

12、 (石景山区 2015 届高三一模) 设数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn , 点 ( n, 的图象上. (Ⅰ)求数列 ?an ? 的通项公式;

Sn ) , n ? N * n

均在函数 y ? x

(Ⅱ)若 ?bn ? 为等比数列,且 b1 ? 1, b1b2b3 ? 8 ,求数列 ?an +bn ? 的前 n 项和 Tn .

13、(西城区 2015 届高三二模)设数列 {an } 的前 n 项和为 Sn ,且 a1 ? 1 , an?1 ? 1 ? Sn (n ? N* ) . (Ⅰ)求数列 {an } 的通项公式; (Ⅱ)若数列 {bn } 为等差数列,且 b1 ? a1 ,公差为 的大小. 14、已知数列 {an } 的前 n 项和为 S n , a1 ? 1 ,满足下列条件
a2 . 当 n≥3 时,比较 bn ?1 与 1 ? b1 ? b2 ? a1

? bn

x2 ? x ① ?n ? N , an ? 0 ;②点 Pn (an , S n ) 在函数 f ( x) ? 的图象上; 2
*

(I)求数列 {an } 的通项 an 及前 n 项和 S n ; (II)求证: 0 ?| Pn?1 Pn?2 | ? | Pn Pn?1 |? 1. 15、已知 {an } 为等比数列,其前 n 项和为 Sn ,且 Sn ? 2n ? a (n ? N ) .
*

(Ⅰ)求 a 的值及数列 {an } 的通项公式; (Ⅱ)若 bn ? nan ,求数列 {bn } 的前 n 项和 Tn .

参考答案 一、填空、选择题 n+1 3 1、2 2 -2 [解析] ∵a3+a5=q(a2+a4),∴40=20q,∴q=2,∴a1(q+q )=20,∴a1=2,∴Sn n 2(1-2 ) n+1 = =2 -2. 1-2 2、C 6、 C 3、B 7、B 4、12,-54 5、1 8、 A 9、 A 10、 D

二、解答题 1、 【答案】 (1) an ? 4 ? 2(n ?1) ? 2n ? 2 ; (2) b6 与数列 ?an ? 的第 63 项相等. 【解析】 试题分析:本题主要考查等差数列、等比数列的通项公式等基础知识,考查学生的分析问题解决问 题的能力、转化能力、计算能力.第一问,利用等差数列的通项公式,将 a1 , a2 , a3 , a4 转化成 a1 和 d, 解方程得到 a1 和 d 的值,直接写出等差数列的通项公式即可;第二问,先利用第一问的结论得到 b2 和 b3 的值,再利用等比数列的通项公式,将 b2 和 b3 转化为 b1 和 q,解出 b1 和 q 的值,得到 b6 的值, 再代入到上一问等差数列的通项公式中,解出 n 的值,即项数. 试题解析: (Ⅰ)设等差数列 ?an ? 的公差为 d. 因为 a4 ? a3 ? 2 ,所以 d ? 2 . 又因为 a1 ? a2 ? 10 ,所以 2a1 ? d ? 10 ,故 a1 ? 4 . 所以 an ? 4 ? 2(n ?1) ? 2n ? 2

(n ? 1, 2, ) .

(Ⅱ)设等比数列 ?bn ? 的公比为 q . 因为 b2 ? a3 ? 8 , b3 ? a7 ? 16 , 所以 q ? 2 , b1 ? 4 . 所以 b6 ? 4 ? 2
6?1

? 128 .

由 128 ? 2n ? 2 ,得 n ? 63 . 所以 b6 与数列 ?an ? 的第 63 项相等. 考点:等差数列、等比数列的通项公式. 2、解:(Ⅰ) 设等差数列 ?an ? 的公差为 d ,由题意得 d ?
a4 ? a1 12 ? 3 ? ?3 3 3

2, 所以 an ? a1 ? ? n ? 1? d ? 3n ? n ? 1,
设等比数列 bn ? a n 的公比为 q , 由题意得 q 3 ?

?.

?

?

b4 ? a4 20 ? 12 ? ? 8 ,解得 q ? 2 . b1 ? a1 4?3

所以 bn ? an ? ? b1 ? a1 ? qn?1 ? 2n?1 . 从而 bn ? 3n ? 2n?1 ? n ? 1, 2,

? ?.

(Ⅱ)由⑴知 bn ? 3n ? 2n?1 ? n ? 1, 2,

1 ? 2n 3 数列 ?3n? 的前 n 项和为 n ? n ? 1? ,数列 2n ?1 的前 n 项和为 1× ? 2n ? 1 . 2 1? 2 3 所以,数列 ?bn ? 的前 n 项和为 n ? n ? 1? ? 2n ? 1 . 2

? ?

3、解:(1)d1=2,d2=3,d3=6. (2)证明:因为 a1>0,公比 q>1, 所以 a1,a2,…,an 是递增数列. 因此,对 i=1,2,…,n-1,Ai=ai,Bi=ai+1. 于是对 i=1,2,…,n-1, di=Ai-Bi=ai-ai+1=a1(1-q)qi-1. 因此 di≠0 且

di+1 =q(i=1,2,…,n-2), di

即 d1,d2,…,dn-1 是等比数列. (3)证明:设 d 为 d1,d2,…,dn-1 的公差. 对 1≤i≤n-2,因为 Bi≤Bi+1,d>0,所以 Ai+1=Bi+1+di+1≥Bi+di+d>Bi+di=Ai. 又因为 Ai+1=max{Ai,ai+1},所以 ai+1=Ai+1>Ai≥ai. 从而 a1,a2,…,an-1 是递增数列,因此 Ai=ai(i=1,2,…,n-1). 又因为 B1=A1-d1=a1-d1<a1,所以 B1<a1<a2<…<an-1. 因此 an=B1. 所以 B1=B2=…=Bn-1=an. 所以 ai=Ai=Bi+di=an+di. 因此对 i=1,2,…,n-2 都有 ai+1-ai=di+1-di=d, 即 a1,a2,…,an-1 是等差数列. 4、解:(I)在等比数列 ?an ? 中,设公比为 q , 因为 a2 ? 2, a5 ? 16 , 所以 ?

? a1q ? 2
4

?a ? 1 , 得 ? 1 ?q ? 2 ? a1q ? 16
……………5 分

所以 数列 ?an ? 的通项公式是 an ? 2n?1 .

(II)在等差数列 ?bn ? 中,设公差为 d . 因为 b1 ? a5 , b8 ? a2 ,

?b1 =a5 ? 16 ?b1 ? 16 ?b =16 , ? , ?1 , ? 所以 ?b8 ? a2 =2 ?b1 +7d =2 ? d = ? 2
方法一

……………9 分

S n ? b1n ?

n(n ? 1) d ? ? n 2 ? 17n , 2
……………13 分

当 n ? 8 或 9 时, Sn 最大值为 72. 方法二

由 bn ? 18 ? 2n ,当 bn ? 18 ? 2n ? 0 ,解得 n ? 9 ,即 a9 ? 0, a8 ? 2. 所以当 n ? 8 或 9 时, Sn 最大值为 72. 5、(Ⅰ)解:因为 a1 ? 4 , an?1 ? Sn , 所以 a2 ? S1 ? a1 ? 4 , a3 ? S2 ? a1 ? a2 ? 4 ? 4 ? 8 , ……………13 分

a4 ? S3 ? a1 ? a2 ? a3 ? 4 ? 4 ? 8 ? 16 .
(Ⅱ)当 n ? 2 时, an ? Sn ? Sn?1 ? 2n?1 ? 2n ? 2n . 又当 n ? 1 时, a1 ? S1 ? 4 . 所以 an ? ?

……… 3 分

? 4, n ? 1, n ?2 , n ? 2.

……… 6 分

(Ⅲ)依题意, b2 ? a2 ? 4 , b3 ? a3 ? 8 . 则由 ?

?b1 ? d ? 4 得, b1 ? 0 , d ? 4 ,则 bn ? 4(n ? 1) . ?b1 ? 2d ? 8

所以 an ? bn ? ?

0, n ? 1, ? n?2 ?(n ? 1)2 , n ? 2.
n?2

所以 an ? bn ? (n ?1)2

(n ? N*) .

因为 Tn = a1b1 ? a2b2 ? a3b3 ? a4b4 ? ... ? an?1bn?1 ? anbn

? 0 ? 1? 24 ? 2 ? 25 ? 3 ? 26 ? ... ? (n ? 2) ? 2n?1 ? (n ?1) ? 2n?2 ,
所以 2Tn ? 1? 25 ? 2 ? 26 ? 3? 27 ? ... ? (n ? 2) ? 2n?2 ? (n ?1) ? 2n?3 . 所以 ?Tn ? 24 ? 25 ? 26 ? 27 ? ... ? 2n?2 ? (n ?1) ? 2n?3

?

24 (1 ? 2n?1 ) ? (n ? 1) ? 2n?3 ? ?16 ? (n ? 2) ? 2n?3 . 1? 2
……… 13 分

所以 Tn ? 16 ? (n ? 2) ? 2n?3 . 6、解: (Ⅰ)设 ?an ? 的公比为 q ,因为 4a1 , 所以 4a1 ? a2 ? 3a2 . 整理得 2a1 ? a2 ,即 2a1 ? a1q ,解得 q ? 2 . 又 S4 ?

3 a2 , a2 成等差数列, 2

1 a1 (1 ? 24 ) ? 5 ,解得 a1 ? . 3 1? 2

所以 an ?

1 n ?1 ?2 . 3

…………………………5 分

(Ⅱ)由(Ⅰ)得 ? a1 = ?

1 , 3 1 7?n 所以 bn ? 2+(n ? 1)(- ) ? . 3 3 7?n 2+ 3 ? n ? (13 ? n)n . Tn = 2 6 [13 ? (n ? 1)](n ? 1) ?0, 所以由 Tn?1 ? 0 ,得 6
整理得 (n ? 1)(n ? 14) ? 0 , 解得 1 ? n ? 14 . 故满足 Tn?1 ? 0 的最大正整数为 13 .

…………………………10 分

…………………………13 分 ………………2 分 ………………4 分 ………………6 分 ……………9 分 ……………11 分

7、解:(I)根据已知 a1 ? 1 , an?1 ? an ? 2 即 an?1 ? an ? 2 ? d , 所以数列 {an } 是一个等差数列, an ? a1 ? (n ? 1)d ? 2n ? 1 (II)数列 {an } 的前 n 项和 S n ? n
2

等比数列 {bn } 中, b1 ? a1 ? 1 , b2 ? a2 ? 3 ,所以 q ? 3 , bn ? 3n?1 数列 {bn } 的前 n 项和 Tn ?

1 ? 3n 3n ? 1 ? 1? 3 2

Tn ? S n 即

3n ? 1 ? n 2 ,又 n ? N * ,所以 n ? 1 或 2 2

……………13 分

8、解:(Ⅰ)设等差数列 {an } 的公差为 d ,等比数列 {bn } 的公比为 q ,则

?1 ? d ? q . ? 2 ?1 ? 3d ? 2 ? q
解得

?d ? 2 或 ? ?q ? 3

?d ? ?1 (舍). ? ? q?0
……………………6 分

所以 an ? 2n ? 1, bn ? 3n?1 . (Ⅱ)因为 am ? bn , 所以 2m ? 1 ? 3
n ?1

,即 m ?

1 n ?1 (3 ? 1) . 2 ? 3n ?1 ? 1)

f (1) ? f (2) ?

f (n) ?

1 0 (3 ? 1 ? 31 ? 1 ? 2

?

1 0 1 (3 ? 3 ? 2

? 3n ?1 ? n ) ?

1 1 ? 3n ( ? n) 2 1? 3
……………………13 分

?

3n ? 2n ? 1 . 4
? f (n) ?

所以 f (1) ? f (2) ?

3n ? 2n ? 1 . 4

9、解:(Ⅰ)设等差数列 {an } 的公差为 d ,等比数列 {bn } 的公比为 q ,则由题意得

? 3 ? 3d ? q 2 ? 2 . ? 4 ?5 ? 10d ? q ? 1
2 代入得 9d ? 4d ? 5 ? 0 ,解得 d ? 1 或 d ? ?

5 (舍). 9

所以 q ? ?2 . 所以 an ? n ; bn ? 2n?1 或 bn ? (?2)n?1 . (Ⅱ)因为数列 {bn } 为递增数列, 所以 bn ? 2n?1 . 所以 Tn ? 1? 20 ? 2 ? 21 ? 3? 22 ? ... ? n ? 2n?1 , ……………………7 分

2Tn ?

1 ? 21 ? 2 ? 22 ? 3 ? 23 ?

? n ? 2n ,

相减得 ?Tn ? 20 ? 21 ? 22 ? 所以 Tn ? 1 ? (n ?1)2n .

? 2n?1 ? n ? 2n ,
……………………13 分

10、解:(Ⅰ)因为 an?1 ? 2an (n ? N*) , 所以 S2 ? a1 ? a2 ? a1 ? 2a1 ? 3a1 . 因为 a2 是 S2 与 1 的等差中项, 所以 2a2 ? S2 ? 1 , 所以 a1 ? 1 . 所以 {an } 是以 1 为首项,2 为公比的等比数列. 所以 an ? 1? 2n?1 ? 2n?1 . (Ⅱ)由(Ⅰ)可得: ………………6 分 即 2 ? 2a1 ? 3a1 ? 1 . ………………3 分 ………………1 分

1 1 ? ( )n?1 . an 2

所以

1 ?1, a1

1 1 1 ? ? (n ? N*) . an ?1 2 an
………………9 分

所以 {

1 1 } 是以 1 为首项, 为公比的等比数列. 2 an

1 1? n 1 2 ? 2(1 ? 1 ) . 所以 数列 { } 的前 n 项和 Tn ? 1 an 2n 1? 2 1 因为 n ? 0 , 2 1 所以 Tn ? 2(1 ? n ) ? 2 . 2 2 ) 时, Tn ? b . 若 b ? 2 ,当 n ? log 2 ( 2?b
所以 若对 ?n ? N * , Tn ? ? 恒成立,则 ? ? 2 . 所以 实数 ? 的最小值为 2. 11、解:(Ⅰ)因为数列 {an } 是首项为 2 ,公比为 2 的等比数列,

………………11 分

………………13 分

所以 an ? 2 ? 2n?1 ? 2n . 所以 bn ? 2log2 an ? 2log2 2n ? 2n . 所以 S n ? 2 ? 4 ?

………………2 分 ………………3 分 ………………6 分

+2n ?

n(2 ? 2n) ? n2 ? n . 2

Sn n2 ? n n(n ? 1) (Ⅱ)令 cn ? . ? ? an 2n 2n
则 cn ?1 ? cn ?

Sn?1 Sn (n ? 1)(n ? 2) n(n ? 1) (n ? 1)(2 ? n) . ………………9 分 ? ? ? ? an?1 an 2n?1 2n 2n ?1

所以 当 n ? 1 时, c1 ? c2 ; 当 n ? 2 时, c3 ? c2 ; 当 n ? 3 时, cn?1 ? cn ? 0 ,即 c3 ? c4 ? c5 ? 所以 数列 {cn } 中最大项为 c 2 和 c3 . 所以 存在 k ? 2 或 3 ,使得对任意的正整数 n ,都有 .

Sk Sn ? . ak an

………………13 分

12、(Ⅰ)依题意得 当 n=1 时,a1=S1=1

Sn ? n ,即 Sn =n2 . n
……………1 分 ……………3 分

当 n≥2 时, an ? Sn ? Sn?1 ? 2n ? 1 ; 当 n=1 时,a1= 2 ? 1 ? 1 =1 所以 an ? 2n ? 1 (Ⅱ) b1b2b3 ? b23 ? 8 得到 b2 ? 2 ,又 b1 ? 1 ,? q ? 2 , 错误!未找到引用源。,

……………4 分

……………8 分

?an ? bn ? 2n ? 1 ? 2n?1 , Tn ? (2 ? 1 ? 20 ) ? (4 ? 1 ? 21 ) ? ??? ? (2n ? 1 ? 2n?1 ) ? (2 ? 1 ? 4 ? 1 ? ???2n ? 1) ? (20 ? 21 ? ??? ? 2n?1 )

? n 2 ? 2n ? 1
13、(Ⅰ)证明:因为 an ?1 ? 1 ? Sn , 所以当 n≥2 时, an ? 1 ? Sn ?1 , 2 ○ 1 ○

……………13 分

由 ○ 1○ 2 两式相减,得 an?1 ? an ? an , 即 an ?1 ? 2an (n≥2) , 因为当 n ? 1 时, a2 ? 1 ? a1 ? 2 , 所以 所以
a2 ?2, a1

………………3 分

………………4 分 ………………5 分

an ?1 ? 2 ( n ? N* ) . an

所以数列 {an } 是首项为 1,公比为 2 的等比数列, 所以 an ? 2n?1 . (Ⅱ)解:因为 bn ? 1 ? (n ? 1) ? 2 ? 2n ? 1 , 所以 bn ?1 ? 2n ? 1, 1 ? b1 ? b2 ? ………………7 分 ………………9 分

? bn ? 1 ?

n(1 ? 2n ? 1) ? n2 ? 1, 2

………………11 分 ………………12 分

因为 (n2 ? 1) ? (2n ? 1) ? n(n ? 2) , 由 n≥3 ,得 n(n ? 2) ? 0 , 所以当 n≥3 时, bn ?1 ? 1 ? b1 ? b2 ?
? bn .

………………13 分

14、解:(I)由题意

Sn ?

an ? an 2
2 2 an ? an an ? a n?1 ? ?1 2 2

2

当n ? 2时

a n ? S n ? S n?1 ?

整理,得

(an ? an?1 )(an ? an?1 ? 1) ? 0

又 ?n ? N * , an ? 0 ,所以 an ? an?1 ? 0 或 an ? an?1 ? 1 ? 0

an ? an?1 ? 0 时, a1 ? 1 ,

an ? ?1 , a n ?1
1 ? (?1) n 2



an ? (?1) n?1 , S n ?

an ? an?1 ? 1 ? 0 时, a1 ? 1 , an ? an?1 ? 1 ,


an ? n , S n ?

n2 ? n 2

(II)证明: an ? an?1 ? 0 时, Pn ((?1)

n ?1

,

1 ? (?1) n ) 2

| Pn?1 Pn?2 |?| Pn Pn?1 |? 5 ,所以 | Pn?1 Pn?2 | ? | Pn Pn?1 |? 0
an ? an?1 ? 1 ? 0 时, Pn (n,
n2 ? n ) 2

| Pn ?1 Pn ? 2 |? 1 ? ( n ? 2) 2 , | Pn Pn ?1 |? 1 ? ( n ? 1) 2

| Pn ?1 Pn ?2 | ? | Pn Pn ?1 |? 1 ? (n ? 2) ? 1 ? (n ? 1) ?
2 2

1 ? (n ? 2) 2 ? 1 ? (n ? 1) 2 1 ? (n ? 2) 2 ? 1 ? (n ? 1) 2

?

2n ? 3 1 ? (n ? 2) 2 ? 1 ? (n ? 1) 2
1 ? (n ? 2) 2 ? n ? 2, 1 ? (n ? 1) 2 ? n ? 1

因为 所以

0?

2n ? 3 1 ? (n ? 2) 2 ? 1 ? (n ? 1) 2

?1

综上

0 ?| Pn?1 Pn?2 | ? | Pn Pn?1 |? 1

15、解:(Ⅰ)当 n ? 1 时, S1 ? a1 ? 2 ? a ? 0 .……………………………………1 分 当 n ? 2 时, an ? Sn ? Sn?1 ? 2n?1 .……………………………………………3 分 因为 {an } 是等比数列, 所以 a1 ? 2 ? a ? 21?1 ? 1 ,即 a1 ? 1 . a ? ?1 .…………………………………5 分 所以数列 {an } 的通项公式为 an ? 2n?1 (n ? N ) .…………………………………6 分
*

(Ⅱ)由(Ⅰ)得 bn ? nan ? n ? 2n?1 ,设数列 {bn } 的前 n 项和为 Tn . 则 Tn ? 1?1 ? 2 ? 2 ? 3? 22 ? 4 ? 23 ?

? n ? 2n?1 .



2Tn ?

1? 2 ? 2 ? 22 ? 3? 23 ?

? (n ?1) ? 2n?1 ? n ? 2n . ②
? 1? 2n?1 ? n ? 2n ……………………9 分

①-②得 ?Tn ? 1?1 ? 1? 2 ? 1? 22 ?

? 1 ? (2 ? 22 ?

? 2n?1 ) ? n ? 2n

? 1 ? 2(1 ? 2n?1 ) ? n ? 2n ……………………………………11 分 ? ?(n ? 1) ? 2n ? 1.…………………………………………………12 分

所以 Tn ? (n ?1) ? 2n ? 1.……………………………………………………………13 分


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