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2006年普通高等学校招生全国统一考试(北京卷)理科数学试题及解答(WORD版)


2006 年普通高等学校招生全国统一考试(北京卷) 数学(理工农医类)
本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,第Ⅰ卷 1 至 2 页,第Ⅱ卷 3 至 9 页,共 150 分。考试时间 120 分钟。考试结束,将本试卷和答题卡一并交回。

第Ⅰ卷(选择题共 40 分)
注意事项: 1.答第Ⅰ卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目涂写在答题卡。 2.每小题选出答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动,用橡皮擦 干净后,再选涂其他答案标号。不能答在试卷上。 一、本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分。在每小题列出的四个选项中,选出符合题目 要求的一项。 (1)在复平面内,复数 (A)第一象限
1? i i

对应的点位于 (C)第三象限 (D)第四象限

(B)第二象限

(2)若 a 与 b ? c 都是非零向量,则“ a ? b ? a ? c ”是“ a ? ( b ? c ) ”的 (A)充分而不必要条件 (C)充分必要条件 (3) 1 在 ,2,3,4,5 (B)必要而不充分条件 (D)既不充分也不必要条件

这五个数字组成的没有重复数字的三位数中, 各位数字之和为奇数的共有

(A)36 个 (B)24 个 (C)18 个 (D)6 个 (4)平面 ? 的斜线 A B 交 ? 于点 B ,过定点 A 的动直线 l 与 A B 垂直,且交 ? 于点 C ,则 动点 C 的轨迹是 (A)一条直线 (B)一个圆 (C)一个椭圆 (D)双曲线的一支 (5)已知 f ( x ) ? ?
? ? (3 a ? 1) x ? 4 a , x ? 1 lo g a x , x ? 1

是 ( ? ? , ? ? ) 上的减函数,那么 a 的取值范围是
1 1 1 7

(A) (0,1)

(B) (0 , )
3

1

(C) ( , )
7 3

(D) [ ,1)

( 6 ) 在 下 列 四 个 函 数 中 , 满 足 性 质 : 对 于 区 间 ( 1 , 2 )上 的 任 意 x1 , x 2 ( x1 ? x 2) , “
| f ( x1 ) ? f ( x 2 ) |? | x 2 ? x1 | 恒成立”的只有

(A) f ( x ) ?

1 x

(B) f ? x ? ? | x |
x

(C) f ( x ) ? 2

(D) f ( x ) ? x
4 7 10

2

(7)设 f ( n ) ? 2 ? 2 ? 2 ? 2 (A)
2 7 (8 ? 1)
n

???2
? 1)

3 n ?10

( n ? N ) ,则 f ( n ) 等于

(B)

2 7

(8

n ?1

(C)

2 7

(8

n?3

? 1)

(D)

2 7

(8

n?4

? 1)

(8)下图为某三岔路口交通环岛的简化模型,在某高峰时段,单位时间进出路口 A , B , C 的
? A ? 机动车辆数如图所示,图中 x1 , x 2 , x 3 分别表示该时段单位时间通过路段 ? B , B C , C A 的机动

车辆数(假设:单位时间内,在上述路段中,同一路段上驶入与驶出的车辆数相等) ,则 (A) x1 ? x 2 ? x 3 (C) x 2 ? x 3 ? x1 (B) x1 ? x 3 ? x 2 (D) x 3 ? x 2 ? x1

第Ⅱ卷(共 110 分)
二、填空题:本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分。把答案填在题中横线上。 (9) lim
x ? 3x ? 2
2

x ? ?1

x ?1
2

的值等于__________________.

(10)在 ( x ?

2 x

) 的展开式中, x 的系数中__________________(用数字作答). 1 a ? 1 b

7

2

(11) 若三点 A (2, 2), B ( a , 0), C (0, b )( ab ? 0) 共线, 则

的值等于_________________.

(12)在 ? A B C 中,若 sin A : sin B : sin C ? 5 : 7 : 8 ,则 ? B 的大小是______________.
?x ? y ? 4 ? (13)已知点 P ( x , y ) 的坐标满足条件 ? y ? x ,点 O 为坐标原点,那么 | P O | 的最小值 ? x ?1 ?

等于_______,最大值等于____________. (14) 已知 A , B , C 三点在球心为 O , 半径为 R 的球面上,A C ? B C , A ? 且 B R , 那么 A , B

两点的球面距离为_______________,球心到平面 A B C 的距离为______________. 三、解答题:本大题共 6 小题,共 80 分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。 (15) (本小题共 12 分)
1? 2 sin ( 2 x ? co s x

?

已知函数 f ( x ) ? (Ⅰ)求 f ( x ) 的定义域;

) 4 ,

(Ⅱ)设 ? 是第四象限的角,且 tan ? ? ?

4 3

,求 f (? ) 的值.

(16) (本小题共 13 分) 已知函数 f ( x ) ? a x ? b x ? cx 在点 x 0 处取得极大值 5 , 其导
3 2

函数 y ? f '( x ) 的图象经过点 (1, 0) , ( 2, 0 ) ,如图所示.求: (Ⅰ) x 0 的值; (Ⅱ) a , b , c 的值.

(17) (本小题共 14 分) 如图,在底面为平行四边表的四棱锥 P ? A B C D 中, A B ? A C , P A ? 平面 A B C D ,且 P A ? A B ,点 E 是 P D 的中点. (Ⅰ)求证: A C ? P B ; (Ⅱ)求证: P B // 平面 A E C ; (Ⅲ)求二面角 E ? A C ? B 的大小.

(18) (本小题共 13 分) 某公司招聘员工,指定三门考试课程,有两种考试方案. 方案一:考试三门课程,至少有两门及格为考试通过; 方案二:在三门课程中,随机选取两门,这两门都及格为考试通过. 假设某应聘者对三门指定课程考试及格的概率分别是 a , b , c , 且三门课程考试是否及格相互 之间没有影响. (Ⅰ)分别求该应聘者用方案一和方案二时考试通过的概率; (Ⅱ)试比较该应聘者在上述两种方案下考试通过的概率的大小.(说明理由)

(19) (本小题共 14 分) 已知点 M ( ? 2, 0), N (2, 0) ,动点 P 满足条件 | P M | ? | P N |? 2 2 .记动点 P 的轨迹为 W . (Ⅰ)求 W 的方程; (Ⅱ)若 A , B 是 W 上的不同两点, O 是坐标原点,求 O A ? O B 的最小值.
??? ??? ? ?

(20) (本小题共 14 分) 在数列 { a n } 中,若 a 1 , a 2 是正整数,且 a n ? | a n ?1 ? a n ? 2 |, n ? 3, 4, 5, ? ,则称 { a n } 为“绝对 差数列”. (Ⅰ)举出一个前五项不为零的“绝对差数列” (只要求写出前十项) ; (Ⅱ)若“绝对差数列” { a n } 中, a 2 0 ? 3, a 2 1 ? 0 ,数列 {b n } 满足 b n ? a n ? a n ? 1 ? a n ? 2 ,
n ? 1, 2, 3, ? ,分别判断当 n ? ? 时,a n 与 b n 的极限是否存在,如果存在,求出其极限值;

(Ⅲ)证明:任何“绝对差数列”中总含有无穷多个为零的项.

参考答案
一.选择题(本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分) 1.D;2.C;3.B;4.A;5.C;6.A;7.D;8.C 二、填空题(本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分) (9)
? 1 2

; (10)-14; (11)

1 2

; (12)

?
3

; (13) 2 、 1 0 ; (14) ? R 、
3

1

3 2

R

三、解答题:本大题共 6 小题,共 80 分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤 (15) (共 12 分) ? 解: (Ⅰ)由 cos x ? 0 得 x ? k ? ? ( k ? Z ) 。
2

故 f ? x ? 的定义域为 ? x x ? k ? ?
?

?

?

? ,k ? Z ? , 2 ?

(Ⅱ)因为 tan ? ? ? 所以 sin ? ? ?
4 5
1?

4 5

, co s ? ? 3 5 ,

3 5

, 且第四象限的角,

, co s ? ?

故 f ?? ? ?

2 sin ( 2 ? ? co s ?

?
4

)
?

1?

2(

2 2

sin 2 ? ? co s ?

2 2

co s 2 ? )

?

1 ? sin 2 ? ? co s 2 ? co s ?

?

2 co s ? ? 2 sin ? co s ?
2

co s ?

? 2 ? co s ? ? sin ?

?

?

14 5

(16) (本小题共 13 分) 解法一: (Ⅰ)由图像可知,在 ? ? ? ,1 ? 上
f '? x ? ? 0 ,

在 ? 1, 2 ? 上 f ' ? x ? ? 0 ,在 ? 2, ? ? ? 上 f ' ? x ? ? 0
( 故 f ( x ) 在 - ? , 1) , ( 2, + ? ) 上递增,在 (1 ,2 ) 上递减,

因此 f ? x ? 在 x ? 1 处取得极大值,所以 x 0 ? 1 (Ⅱ) f ( x ) ? 3 a x ? 2 b x ? c ,
' 2

由 f( 1) 0, f( 2) = 0, f( 1) = 5,
? 3 a ? 2 b ? c ? 0, ? 得 ?1 2 a ? 4 b ? c ? 0, 解得 a ? 2, b ? ? 9, c ? 12. ? a ? b ? c ? 5, ?

'

'

'

解法二: (Ⅰ)同解法一 (Ⅱ)设 f ( x ) ? m ( x ? 1)( x ? 2 ) ? m x ? 3 m x ? 2 m ,
' 2

又 f ( x ) ? 3ax ? 2bx ? c,
' 2

所以 a ?
f (x) ?

m 3 m 3

,b ? ? x ?
3

3 2

m, c ? 2m
2|

3 2

m x ? 2m x,

由 f (1) ? 5, 即
m 3 ? 3 2 m ? 2 m ? 5,

得 m ? 6, 所以 a ? 2, b ? ? 9, c ? 12 (17) (共 14 分) 解法一: (Ⅰ)? PA ? 平面 ABCD, ? AB 是 PB 在平面 ABCD 上得射影, 又? AB ? AC,AC ? 平面 ABCD, AC ? PB. (Ⅱ)连接 BD,与 AC 相交与 O,连接 EO, ? ABCD 是平行四边形 ? O 是 BD 的中点 又 E 是 PD 的中点,
? ?

EO ? PB.

又 PB ? 平面 AEC,EO ? 平面 AEC,
?

PB ? 平面 AEC,
???? ? b ?a b ? ? , , 0 ? , O C ? ? 0, , 0 ? ?2 2 ? ? 2 ?

(Ⅲ)取 BC 中点 G,连接 OG,则点 G 的坐标为 ?
???? b b , ) ,A C ? ( a , 0, 0 ), 2 2 ??? ???? ? ???? ???? ? O E ?A C ? 0, O G ?A C ? 0,

又 O E= ( 0 , -

??? ?

? OE ? AC , OG ? AC ,
? ? E O G 是二面角 E ? A C ? B 的平面角。

??? ???? ? ??? ???? ? O E ?O G 2 ? co s E O G ? co s ? O E , O G ? ? ???? ???? ? ? , 2 O G ?O G
? ? E O G ? 135 .
0

? 二面角 E ? A C ? B 的大小为 135 .
0

18.(13 分) 解:记该应聘者对三门指定课程考试及格的事件分别为 A,B,C. 则 P(A)=a,P(B)=b,P(C)=c (Ⅰ)应聘者用方案一考试通过的概率
?? ?? ?? P1 ? P A ? B ? C ? P A ? B ? C ? P A ? B ? C ? P ? A ? B ? C

?

?

?

?

?

?

?

? a b ? 1 ? c ? ? b c ? 1 ? a ? ? a c ? 1 ? b ? ? a b c ? ab ? bc ? ca ? 2 abc

应聘者用方案二考试通过的概率
p2 ? 1 3 2 3 P(A ? B) ? 1 3 P(B ?C ) ? 1 3 2 3 P(A ?C ) ? 1 3 ( a b ? b c ? ca )

(Ⅱ)因为 a,b,c∈[0,1],所以
p1 ? p 2 ? ( a b ? b c ? ca ) ? 2 a b c ? [ a b (1 ? c ) ? b c (1 ? a ) ? ca (1 ? b )] ? 0

故 p1≥p2 即采用第一种方案,该应聘者考试通过的概率较大. 19.(共 14 分) 解法一: (Ⅰ) 由|PM|-|PN|=2 2 知动点 P 的轨迹是以 M, 为焦点的双曲线的右支, N 实半轴长 a= 2 . 又半焦距 c=2。故虚半轴长 b= c ? a ?
2 2

2,

所以 W 的方程为

x

2

?

y

2

? 1, x ?

2

2

2

(Ⅱ)设 A、B 的坐标分别为(x1y1)(x2y2). , 当 A B ? x 轴时, x1 ? x 2 , y1 ? y 2 ,从而 O A ? O B ? x1 x 2 ? y1 y 2 ? x1 ? y1 ? 2 。
2 2

??? ??? ? ?

当 A B 与 x 轴不垂直时,设直线 A B 的方程为 y ? km ? x ,与 W 的方程联立,消去 y 得

?9 ? k ? x
2

2

? 2 km x ? m ? 2 ? 0 ,
2

故 x1 ? x 2 ?

2 km 1? k
2

, x1 x 2 ?

m ?2
2

k ?1
2

所以 O A ? O B ? x1 x 2 ? y1 y 2 ? x1 x 2 ? ( kx1 ? m )( kx 2 ? m )
? (1 ? k ) x1 x 2 ? km ( x1 ? x 2 ) ? m
2 2

??? ??? ? ?

?

(1 ? k )( m ? 2 )
2 2

k ?1
2

?

2k m 1? k

2

2

2

?m

2

?

2k ? 2
2

k ?1
2

? 2?

4 k ?1
2
2

又因为 x1 x 2 ? 0 ,所以 k ? 1 ? 0 ,从而 O A ? O B ? 2 . 综上,当 A B ? x 轴时, O A ? O B 取得最小值 2. 解法二: (Ⅰ)同解法一. (Ⅱ)设 A 、 B 的坐标分别为 ? x1 , y1 ? , ? y1 , y 2 ? ,则
x i ? y i ? ( x i ? y i )( x i ? y i ) ? 2( i ? 1, 2)
2 2

??? ??? ? ?

??? ??? ? ?

令 si ? xi ? y i , ti ? xi ? y i , 则 s i t i ? 2 ,且 s i ? 0 , t i ? 0 ( i ? 1, 2 ) ,所以 O A ? O B ? x1 x 2 ? y1 y 2
? ? 1 4 1 2 ( s1 ? t1 )( s 2 ? t 2 ) ? s1 s 2 ? 1 2 t1 t 2 ? 1 4 ( s1 ? t1 )( s 2 ? t 2 )

??? ??? ? ?

s1 s 2 t1 t 2 ? 2

当且仅当 s1 s 2 ? t1t 2 ,即 ?
??? ??? ? ?

? x1 ? x 2 ? y1 ? ? y 2

时“=”成立.

所以 O A ? O B 的最小值是 2. 20.(共 14 分) (Ⅰ)解: a1 ? 3, a 2 ? 1, a 3 ? 2, a 4 ? 1, a 5 ? 1, a 6 ? 0, a 7 ? 1, a 8 ? 1, a 9 ? 0, a10 ? 1 .(答案不 唯一) (Ⅱ)解:因为在绝对等差数列 ? a n ? 中, a 20 ? 3, a 21 ? 0 ,所以自第 20 项开始,该数列是
a 20 ? 3, a 21 ? 0, a 22 ? 3, a 23 ? 3, a 24 ? 0, a 25 ? 3, a 26 ? 3, a 27 ? 0, ?

即自第 20 项开始,每三个相邻的项周期地取值 3,0,3,所以当 n ? ? 时, a n 的极限不存 在. 当 n ? 20 时, b n ? a n ? a n ? 1 ? a n ? 2 ? 6 ,所以 lim b n ? 6
n? ?

(Ⅲ)证明:根据定义,数列 ? a n ? 必在有限项后出现零项.证明如下: 假设 ? a n ? 中没有零项,由于 a n ? a n ?1 ? a n ? 2 ,所以对于任意的 n ,都有 a n ? 1 ,从而 当 a n ?1 ? a n ? 2 , a n ? a n ?1 ? a n ? 2 ? a n ?1 ? 1 ? n ? 3 ? ; 当 a n ?1 ? a n ? 2 , a n ? a n ? 2 ? a n ?1 ? a n ?1 ? 1 ? n ? 3 ? , 即 a n 的值要么比 a n ? 1 至少小 1,要么比 a n ? 2 至少小 1. 令 cn ? ?
? a 2 n ? 1 ( a 2 n ? 1 ? a 2 n ), ? a 2 n ( a 2 n ? 1 ? a 2 n ),
n ? 1, 2, 3 ? ? ,

则 0 ? c n ? c n ?1 ? 1 ? n ? 2, 3, 4 ? ? ? . 由于 c 1 是确定的正整数, 这样减少下去, 必然存在某项 c1 ? 0 这与 c n ? 0 ? n ? 1, 2, 3 ? ? ? 矛 盾.从而 ? a n ? 必有零项. 若第一次出现的零项为第 n 项,记 a n ?1 ? A ? A ? 0 ? ,则自第 n 项开始,每三个相邻的项周 期地取值 0, A , A ,即
? a n ? 3 k ? 0, ? ? a n ? 3 k ? 1 ? A , k ? 0,1, 2, 3… … , ?a ? n?3k ? 2 ? A,

所以绝对等差数列 ? a n ? 中有无穷多个为零的项.


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