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高中试卷河北省正定中学2014-2015学年高一下学期第三次月考 数学


高一第二学期第三次月考 数学试题
第Ⅰ卷(共 60 分)
一、选择题: (本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分.) 1.设全集为 R ,集合 A ? {x | x2 ? 9 ? 0}, B ? {x | ?1 ? x ? 5} ,则 A ? (CR B) ? ( A. (?3, 0) B. ( ?3, ?1] C. ( ?3, ?1) D. (

?3,3) ) )

2.若直线 ax ? (1 ? a ) y ? 3 与 (a ? 1) x ? (2a ? 3) y ? 2 互相垂直,则 a 等于( A.3 B.1 C.0 或 ?

3 2

D.1 或-3

3.将函数 y=3sin ? 2 x ?

? ?

??

? 的图像向右平移 个单位长度,所得图像对应的函数( 3? 2
B.在区间 ?

?



A.在区间 ?

? ? 7? ? , ? 上单调递减 ?12 12 ? ? ? ?? , ? 上单调递减 ? 6 3?

? ? 7? ? , ? 上单调递增 ?12 12 ?

C.在区间 ? ?

D.在区间 ? ?

? ? ?? , ? 上单调递增 ? 6 3?

4.设 m , n 是两条不同的直线, ? , ? , ? 是三个不同的平面,给出下列四个命题: ①若 m ⊥ ? , n ∥ ? ,则 m ⊥ n ; ②若 ? ⊥ ? , ? ⊥ ? ,则 ? ∥ ? ;

③若 ? ∥ ? , ? ∥ ? , m ⊥ ? ,则 m ⊥ ? ; ④若 ? ? ? ?

m ,? ? ? =n ,m ∥n

,则 ? ∥ ? .

其中正确命题的序号是( ) A.①和③ B.②和③

C.③和④

D.①和④

?x ? 0 ?y ? 0 ? 5.设变量 x, y 满足约束条件 ? ,则 z ? 4 x ? 3 y 的最大值是( 2 x ? y ? 4 ? ? ?2 x ? 3 y ? 6
A.7 B.8 C.9 D.10



6.某几何体的三视图如上图所示,则该几何体的体积是(



A.

5 6

B.

2 3

C.

1 2

D.

1 6


7. ?ABC 中, A ? 30?,AB ? 4, 满足此条件的 ?ABC 有两解,则 BC 边长度的取值范围为( A. (2 3,4) B. (2 ,4) C. (4, ? ?) D. [2 3,4) )

8.已知数列 {an } 的前 n 项和 Sn =2n ? 1,则此数列的奇数项的前 n 项和是( A. (2n ?1 ? 1)

1 1 1 C. (22 n ? 1) D. (22 n ? 2) 3 3 3 9 .在四棱锥 P ? ABCD 中,底面 ABCD 是菱形, PA ? 底面 ABCD , M 是棱 PC 上一点 . 若 PA ? AC ? a ,则当 ?MBD的面积为最小值时,直线 AC 与平面 MBD 所成的角为( ) ? ? ? ? A. B. C. D. 6 4 3 2
B. (2 n ?1 ? 2) 10.已知函数 f ?x ? ? x? 的图象过点 ?4,2? ,令 an ? 和为 Sn ,则 S2013 =( A. 2012 ?1 ) B. 2013 ?1 C. 2014 ?1 D. 2014 ? 1

1 3

1 * , n ? N .记数列 ?a n ?的前 n 项 f ?n ? 1? ? f ?n ?

11 .已知 ?ABC 中,点 D 是 BC 的中点,过点 D 的直线分别交直线 AB 、AC 于 E、F 两点,若

??? ? ??? ? 1 4 AB ? ? AE?? ? 0? , AC ? ? AF ? ? ? 0? ,则 ? 的最小值是( ? ?
A. 9 B.



7 2

C. 5

D.

9 2
2

12.若定义在 R 上的函数 y ? f (x)满足f (x ? 1) ? ? f (x) 满足,且当 x ? [-1,1] 时, f ( x) ? x ,函数

?log3 ( x - 1), x ? 1 ,则函数 h(x) ? f (x)-g (x) 在区间 [-5,5] 内的零点的个数为( g ( x) ? ? x ?2 , x ? 1
A.6 B. 7 C. 8 D. 9



第Ⅱ卷(共 90 分)
二、填空题(每小题 5 分,共 20 分,将答案写在答题纸上)

13.经过点 ?2,3? 且在 x 轴和 y 轴上截距相等的直线方程为 14.已知函数 f ? x ? ? ? sin x ? cos x ? sin x , x ? R ,则 f ( x ) 的最小值是

. .

15 .已知 ?ABC 的 三 个顶点 在以 O 为 球心 的球 面上, 且 AB ? 2 2 , BC ? 1, AC ? 3, 三 棱 锥

O ? ABC 的体积为

6 ,则球 O 的表面积为 6



16. 已知数列 ?an ? 中,a1 =9 ,an = a1 + a2 +?+

2 3

2 5

2 an?1 , n ? 2 , 则 a100 的值为 2n ? 1



三、解答题: (本大题共 6 小题,共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.) 17. (本小题满分 10 分) 已 知 函 数 f ? x? ?

1 ?1? 的 定 义 域 为 集 合 A , 函 数 g ?x ? ? ? ? ?? 1 ? x ? 0? 的 值 域 为 集 合 x ?1 ? 2?

x

B ,U ? R .
(1)求 (CU A) ? B ; (2)若 C ? ?x | a ? x ? 2a ? 1? 且 C ? B ,求实数 a 的取值范围. 18. (本小题满分 12 分) 设 ?ABC 是 锐 角 三 角 形 , 三 个 内 角 A , B , C 所 对 的 边 分 别 记 为 a , b , c , 并 且

(sin A ? sin B)(sin A ? sin B) ? sin(
(1)求角 A 的值;

?
3

? B) sin(

?
3

? B) .

(2)若 AB ? AC ? 12 , a ? 2 7 ,求 b , c (其中 b ? c ) . 19. (本小题满分 12 分) 如图,正三棱柱 ABC ? A 1B 1C1 的所有棱长都为 2 , D 为 CC1 中点. (1)求证: AB1 ⊥平面 A1 BD ; (2)求点 C 到平面 A1 BD 的距离. 20. (本小题满分 12 分) 如图,在四面体 A ? BCD 中, AD ? 平面 BCD , BC ? CD, AD ? 2, BD ? 2 2 . M 是 AD 的中 点, P 是 BM 的中点. C A

A1

D

C1 B1

B

(1)若点 Q 在线段 AC 上,且满足 AQ ? 3QC ,求证: PQ // 平面BCD ; (2)若 ?BDC ? 60 ? ,求二面角 C ? BM ? D 的大小.

21. (本小题满分 12 分) 已知数列 ?an ? 为等差数列, S n 为其前 n 项和,且 2Sn ? an ? 2n2 ( n ? ? ) .
?

(1)求 a n , S n ; (2) 若 a k ,a2 k ? 2 ,a2 k ?1( k ? ? ) 是等比数列 ?bn ? 的前三项, 设 ?n ? a1b1 ? a2b2 ? a3b3 ? ??? ? anbn ,
?

求 ?n .

22. (本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? ?

? x 2-ax+1,x ? a, ? x x-a ? ? 4 -4 ? 2 ,x ? a.

(1)若 x ? a 时, f ?x ? ? 1 恒成立,求 a 的取值范围; (2)若 a ? ?4 时,函数 f ?x ? 在实数集 R 上有最小值,求实数 a 的取值范围.

高一数学第三次月考答案
BDBAC ABCBC DC 14.

13. 3x ? 2 y ? 0或x ? y ? 5 .

1? 2 2

15.12π

16.

1206 5
x

17. (1)? x ? 1 ? 0 ,? A ? ?1,??? , CU A ? ?? ?,1? ;? ?1 ? x ? 0 ,?1 ? ? ? ? 2 , B ? ?1,2? ;

?1? ?2?

??CU A? ? B ? ?? 1 ;当 a ? 2 a ? 1 ,即 a ? 1 时, ?x | a ? x ? 2a ? 1? ? ? ,符合题意;

当 a ? 2 a ? 1 ,即 a ? 1 时,若 ?x | a ? x ? 2a ? 1? ? ?1,2?,则 ? 综上所述, a ?

?a ? 1 3 ,即 1 ? a ? ; 2 ?2 a ? 1 ? 2

3 . 2
3 1 3 1 cos B ? sin B) ? ( cos B ? sin B) ? sin 2 B 2 2 2 2

18. (1) sin 2 A ? (

?

3 3 (cos 2 B ? sin 2 B) ? , 4 4
3 ? ,? A ? . 2 3

? sin A ?

(2) AB ? AC ? bc cos A ? 12 ,? bc ? 24 , 又 a 2 ? b 2 ? c 2 ? 2bc cos A ? (b ? c) 2 ? 3bc ,? b ? c ? 10 ,

??? ? ????

? b ? c ,? b ? 4 , c ? 6 . 19. (1)取 BC 中点 O ,连结 AO . ?△ ABC 为正三角形,? AO ⊥ BC .

? 正三棱柱 ABC ? A1B1C1 中,平面 ABC ⊥ 平面 BCC1B1 ,

A

A1
F C D

? AO ⊥ 平面 BCC1B1 .
连结 B1O ,在正方形 BB1C1C 中, O,D 分别为 O

C1

BC,CC1 的中点,
B

? B1O ⊥ BD , ? AB1 ⊥ BD .
在正方形 ABB1 A1 中, AB1 ⊥ A1B ,? AB1 ⊥平面 A1 BD . (2) △A1BD 中, BD ? A1 D ?

B1

5,A1 B ? 2 2, ? S△ A1BD ? 6 , S△BCD ? 1 .

在正三棱柱中, A1 到平面 BCC1B1 的距离为 3 . 设点 C 到平面 A1 BD 的距离为 d .由 VA1 ? BCD ? VC ? A1BD 得

1 1 S△ BCD ? 3 ? S△ A1BD ?d , 3 3

?d ?

2 3S△BCD 2 .? 点 C 到平面 A1 BD 的距离为 . ? 2 S△ A1BD 2
A

20.(1)证明:如图所示,取 BD 中点 O,且 P 是 BM 中点,

M P Q B

O
C

D

H

所以 PO // MD 且

PO ?

1 MD 2 ;

取 CD 的四等分点 H,使 DH=3CH, 且 AQ =3QC, 所以,

PO // QH 且 PO ? QH ,
OPQH 为平行四边形,

所以,四边形 所以

PQ // OH ,且 OH ? BCD ,

所以 PQ//面 BDC. (2)做 CG ? BD 于 G ,做 GH ? BM 与 H ,连接 CH

? AD ? 面BCD,

? AD ? BD

又? CG ? BD,

AD ? BD ? D

? CG ? 面ABD 又 ? BM ? 面ABD
又? GH ? BM , CH ? GH ? H

? CG ? BM ,

? BM ? 面CGH ? BM ? CH

? ?GHC 即为所求.

CG ?

BC ? CD 6? 2 6 . ? ? BD 2 2 2

6 CG 3 BC ? CM 6? 3 ? 2 ? CH ? ? ? 2 ? sin ?GHC ? CH 2 BM 3 2
又? ?GHC 是锐角

? ?GHC ?

?
3

?二面角C ? BM ? D 为

? . 3

21. (1)? 2Sn ? an ? 2n2 (n ? N * ) .

? 2S1 ? a1 ? 2 ,又 S1 ? a1 ,故 a1 ? 2 ;
又 2S2 ? a2 ? 8 ,故 4 ? 2a2 ? a2 ? 8 ,得 a2 ? 4 ; 等差数列 { an } 的公差 d ? a2 ? a1 ? 4 ? 2 ? 2 .. 所以 an ? a1 ? (n ?1)d ? 2 ? 2(n ?1) ? 2n ,

Sn ?

n(a1 ? an ) n(2 ? 2n) ? ? n2 ? n . 2 2

2 (2)由已知有 a2 k ?2 ? ak ? a2 k ?1 ,
2 故 4(2k ? 2)2 ? 2k ? 2(2k ? 1) ,即 2k ? 9k ? 4 ? 0 .

解得 k

? 4 ,或 k ? ,又 k ? N * ,故 k ? 4 .
b2 a6 2 ? 6 3 ? ? ? ,首项为 b1 ? a4 ? 8 . b1 a4 2 ? 4 2

1 2

? 等比数列 {bn } 的公比为 q ?
所以 bn ? b1q n ?1 ? 8 ? (

3 n?1 ) . 2 3 n ?1 32 3 n ? ( )n . 所以 anbn ? 2n ? 8( ) ? 2 3 2 32 3 3 2 3 3 ?Tn ? [1? ? 2 ? ( ) ? 3 ? ( )3 ? ? ? n ? ( ) n ] . 3 2 2 2 2 3 32 3 3 3 3 Tn ? [1? ( ) 2 ? 2 ? ( )3 ? ? ? (n ? 1)( ) n ? n ? ( ) n ?1 ] . 2 3 2 2 2 2 3 32 3 3 3 3 ?Tn ? Tn ? [ ? ( ) 2 ? ? ? ( ) n ] ? 16n ? ( ) n . 12 分 2 3 2 2 2 2 3 3 [1 ? ( ) n ] 1 32 2 ? 16n ? ( 3 )n ? ?32[1 ? ( 3 ) n ] ? 16n ? ( 3 ) n ? ?32 ? (16n ? 32) ? ( 3 ) n . ?? Tn ? ? 2 3 2 2 3 2 2 2 1? 2 3 ? Tn ? 64 ? 32( n ? 2) ? ( ) n .. 2
22.(1)因为 x<a 时,f(x)=4 -4×2
2 x x-a

,所以令 t=2 ,则有 0<t<2 .

x

a

当 x<a 时 f(x)<1 恒成立,转化为 t -4×

t a -1<0 在 t∈(0,2 )上恒成立. 2a

设 g(x)=t -4×

2

? g ?0? ? 0 t - 1, 根据图象可知,只需满足 即可. ? a 2a ?g 2 ? 0

? ?

?? 1 ? 0 ? 解得, a ? log4 5 ? 2a 2a 2 ? 4 ? ? 1 ? 0 ? 2a ?
(2)当 x≥a 时,f(x)=x -ax+1,即 f(x)= ? x ?
2

? ?

a2 a? + 1 - , ? 4 2?

2



a ≤a 时,即 a≥0 时,f(x)min=f(a)=1; 2

a2 a ?a? 当 >a 时,即-4≤a<0,f(x)min=f ? ? =1- . 4 2 ?2?

2 ? 4 4 ? 当 x<a 时,f(x)=4 -4×2 ,令 t=2 ,t∈(0,2 ),则 h(t)=t - a t= ? t ? a ? - a , 2 4 ? 2 ?
x x-a x a 2

2



2 a 1 ? 2 <2 ,即 a> 时,h(t)min=h ? a a 2 2 ?2

4 ? ? =- a ; 4 ?

2 1 a a a ≥2 ,即 a≤ 时,h(t)在开区间 t∈(0,2 )上单调递减,h(t)∈(4 -4,0),无最小值. a 2 2 1 4 4 综合 x≥a 与 x<a,所以当 a> 时,1>- a ,函数 f(x)min=- a ; 2 4 4 1 a 当 0≤a≤ 时,4 -4<0<1,函数 f(x)无最小值; 2
当 当-4≤a<0 时,4 -4<-3≤1-
a

a2 ,函数 f(x)无最小值. 4

综上所述,当 a>

1 时,函数 f(x)有最小值. 2

-END-

-END-


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