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广东省深圳科学高中2013-2014学年高二上学期期中考试数学试题


深圳科学高中 2013-2014 学年第一学期期中考试试题 年级:高二 科目:数学(实验、荣誉体系)
卷面总分:150 分

考试时长:120 分钟

注意事项:答案写在答题卡指定的位置上,写在试题卷上无效.选择题作答必须用 2B 铅 笔,修改时用橡皮擦干净.解答题作答必须用黑色墨迹签字笔或钢笔填写,答 题不得超出答题框.

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一、 选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分.在每小题给出的四个选 项中,只有一项是符合题目要求的. 1.不等式 x 2 ? x ? 0 的解集是( A. (??, 0) B. (0, 1) ) C. (1, ? ?) D. (??, 0) ? (1, ? ?) )条件

2.已知集合 A ? ?0, a? , B ? ?0,1, 2? ,则“ a ? 1 ”是“ A ? B ”的( A.充要 B.充分不必要 C.必要不充分
n

D.既不充分也不必要

3. 已知函数 y ? f ( x)( x ? N ? ) , f (1) ? 1, f (n) ? ? ?1? ? 3 f (n ? 1)(n ? 2) ,则 f (4) 等 于( A. 27 ) B. ?27 C. 9 D. ?9

4.在命题“若 x 2 ? 7 x ? 6 ? 0 ,则 x ? 1 ”的逆命题、否命题、逆否命题中,真 命题的个数为( ) A. 0 B. 1 A. a ? c ? b ? d C. a ? c ? b ? d C. 2 B. ac ? bd D. a ? d ? b ? c D. 3 )

5.设 b ? a , d ? c ,则下列不等式中一定成立的是 (

6.设 ?an ? 是一个等比数列,它的前 3 项的和为 10,前 6 项的和为 30,则它的 前 9 项的和为( A.50 ) B.60 C.70 D.90

7.数学协会是我们学校的一个研究型社团,深受同学们的喜爱,在 2013 年 9 月 27、28 日下午的社团招新活动中,较多的同学加入了数学协会。设命题 p 是“甲 同学加入了数学协会” ,命题 q 是“乙同学加入了数学协会” ,则命题“甲、乙至 少有一位同学没有加入数学协会”可表示为( A. ? p ? ?q B. p ? q C. p ? ?q ) D. ? p ? ?q

8. 已 知 数 列 ?an ? 为 等 差 数 列 , Sn 为 数 列 ?an ? 的 前 n 项 和 ,

S8 ? S9 , S9 ? S10 , S10 ? S11 ,则下列结论错误的是(
A. d ? 0 B. S12 ? S8 C. a10 ? 0



D. S9和S10 均为 Sn 的最大值

二、 填空题:本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分.
1 9.等比数列 ,1, 2, ? 的第 5 项等于 2 9 10.函数 y ? x ? ( x ? 0) 的最小值为 x

. . . .

11.命题“对任意的 x ? R ,都有 x 2 ? 0 ”的否定为 12.在等差数列 ?an ? 中, a3 ? a4 ? a5 ? a6 ? a7 ? 500 ,则 a2 ? a8 ?
?x ? y ? 0 ? 13.已知 ? x ? y ? 0 ,则 z ? x ? 2 y 的最小值是________________ ?y ? 2 ?

.

14.已知数列 ?an ?: a1 , a2 ,?, an (n ? 3), 令集合 T ? ?x x ? ai ? a j ,1 ? i ? j ? n ?,

card(T ) 表示集合 T 中元素个数.若 ?an ?满足: an?1 ? an ? c(c为常数,n ? 1) , 则 c a d r (T ) =_____
_.

(举例说明:若 ?a n ? : 1,2,3,4,则 T ? ?3,4,5,6,7?, card(T ) =5.)

三、解答题:本大题共 6 小题,共 80 分.解答须写出文字说明、证明过程或演算 步骤. 15.(本小题满分 12 分) 已知关于 x 的不等式 ax 2 ? 2 x ? c ? 0 的解集为 ? x ?3 ? x ? 2? ,

(1)求 a , c 的值; (2)解关于 x 的不等式:
a 2 x ? 2ax ? c ? 0 2

16. (本小题满分 12 分) 给定两个命题: p :关于 x 的方程 x2 ? 2 x ? a ? 0 有实数根;
q :对任意实数 x ,都有 ax2 ? ax ? 1 ? 0 恒成立.

如果 p ? q 为真命题,求实数 a 的取值范围.

17.(本小题满分 14 分) 在等差数列 ?an ? 中, a1 ? a3 ? 20 ,且 a3 是 a1 与 a6 的等比中项,求数列 ?an ? 的 首项 a1 、公差 d 及前 n 项和 Sn . ks5u 18.(本小题满分 14 分) 已知数列 ?an ? 的前 n 项和 S n ? (1)求 a1 ; (2)求 ?an ? 的通项公式; (3)设 bn ? (n ? 3) ? an ,求 ?bn ? 前 n 项和 Tn . 19.(本小题满分 14 分) 深圳科学高中致力于培养以科学、技术、工程和数学见长的创新型高中学 生, “工程技术”专用教室是学校师生共建的创造者的平台,该教室内某设 备 D 价值 24 万元, D 的价值在使用过程中逐年减少,从第 2 年到第 5 年, 每年初 D 的价值比上年初减少 2 万元;从第 6 年开始,每年初 D 的价值为 上年初的 25 %, (1)求第 5 年初 D 的价值 a5 ; (2)求第 n 年初 D 的价值 an 的表达式;
3 1 an ? , 2 2

(3)若设备 D 的价值 an 大于 2 万元,则 D 可继续使用,否则须在第 n 年初 对 D 更新,问:须在哪一年初对 D 更新?

20.(本小题满分 14 分) 已知函数 f ( x) 是定义域为 ? ??,1? 的增函数,
1 (1)若 f ( x ? 2) ? f ( ? ) ,求 x 的取值范围; x

(2)是否存在实数 a ,使得 f (a ? sin x) ? f (a2 ? sin 2 x) 对一切 x ? R 恒成立? 若不存在,请说明理由;若存在,求出 a 的值.

深圳科学高中 2013-2014 学年第一学期期中考试试题答案 年级:高二
一、选择题 题号 1 答案 D 二、填空题 9. 8 10. 6 13. - 6 11. 存在 x0 ? R, 使得 x02 ? 0
?1,(c ? 0) 14. ? ?2n ? 3.(c ? 0)

科目:数学(实验、荣誉体系)
卷面总分:150 分 4 C 5 C 6 C 7 A 8 B

考试时长:120 分钟 2 B 3 B

12. 200

三、解答题 15.解: (1)由题意知 a ? 0 且 ? 2 和 3 是方程 ax2 ? 2 x ? c ? 0 的两个根------3 分
? 2 ? ? ?3 ? 2 ? ? a ?? ------------------------------------------------------------6 分 c ? ? ?3 ? 2 ? ?a

?a ? 2 ?? ?c ? ?12

------------------------------------------------------------7 分 -------------------8 分 -------------------10 分

(2)由(1)知不等式可化为 x 2 ? 4 x ? 12 ? 0 即 ?x ? 2??x ? 6? ? 0

? 原不等式的解集为 x x ? ?6或x ? 2

?

?

----------------12 分

16.解:①若 p 为真命题,则由 ? ? 4 ? 4a ? 0 得 a ? 1 ------------------3 分 ks5u ②若 q 为真命题,则 a ? 0 --------------------------------------5 分

?a ? 0 或? -----------------------------7 分 2 ?? ? a ? 4 a ? 0
?0 ? a ? 4

-----------------------------------------9 分

? p ? q 为真命题,? p, q 均为真命题 -------------------------10 分

?a ? 1 ?? ?0 ? a ? 4

? 实数 a 的取值范围为 ?0,1? ----------------------12 分

? ?a1 ? a3 ? 20 17.解:由已知有 ? 2 -----------------------------------------------2 分 ? ?a3 ? a1 ? a 6

?a1 ? d ? 10 ?? 2 ?4d ? a1 d

------------------------------------------------5 分

①当 d ? 0 时, a1 ? 10, S n ? na1 ? 10n ;------------------------------------------ 8 分
?a1 ? d ? 10 ?a1 ? d ? 10 ?a1 ? 8 ②当 d ? 0 时,由 ? 2 得? ,? ? ?d ? 2 ?4d ? a1 ?4d ? a1 d

? S n ? na1 ?

n(n ? 1) d ? 8n ? n(n ? 1) ? n 2 ? 7n --------------------------------12 分 2

综上可得 a1 ? 10, d ? 0, S n ? 10n 或 a1 ? 8, d ? 2, S n ? n 2 ? 7n .

--------------14 分

18.解: (1)由 S1 ?

3 1 a1 ? 且 S1 ? a1 得 a1 ? 1 2 2 3 3 (2)? 当 n ? 2 时, a n ? S n ? S n ?1 ? a n ? a n ?1 2 2 3 1 ? a n ?1 ? a n ,? an ? 3an?1 (n ? 2) 2 2

-------------2 分 -------------4 分 -------------5 分

??an ?是一个以 1 为首项,3 为公比的等比数列

? an ? 3n?1
(3) bn ? (n ? 3) ? 3n?1 ,

-------------7 分 -------------8 分 ①

?Tn ? (?2) ? 30 ? (?1) ? 31 ? 0 ? 32 ? 1? 33 ? ? ? (n ? 4) ? 3n?2 ? (n ? 3) ? 3n?1
-------------9 分

3Tn ? (?2) ? 31 ? (?1) ? 32 ? 0 ? 33 ? 1? 34 ? ? ? (n ? 4) ? 3n?1 ? (n ? 3) ? 3n
-------------11 分 ① - ②得 ? 2Tn ? ?2 ? 3 ? 32 ? 33 ? ? ? 3n?2 ? 3n?1 ? (n ? 3) ? 3n
? ?2 ? 3(1 ? 3n ) 3(1 ? 3n ?1 ) ? (n ? 3) ? 3n ? ?2 ? ? (n ? 3) ? 3n 1? 3 2



------------13 分
? Tn ? 1 ? 3(1 ? 3n ?1 ) (n ? 3) ? 3 n 3n ?1 (2n ? 1) ? 3 n 7 ? ?? ? ? 4 2 2 4 4

-----------14 分

19.解: (1)由题可知,当 n ? 5 时,D 的价值组成一个以 24 为首项、- 2 为 公差的等差数列,所以 a5 ? 24 ? 4 ? 2 ? 16 (万元) (2)当 n ? 5 时, an ? 24 ? 2(n ? 1) ? ?2n ? 26 -----------------4 分 ---------6 分

1 由题可知,当 n ? 5 时,D 的价值组成一个以 16 为首项、 为公比的等比数 4

?1? 列,所以当 n ? 6 时, an ? a5 ? ? ? ? 4?

n ?5

?1? ? 16 ? ? ? ? 4?

n ?5

? 4 7 ?n

---------8 分

? ? ?? 2n ? 26, (1 ? n ? 5, n ? N ) ? a n ? ? 7?n ? ? ?4 .(n ? 6, n ? N )

-----------9 分

(3)当 n ? 5 时, an ? 2 恒成立; 当 n ? 6 时,由 4 7 ?n ? 2 得 n ? 答:须在第 7 年初对 D 更新.
13 1 ?6 2 2

----------13 分 -----------14 分

? ?x ? 2 ? 1 ? ? 1 20.解: (1)由 ?? ? 1 得 x ? ?1 x ? 1 ? x?2? ? ? x ?

-------5 分

(2)假设存在实数 a ,使得 f (a ? sin x) ? f (a2 ? sin 2 x) 对一切 x ? R 恒
2 2 2 2 ? ?a ? sin x ? a ? sin x ? ?a ? a ? sin x ? sin x 成立,则 ? 2 即? 2 --8 分 2 2 ? ? ?a ? sin x ? 1 ?a ? 1 ? sin x

2 2 ? ?a ? a ? (sin x ? sin x) max 只需 ? 2 , 2 ? a ? ( 1 ? sin x ) min ?

-------10 分

1? 1 ? 又 sin 2 x ? sin x ? ? sin x ? ? ? 且 ? 1 ? sin x ? 1 , 2? 4 ?

2

? (sin 2 x ? sin x) max ? 2
2 ? ?a ? a ? 2 ?? 2 ? ?a ? 1

又 (1 ? sin x) min ? 1
2

-------13 分

解得 a ? ?1

? 存在实数 a ? ?1 ,使得 f (a ? sin x) ? f (a2 ? sin 2 x) 对一切 x ? R 恒成立.
------14 分 ks5u


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