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直线与圆、圆与圆复习讲义


圆的方程 1.方程 x2 ? y 2 ? ax ? 2ay ? 2a2 ? a ?1 ? 0 表示圆,则 a 的取值范围是 ( ) 2 ( A ) a ? ?2 (B) ? ? a ? 0 3 2 ( C ) ?2 ? a ? 0 ( D ) ? 2 ?a ? 3 2.求满足下列各条件圆的方程: (1)以 A(4 , 9) ,B(6 , 3) 为直径的圆; (2)与 x, y 轴

均相切且过点 (1,8) 的圆; (3)求经过 A(5 , 2) , B(3 , ? 2) 两点,圆心在直线 2 x ? y ? 3 上的圆的方程。 (4)过点 P(2,-1) ,圆心在直线 2x+y=0 上,与直线 x-y-1=0 相切. 2 2 3.已知曲线 C : x ? y ? 2kx ? (4k ? 10) y ? 10k ? 20 ? 0 ,其中 k ? ?1 ; (1)求证:曲线 C 都是圆,并且圆心在同一条直线上; (2)证明:曲线 C 过定点; (3)若曲线 C 与 x 轴相切,求 k 的值; 2 2 4. 圆 x +y +Dx+Ey+F=0 与 x 轴切于原点, 则有?????????? ( ) 2 2 (A)F=0,DE≠0 (B)E +F =0,D≠0 2 2 (C)D +F =0,E≠0 (D)D2+E2=0,F≠0 5、 方程|x|-1= 1 ? y 2 表示的曲线是???????????????? ( (A)一条直线 (B)两条射线 (C)两个圆
?x ? 0 ? 6.已知平面区域 ? y ? 0 恰好被面积最小的圆 C : ( x ? a)2 ? ( y ? b)2 ? r 2 及其内 ?x ? 2 y ? 4 ? 0 ?
部所覆盖. (Ⅰ)试求圆 C 的方程. (Ⅱ)若斜率为 1 的直线 l 与圆 C 交于不同两点 A, B. 满足 CA ? CB ,求直线 l 的方程. 解:(1)由题意知此平面区域表示的是以 O(0, 0), P (4, 0),Q (0, 2)构成的三角形及其内部,且 △ OPQ 是直角三角形, ????????????????????3 分



(D)两个半圆

所以覆盖它的且面积最小的圆是其外接圆,故圆心是(2,1),半径是 5 ,??????5 分 所以圆 C 的方程是 ( x ? 2)2 ? ( y ? 1)2 ? 5 . ????????????????7 分 (2)设直线 l 的方程是: y ? x ? b . ????????????????????8 分 因为 CA ? CB ,所以圆心 C 到直线 l 的距离是 即

??? ?

??? ?
?

10 , ???????????10 分 2

| 2 ?1 ? b | 1 ?1
2 2

10 2

????????????????????12 分 ????????????????????13 分

解得: b ? ?1 ? 5 .

所以直线 l 的方程是: y ? x ? 1 ? 5 . ??????????????????15 分

直线与圆相交 1.直线 y ? ? x ? m 与圆 x2 ? y 2 ? 1在第一象限内有两个不同交点,则 m 的取值范围是 ( )

( A) 0 ? m ? 2 (C ) 1 ? m ? 2 ( D) ? 2 ? m ? 2

(B) 1 ? m ? 2

2.若曲线 y ? 1 ? 4 ? x2 (?2 ? x ? 2) 与直线 y ? k ( x ? 2) ? 4 有两个交点时,则实数 k 的取值 范围是____ __。 3.已知直线 L : 2mx ? y ? 8m ? 3 ? 0 和圆 C : x2 ? y 2 ? 6x ? 12 y ? 20 ? 0 ; (1) m ? R 时,证明 L 与 C 总相交。 (2) m 取何值时, L 被 C 截得弦长最短,求此弦长。
OQ 的值 4.已知 x2+y2+8x-6y+21=0 和直线 y=mx 相交于 P,Q 两点, 求 PQ ·
? ?

5.圆 x2+y2-2axcos ? -2bysin ? -a2sin2 ? =0 在 x 轴上截得的弦长为 A. 2a B. 2 a C. 2 a D. 4 a

(

)

7 6.由点 P(0,1)引圆 x2+y2=4 的割线 l,交圆于 A,B 两点,使Δ AOB 的面积为 2 y (O 为原点) ,求直线 l 的方程。 B
P A x

7.已知圆满足:①截 y 轴所得弦长为 2;②被 x 轴分成两段圆弧,其弧长的比为 5 3∶1;③圆心到直线 l:x-2y=0 的距离为 ,求该圆的方程. 5 *7.已知圆 C 满足以下三个条件,求圆 C 的方程(1997 年高考题) ⑴ 截 y 轴所得的弦长为 2;⑵ 被 x 轴分成的两段弧长之比为 1:3; ⑶ 圆心到直线 l:x-2y=0 的距离最小. 8、若直线 l:x+2y-3=0 与圆 x2+y2-2mx+m=0 相交于 P、Q 两点并且 OP⊥ OQ,求实数 m 之值.
Q P O

直线与圆相切 1. 过⊙:x2+y2=2 外一点 P(4,2)向圆引切线, (1)求过点 P 的圆的切线方程; (2)若切点为 P1,P2,求过切点 P1,P2 的直线方程。 y P(4,2) O P1

x P2

2.已知直线 ax+by+c=0(abc ? 0)与圆 x2+y2=1 相切,则三条边长分别为 a , b , c 的 三角形( ) A. 是锐角三角形 B.是直角三角形 C.是钝角三角形 D.不存在

3. “a=b”是“直线 y ? x ? 2与圆( x ? a)2 ? ( y ? b)2 ? 2相切 ”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分又不必要条件 2 2 4.过点 P(?2, ?3) 作圆 C : ( x ? 4) ? ( y ? 2) ? 9 的两条切线,切点分别为 A, B ;求: (1) 经过圆心 C , 切点 A, B 这三点圆的方程; (2)直线 AB 的方程; (3)线段 AB 的长。 *5、如果经过 A(0,1) 、B(4,m)并且与 x 轴相切的圆有且只有一个,求实 数 m 的值.
6.已知圆 x2+(y-1)2=1 的圆外一点 P(-2,0) ,过点 P 作圆的切线,则两条切线夹角 的正切值是 . 7.已知 P 是直线 3x+4y+8=0 上的动点,PA,PB 是圆 x2+y2-2x-2y+1=0 的两条切线,A、 B 是切点,C 是圆心,那么四边形 PACB 面积的最小值为 . 8.已知圆 M : x2 ? ( y ? 2)2 ? 1 ,设点 B, C 是直线 l : x ? 2 y ? 0 上的两点,它们的横坐标分 别是 t , t ? 4(t ? R) ,点 P 在线段 BC 上,过 P 点作圆 M 的切线 PA ,切点为 A . (1)若 t ? 0 , MP ? 5 ,求直线 PA 的方程; (2)经过 A, P , M 三点的圆的圆心是 D ,求线段 DO 长的最小值 L(t ) . 解: (1)设 P(2a, a)(0 ? a ? 2).

? M (0,2), MP ? 5,? (2a)2 ? (a ? 2)2 ? 5.
解得 a ? 1 或 a ? ? (舍去).? P(2,1). 由题意知切线 PA 的斜率存在,设斜率为 k. 所以直线 PA 的方程为 y ? 1 ? k ( x ? 2) ,即 kx ? y ? 2k ? 1 ? 0.

1 5

?直线 PA 与圆 M 相切,?

| ?2 ? 2k ? 1| 1? k
2

4 ? 1 ,解得 k ? 0 或 k ? ? . 3

?直线 PA 的方程是 y ? 1 或 4 x ? 3 y ? 11 ? 0. (2)设 P(2a, a)(t ? 2a ? t ? 4).

?PA 与圆 M 相切于点 A,? PA ? MA. ?经过 A, P , M 三点的圆的圆心 D 是线段 MP 的中点. a ? M (0, 2),? D 的坐标是 (a, ? 1). 2

5 5 2 4 4 4 5 5 t 2 4 t 5 2 t 当 ? ? ,即 t ? ? 时, f (a)min ? f ( ) ? t ? ? 1; 2 5 5 2 16 2 t 2 t 24 4 2 4 当 ? ? ? ? 2 ,即 ? ? t ? ? 时, f (a)min ? f (? ) ? ; 2 5 2 5 5 5 5 t 2 24 当 ? 2 ? ? ,即 t ? ? 时 2 5 5 t 5 t t 15 f (a)min ? f ( ? 2) ? ( ? 2)2 ? ( ? 2) ? 1 ? t 2 ? 3t ? 8 2 4 2 2 16
4 ?1 2 ? 4 5t ? 8t ? 16, t ? ? 5 ? 4 ? 2 5 24 则 L(t ) ? ? . ,? ? t ? ? 5 5 ? 5 24 ?1 2 ? 4 5t ? 48t ? 128, t ? ? 5 ?

设 DO2 ? f (a).? f (a) ? a2 ? ( ? 1)2 ? a2 ? a ? 1 ? (a ? )2 ? .

a 2

几何性质的应用 1 . 圆 x2 ? y 2 ? 2x ? 6 y ? 9 ? 0 关 于 直 线 2 x ? y ? 5? 0对 称 的 圆 的 方 程 是 ( ) ( A) ( x ? 7)2 ? ( y ? 1)2 ? 1 ( B ) ( x ? 7)2 ? ( y ? 2)2 ? 1 (C ) ( x ? 6)2 ? ( y ? 2)2 ? 1 ( D) ( x ? 6)2 ? ( y ? 2)2 ? 1 2 . 设 圆 上 的 点 A( 2 , 3 ) 关 于 直 线 x ? 2y ? 0 的 对 称 点 仍 在 圆 上 , 且 与 直 线
x ? y ? 1 ? 0 相交的弦长为 2 2 ,求圆的方程。

3.设 M 是圆 ( x ? 5)2 ? ( y ? 3)2 ? 9 上的点,则 M 点到直线 3x ? 4 y ? 2 ? 0 的最短距离 是 。 2 2 4. 圆 x ? y ? 2x ? 4 y ? 3 ? 0 上到直线 x ? y ? 1 ? 0 的距离为 2 的点共有 个。 变:求圆半径的范围。 y y?2 5、实数 x、y 满足:x2+y2-4x+1=0,求⑴ 的最小值.⑵ 的值域. x ?1 x 圆与圆的位置关系 1. 已知圆 ? C1 : x2 ? y2 ? 2x ? 2 y ? 8 ? 0 与 ? C2 : x2 ? y2 ? 2x ?10 y ? 24 ? 0 相交于 A, B 两点, (1)求公共弦 AB 所在的直线方程; (2)求圆心在直线 y ? ? x 上,且经过 A, B 两点的圆的方程; (3)求经过 A, B 两点且面积最小的圆的方程。 2、圆 x2 ? y 2 ? 4x ? 4y ? 0, x 2 ? y 2 ? 2x ? 12 ? 0 相交于 A、B 两点,则直线 AB 的方 程是 .

3.如图,已知圆心坐标为 M ( 3,1) 的圆 M 与 x 轴及直线 y ? 3x 均相切,切点分别为

A 、 B ,另一圆 N 与圆 M 、 x 轴及直线 y ? 3x 均相切,切点分别为 C 、 D .
(1)求圆 M 和圆 N 的方程; (2)过点 B 作直线 MN 的平行线 l ,求直线 l 被圆 N 截得的弦的长度.

y
D N B M O A C

x

解: (1)由于⊙M 与∠BOA 的两边均相切,故 M 到 OA 及 OB 的距离均为⊙M 的半 径,则 M 在∠BOA 的平分线上, 同理,N 也在∠BOA 的平分线上,即 O,M,N 三点共线,且 OMN 为∠BOA 的平分线, ∵M 的坐标为 ( 3,1) ,∴M 到 x 轴的距离为 1,即⊙M 的半径为 1, 则⊙M 的方程为 ( x ? 3) 2 ? ( y ? 1) 2 ? 1,------------------------------------4 分 设⊙N 的半径为 r ,其与 x 轴的的切点为 C,连接 MA、MC, 由 Rt△OAM∽Rt△OCN 可知,OM:ON=MA:NC, 即

r 1 ? ? r ? 3, 3? r r

则 OC= 3 3 ,则⊙N 的方程为 ( x ? 3 3) 2 ? ( y ? 3) 2 ? 9 ;----------------8 分 (2)由对称性可知,所求的弦长等于过 A 点直线 MN 的平行线被⊙ N 截得的弦 的长度,此弦的方程是 y ?

3 ( x ? 3 ) ,即: x ? 3 y ? 3 ? 0 , 3 3 ,--------------------- -------------------------11 分 2

圆心 N 到该直线的距离 d=

则弦长= 2 r 2 ? d 2 ? 33 .----------------------------------------------------14 分 另解: 求得 B (

3 3 , 再得过 B 与 MN 平行的直线方程 x ? 3 y ? 3 ? 0 , , ) 2 2

圆心 N 到该直线的距离 d ? =

3 ,则弦长= 2 r 2 ? d 2 ? 33 . 2

(也可以直接求 A 点或 B 点到直线 MN 的距离,进而求得弦长)

有关圆的轨迹问题 1 . 若 半 径 为 1 的 动 圆 与 圆 x2 ? y 2 ? 4 相 切 , 则 动 圆 圆 心 的 轨 迹 方 程 是 。 2 2 2、点 A(0,2)是圆 x +y =16 内的定点,点 B,C 是这个圆上的两个动点,若 BA⊥ CA,求 BC 中点 M 的轨迹方程,并说明它的轨迹是什么曲线。 1 3、一曲线是与定点 O(0,0),A(3,0)距离的比是 的点的轨迹,求此曲线的轨迹方 2 程. 4、已知圆 x 2 ? y 2 ? 1 和定点 A(2,0),B 为圆上一动点,△ABC 是正三角形(A、B、 C 为顺时针顺序),求顶点 C 的轨迹;点 B 在上半圆上运动到什么位置时,四边 形 OACB 面积最大? 5、PQ 是过点 A(3,0)所作的圆 C:x2+y2+6x=0 的弦,设 CH⊥PQ 于 H.求 点 H 的轨迹方程 y
P C H Q O A x


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