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浙江省杭州市高三数学 19


高三数学(文)模拟卷
本试题卷分选择题和非选择题两部分。全卷共 4 页, 选择题部分 1 至 2 页, 非选择题部 分 3 至 4 页。满分 150 分, 考试时间 120 分钟。 请考生按规定用笔将所有试题的答案涂、写在答题纸上。 注意事项: 1. 答题前,考生务必将自己的姓名、准考证号用黑色字迹的签字笔或钢笔分别填写在答 题纸规定的位置上。 2. 每小题选出答案后,

用 2B 铅笔把答题纸上对应题目的答案标号涂黑。如需改动,用橡 皮擦干净后,再选涂其它答案标号。不能答在试题卷上。 参考公式: 球的表面积公式 柱体的体积公式 S=4πR2 V=Sh 球的体积公式 其中 S 表示柱体的底面积,h 表示柱体的 高 V= πR3
3 4

台体的体积公式 V=

其中 R 表示球的半径 锥体的体积公式 V=

1 h(S1+ S1S2 +S2) 3

其中 S1, S2 分别表示台体的上、 下底面积, h 表示台体的高

1 Sh 3

其中 S 表示锥体的底面积,h 表示锥体的高 第一部分 选择题 (共 40 分) 一、选择题(本大题共 8 小题,每小题 5 分,满分 40 分.在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的 1、 (原创)已知等差数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn ,若 a2 ? a8 ? 10 ,则 S9 ? ( A. 9 B. 10 ) B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件 C. 45 )

D. 90

2 2、(原创)“ a ? 16 ”是“ a ? 4 ”的(

A.充分不必要条件 C.充分必要条件

3、(原创)函数 f ? x ? ? log 1 x2 ? 9 的单调递减区间为(
3

?

?

) D. ? ??, ?3?

A. ? 0, ?? ?

B. ? ??,0 ?

C. ? 3, ?? ?

4、 (2014 湖州一模)已知 l , m 是两条不同的直线, ? 是一个平面,则下列命题正确的是 ( ) B.若 l ? m , m //? ,则 l ? ? D.若 l ? m , l ? ? ,则 m //? ) A.若 l //? , m //? ,则 l //m C.若 l ? ? , m ? ? ,则 l //m

5、为了得到函数 y ? cos 2 x ? sin 2 x 的图象,可以将函数 y ? 2 cos 2 x 的图象(

A.向右平移 C.向左平移

? 个单位 4

B.向右平移 D.向左平移

? 个单位 8

? 个单位 4

? 个单位 8

6、已知函数 f ? x ? ? m ? 9x ? 3x ,若存在非零实数 x0 ,使得 f ? ?x0 ? ? f ? x0 ? 成立,则实数

m 的取值范围是(
A. m ?

) B. 0 ? m ?

1 2

1 2

C. 0 ? m ? 2

D. m ? 2

?0 ? x ? 1 ? y 的最大值为 1 , 7、 已知实数 x ,y 满足 ?0 ? y ? 1 , 若 z ?x ? 则实数 b 的取值范围是 ( ?y ? x ?b ?
A. b ? 1 B. b ? 1 C. b ? ?1 D . b ? ?1



8、 (2014 湖州一模文科)已知 F1 、 F2 分别是双曲线 C1 :

x2 y 2 ? ? 1 ( a ? 0 , b ? 0 )的 a 2 b2

2 左、右焦点,且 F2 是抛物线 C 2 : y ? 2 px ( p ? 0 )的焦点,双曲线 C1 与抛物线 C2 的一

个公共点是 ? .若线段 ?F2 的中垂线恰好经过焦点 F1 ,则双曲线 C1 的离心率是( A. 2 ? 3 B. 1 ? 2 C. 2 ? 2



D. 1 ? 3

二、填空题(本大题共 7 小题,第 9-12 题,每小题 6 分,第 13-15 题,每小题 4 分,共 36 分. )
2 ? ? x 1? x ? 3 , 9、 (原创)已知全集为 R , 集合 ? ? x x ? 2 x ? 0 , 则 ? ??

?

?

?

?



? ??

; CR A =



10、(原创)若函数 f ? x ? ? tan ? x ? ;f?

? ?

??

? ,则 f ? x ? 的最小正周期为 6?

?? ? ?? ?4?


. ;

11、已知某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为 表面积为

12、如图,在四棱锥 ? ? ?? CD 中, ?D ? 平面 ?? CD , ?? //CD ,

?D ? CD ,?D ? ?D ? DC ? 2?? ,则异面直线 ? C 与 ?? 所成角的
大小为 ;直线 ?? 与平面 ?DC 所成角的正弦值为
2 2



2 2 13、 已知两圆 C1 : ? x ? 1? ? y ? 1 与 C 2 : ? x ? 1? ? y ? 25 , 动圆 ? 与

这两个圆都内切,则动圆的圆心 ? 的轨迹方程为



14、在 ??? C 中, ? C ? 3 , C ? ? 4 , ?? ? 5 , ? 是边 ?? 上的动点(含 ? , ? 两个端

点) .若 C? ? ?C? ? ?C? ( ? , ? ? R ) ,则 ? C? ? ? C? 的取值范围是



2 2 15 、 设 a ? R , 集 合 S ? x 2ax ? x ? 0 , ? ? x 4ax ? 4a ?1 ? 2a ? x ? 1 ? 0 , 若

?

?

?

?

S

? ? R ( R 为实数集) ,则实数 a 的取值范围是



三、解答题:本大题共 5 小题,共 74 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 16、 (湖州市 2014-2015 学年度第一学期期末考试理科) (本小题满分 15 分) 在 ??? C 中 , 角 ? , ? , C 的 对 边 分 别 为 a , b , c , 且 b ? 3 . 已 知 向 量

? ? ? m ? ? cos2 ,sin ? ? , n ? 2 ? ?
5?

?

3, 2 ,且 m //n .

?

? ? ? 若 ? ? 12 ,求边 c 的值;

? ?? ? 求 ?C 边上高 h 的最大值.

17.( 2015 年温州市高三第一次适应性测试) (本题满分 15 分) 如图,在四面休 ABCD 中,已知∠ABD=∠CBD=60°,AB=BC=2, (Ⅰ) 求证:AC⊥BD; (Ⅱ)若平面 ABD⊥平面 CBD,且 BD= 5 ,

2

求二面角 C-AD-B 的余弦值。

18、 (2015 年温州市高三第一次适应性测试) (本题满分 15 分) 已知数列{an}的前 n 项和 Sn,且满足:

1 ? 2 ? 3 ? a1 ?1 a2 ?1 a3 ?1
(Ⅰ) 求 an; (Ⅱ) 求证: 1 ? 1 ?

?

n ? n ,n∈N*. an ?1

S1

S2

? 1 ?3 Sn 2

19.(2014 温州十校联合体) (本题满分 14 分)设函数 f ( x) ? x2 ? bx ? 3 ,对于给定的实 数 b , f ( x) 在区间 ?b ? 2, b ? 2? 上有最大值 M (b) 和最小值 m(b) ,记 g (b) ? M (b) ? m(b) . ⑴当 b ? 2 时,求 g (b) 的解析式; ⑵求 g (b) 的最小值.

20. (浙江省新阵地教育研究联盟 2015 届高三联考) (本题满分 15 分) 已知中心在原点的椭圆 ?1 和抛物线 ?2 有相同的焦点 (1, 0) ,

1 ,抛物线 ?2 的顶点为原点. 2 (Ⅰ) 求椭圆 ?1 和抛物线 ?2 的方程; (Ⅱ) 设点 P 为抛物线 ?2 准线上的任意一点,过点 P 作抛物 线 ?2 的两条切线 PA , PB , 其中 A , B 为切点.
椭圆 ?1 的离心率为 (ⅰ )设直线 PA , PB 的斜率分别为 k1 , k2 ,求证: k1k 2 为定值; (ⅱ) 若直线 AB 交椭圆 ?1 于 C ,D 两点,S△PAB ,S△PCD

y

A C

P O D
(第 20 题图)

S 分别是△ PAB ,△ PCD 的面积,试问: △ PAB 是 S△ PCD
否有最小值?若有,求出最小值;若没有,请说明理 由.

B

x

图)

??????线?????????????

2015 年高考模拟试卷文科数学答卷
一、选择题(本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分) 题号 答案 1 2 3 4 5 6 7 8

座位号 号___________试场号

二、填空题(本大题共 7 小题,第 9 至 12 题每题 6 分,第 13 题至 15 题每题 4 分, 共 36 分)

9、 11、 12、

10、

13、 14、 三、解答题(74 分) 16.(本小题满分 15 分)

15、

17、 (满分 15 分)

18、 (满分 15 分)

19、 (满分 14 分)

20、 (满分 15 分)

数学试题(文科)参考答案及评分标准 一、 选择题(本大题共有 8 小题,每小题 5 分,共 40 分) 题号 答案 1 C 2 B 3 C 4 C 5 D 6 B 7 D 8 B

二、填空题(本大题共 7 小题,第 9—12 题,每题 6 分,第 13—15 题每题 4 分,共 36 分.) 9、 (2,3) ,

(??, 0) (1, ??) ,

[0, 2]

10、 ? ,

2? 3
2 3

11、

3? , 6

3? ? 3 2
14、 ?

12、

?
4

,

13、

x2 y 2 ? ?1 4 3

?12 ? ,4 ?5 ? ?

15、 ? 0,1?

三、解答题 16.(本题满分 15 分) 解:(Ⅰ )方法一:由 m // n ,得 2 cos 2

B ? 3 sin B ,--------------------------------2 分 2

即 1 ? cos B ? 3 sin B ,得 sin( B ?

?

6 5? ? ? ? 又 0 ? B ? ? ,所以 ? ? B ? ? ,故 B ? ? ,即 B ? .--------------6 分 6 6 6 6 6 3 5? ? 结合 A ? ,得 C ? 12 4 b c 由正弦定理 得, c ? 6 .----------------------------------------------------8 分 ? sin B sin C B 方法二: 由 m // n ,得 2 cos 2 ? 3 sin B ,----------------------------------------------2 分 2 B B B B B B 则 2 cos 2 ? 3 ? 2sin cos ,又 cos ? 0 ,故 cos ? 3 sin , 2 2 2 2 2 2

)?

?

?

1 ,-----------------------------------------------4 分 2

即 tan

B 3 ,--------------------------------------------------------------------------------------4 分 ? 2 3
B ? B ? ? ? ,故 ? ,即 B ? .--------------------------------6 分 2 2 2 6 3

又 0 ? B ? ? ,所以 0 ? 结合 A ?

5? ? ,得 C ? . 12 4 b c 由正弦定理 得, c ? 6 .-------------------------------------------------------8 分 ? sin B sin C
(Ⅱ ) 设 AC 边上的高为 h ,则 S ?ABC ?

1 3 1 3 bh ? h ? ac sin B ? ac ,----------10 分 2 2 2 4
-----------------14

即h ?

1 2 3

ac , b 2 ? a 2 ? c 2 ? 2ac cos B ? a 2 ? c 2 ? ac ? ac ,

(等号成立当且仅当 a ? c ) 所以 ac ? 9 ,因此 h ?

1 2 3

ac ?

3 3 , 2

所以 AC 边上的高 h 的最大值为 h ?

3 3 . 2

-----------------------------------------------15 分

?ABD ? ?CBD ,AB ? BC ,BD ? BD . 17. (本小题满分 15 分) (I) 证明 (方法一) : ∵ ?ABD ? ?CBD . ∴ AD ? CD .………………………2 分 ∴ 取 AC 的中点 E ,连结 BE, DE ,则 BE ? AC , DE ? AC . ………………………………………………………………3 分 BE ? DE ? E , ……………………………………4 分 又∵ BE ? 平面 BED , BD ? 平面 BED , AC ? 平面 BED , ……………………………………5 分 ∴ AC ? BD ………………………………………………6 分 ∴ BD 于点 H .连接 AH .…1 分 (方法二) :过 C 作 CH ⊥ ?ABD ? ?CBD , AB ? BC , BD ? BD . ∵ BD .…………………3 分 ?ABD ? ?CBD .∴ AH ⊥ ∴

AH ? CH ? H ,……………………………………4 分 又∵ AH ? 平面 ACH , CH ? 平面 ACH , BD ⊥ ∴ 平面 ACH .……………………………………5 分 AC ? 平面 ACH , 又∵ AC ? BD .……………………………………………6 分 ∴
(方法三) : AC ? BD ? ( BC ? BA) ? BD ………………2 分

? BC ? BD ? BA ? BD

………………………………3 分

? BC ? BD cos?CBD ? BA ? BD cos?ABD ………4 分
? 2 BD cos 60? ? 2 BD cos 60? ? 0 ,……………………5 分 AC ? BD .……………………………………………6 分 ∴ BD 于点 H .则 CH ? 平面 BCD , (II)解(方法一) :过 C 作 CH ⊥ ABD ABD BCD ? 平面 BCD =BD , 又∵ 平面 ⊥ 平面 ,平面 CH ⊥ ∴ 平面 ABD . ……………………………………8 分 AD 于点 K ,连接 CK . ………………9 分 过 H 做 HK ⊥ AD ,又 HK ? CH ? H , CH ⊥ CH ⊥ ∵ 平面 ABD ,∴ AD ⊥ AD .…………………10 分 CK ⊥ ∴ 平面 CHK ,∴ ? CKH C ? AD ? B 的平面角. …………11 分 ∴ 为二面角 BD . ?ABD ? ?CBD ,∴ AH ⊥ 连接 AH .∵ ? ?ABD ? ?CBD ? 60 , AB ? BC ? 2 , ∵

5 3 DH ? . ………12 分 ,∴ 2 2 21 AH ? DH 3 7 ∴ ∴ .…………………………13 分 AD ? HK ? ? 2 AD 7 CH 21 ∴ ,…………………………………………14 分 tan?CKH ? ? HK 3 30 cos ?CKH ? ∴ . 10 30 ∴ 二面角 C ? AD ? B 的余弦值为 .………………………………15 分 10 BD 于点 H ,连接 CH (方法二) :由(I)过 A 作 AH ⊥ BD . ?ABD ? ?CBD ,∴ CH ⊥ ∵ AH ⊥ CH .…………………………7 分 ∵ 平面 ABD ⊥ 平面 BCD , ∴ 分别以 HC, HD, HA 为 x, y , z 轴建立空间直角坐标系.………………8 分
∴ AH ? CH ?

BD ? 3 , BH ? 1.∵

?ABD ? ?CBD ? 60? , AB ? BC ? 2 , ∵

3 , BH ? 1. 5 3 BD ? ,∴ DH ? .………………………………9 分 ∵ 2 2 3 ? A(0, 0, 3), C ( 3, 0, 0), B(0, ?1, 0), D(0, , 0) .…10 分 2 3 可得 AC ? ( 3,0,? 3) , CD ? ( ? 3 , ,0) .………11 分 2 设平面 ACD 的法向量为 n ? ( x, y, z) ,

∴ AH ? CH ?

则?

? n ? AC ? 3 x ? 3 z ? 0 ? ,取 y ? 2 , 3 n ? CD ? ? 3 x ? y ? 0 ? 2 ?

得一个 n ? ( 3,2, 3) .……………………………………………………12 分 取平面 ABD 的法向量为 m ? (1,0,0) .……………………………………13 分

cos n, m ?

n?m | n || m |

?

3 10

?

30 .……………………………………14 分 10

∴ 二面角 C ? AD ? B 的余弦值为 18. (本题满分 15 分)

30 .…………………………………15 分 10
P

1 ? 1,即a1 ? 2 (I)解:当 n ? 1 时, a1 ? 1

……………1 分

F D

Q C E

1 2 n ? ?L ? ? n ……………① a1 ? 1 a2 ? 1 an ? 1

当 n ? 2 时, 1 2 n ?1 ? ?L ? ? n ?1 a1 ? 1 a2 ? 1 an ?1 ? 1 ② ……………3 分 n 由① ? ②得 ? 1 ,即 an ? n ? 1 (n ? 2) an ? 1

……………

A

B

……………5 分

……………………………………6 分 ? an ? n ? 1 (n ? N * ) (忘了求 a1 ? 2 扣 1 分,猜想 a n 而没证明扣 3 分) (II) (方法一)证明: Q an ? an?1 ? 1 ,所以数列 ?an ? 是等差数列。……7 分 (a ? a )n (n ? 3)n ……………8 分 ? Sn ? 1 n ? 2 2 1 2 2 1 1 ……………10 分 ? ? ( ? ) Sn n(n ? 3) 3 n n ? 3
? 1 1 1 1 ? ? ??? ? ? S1 S 2 S n ?1 S n

2 1 1 1 ? [( ? ? ) (? 3 1 4 2

1 1 1 1 ?) ? ( ? ??? ) ? ?( 5 3 6 n n?

1 )] 3

……………12 分 ……………13 分 ……………15 分 ………7 分 ……………8 分 ……………10 分 ……………11 分

2 1 1 1 1 1 ? [(1 ? ? ) ? ( ? ? )] 3 2 3 n ?1 n ? 2 n ? 3 2 1 1 11 3 ? (1 ? ? ) ? ? 3 2 3 9 2

(方法二)证明: Q an ? an?1 ? 1 ,所以数列 ?an ? 是等差数列。 (a ? a )n (n ? 3)n ? Sn ? 1 n ? 2 2 1 2 2 1 1 ? ? ? 2( ? ) (n ? 2) Sn n(n ? 3) n(n ? 1) n n ?1 当 n ? 1 时, 当 n ? 2 时,

1 1 3 ? ? 成立 S1 2 2

?
?

1 1 1 1 ? ? ??? ? ? S1 S 2 S n ?1 S n
1 1 1 1 1 1 1 ?2 [ ( ? ) ? ( ? ) ? ? ? ? ( ? ? )] a1 2 3 4 5 n n ? 1

……………12 分 ……………14 分 ……………15 分 ………7 分 ……………8 分 ……………10 分

?
?

1 1 1 ? 2( ? ) 2 2 n ?1
3 2

(方法三)证明: Q an ? an?1 ? 1 ,所以数列 ?an ? 是等差数列。 (a ? a )n (n ? 3)n ? Sn ? 1 n ? 2 2 1 2 2 1 1 ? ? ? ? Sn n(n ? 3) n(n ? 2) n n ? 2
? 1 1 1 1 ? ? ??? ? ? S1 S 2 S n ?1 S n

1 1 1 1 1 1 1 1 12 分 ? ( ? ) ? ( ? ) ? ? ? ? (? ? ) (? ? …………… ) 1 3 2 4 n ? 1 n ? 1 n n? 2 1 1 1 1 1 1 1 1 ? ( ? ? ? ??? ? ) ? ( ? ? ??? ? ? ) 1 2 3 n 3 4 n ?1 n ? 2 1 1 1 1 ?( ? )?( ? ) 1 2 n ?1 n ? 2
? 3 2

…………13 分 ……………14 分 ……………15 分

19、 (本题满分 14 分)

b 解: (1)当 b ? 2 时, ? ? b ? 2 , f ( x) 在区间 ?b ? 2, b ? 2? 上递增, 2
此时 M (b) ? f (b ? 2) ? 2b2 ? 6b ? 1 , m(b) ? f (b ? 2) ? 2b2 ? 6b ? 1 . g (b) ? 12b ???4 分
b? b2 b ? (2) f ( x) ? ? x ? ? ? 3 ? ,抛物线开口向上,其对称轴方程为 x ? ? ,下面就对称轴与 2? 4 2 ? 区间 ?b ? 2, b ? 2? 端点的相对位置分段讨论:
2

①当 0 ? b ?

b 4 b ? b? 时, b ? 2 ? ? ? b ? 2 且 (b ? 2) ? ? ? ? ? ? ? (b ? 2) , 2 3 2 ? 2?

9 b2 . g (b) ? b2 ? 6b ? 4 . 4 4 b 4 b ? b? ②当 ? ? b ? 0 时, b ? 2 ? ? ? b ? 2 且 (b ? 2) ? ? ? ? ? ? ? (b ? 2) , 2 2 3 2 ? ?
此时 M (b) ? f (b ? 2) ? 2b2 ? 6b ? 1 , m(b) ? ?3 ? 此时 M (b) ? f (b ? 2) ? 2b2 ? 6b ? 1 , m(b) ? ?3 ? ③当 b ?

9 b2 . g (b) ? b2 ? 6b ? 4 .?6 分 4 4

4 b 时, ? ? b ? 2 , f ( x) 在区间 ?b ? 2, b ? 2? 上递增, 3 2

此时 M (b) ? f (b ? 2) ? 2b2 ? 6b ? 1 , m(b) ? f (b ? 2) ? 2b2 ? 6b ? 1 . g (b) ? 12b .

4 b ④当 b ? ? 时, ? ? b ? 2 , f ( x) 在区间 ?b ? 2, b ? 2? 上递减, 3 2

此时 M (b) ? f (b ? 2) ? 2b2 ? 6b ? 1 , m(b) ? f (b ? 2) ? 2b2 ? 6b ? 1 . g (b) ? ?12b .?8 分 综
? ? ?1 b ? ? 9 b 2 ? 6b ? 4, ?4 g (b) ? ? ? 9 b 2 ? 6b ? 4, ?4 ? ? 12b, ? b?? ? 4 3


2


,



4 ? b ? 0; 3 ??????????????????9 分 4 0?b? ; 3 4 b? . 3

20.(本题满分 15 分)

(I)设椭圆 ?1 和抛物线 ?2 的方程分别为

x2 y 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0), y 2 ? 2 px ( p ? 0) 2 a b ?a ? 2, c 1 p p ? 2 , ???????????3 分 由题意得, ? , c ? 1, ? 1 ,即 ? a 2 2 ?c ? 1, x2 y 2 ? ? 1 ,抛物线 ?2 的方程为 y 2 ? 4x .??????5 分 所以椭圆 ?1 的方程为 4 3

2 (II) (ⅰ )设 P(?1, t ) ,过点 P 与抛物线 y ? 4 x 相切的直线方程为 y ? t ? k ( x ? 1) ,

由?

? y ? t ? k ( x ? 1), ? y ? 4 x,
2

消去 x 得 y ?
2

4 4t y? ?4?0, k k

由? ? 0得 8分

1 t ? ? 1 ? 0 ,即 k 2 ? tk ? 1 ? 0 ,则 k1k2 ? ?1.???????? 2 k k

(ⅱ) 法一: 设 A( x1 , y1 ) B( x1 , y2 ) , 由 (ⅰ ) 得 y1 ?

2 2 1 1 ,y2 ? , 则 x1 ? 2 ,x2 ? 2 , k1 k1 k2 k2 y ? y1 2 ( x ? x1 ) ,即 y ? ? ( x ? 1) , 直线 AB 的方程为 y ? y1 ? 2 x2 ? x1 k1 ? k2 即直线 AB 过定点 (1, 0) .?????????????????????10 分

法二:以 A 为切点的切线方程为 y ? y1 ?

y 2 2 ( x ? x1 ) ,即 y ? x ? 1 y1 y1 2 即 y1 y ? 2( x ? x1 ) ,同理以 B 为切点的切线方程为 y2 y ? 2( x ? x2 ) ,
因为两条切线均过点 P(?1, t ) ,所以 ?

则切点弦 AB 的方程为 ty ? 2( x ? 1) ,即直线 AB 过定点 (1, 0)

?ty1 ? 2(?1 ? x1 ), ?ty2 ? 2(?1 ? x2 ).

1 d ? AB AB S△ PAB 2 设 P 到直线 AB 的距离为 d , . ? ? 1 S△ PCD CD d CD 2 ①当直线 AB 的斜率存在时,设直线 AB 的方程为 y ? k ( x ? 1) , 设 A( x1 , y1 ) , B( x2 , y2 ) , C ( x3 , y3 ) , D( x4 , y4 ) ,
由?

? y 2 ? 4 x, 消去 y 得 k 2 x2 ? (2k 2 ? 4) x ? k 2 ? 0 ,k ? 0 时 ? ? 0 恒成立. ? y ? k ( x ? 1),

AB ?

?1 ? k ? ? x
2

2

? x1 ?

2

16 ? 16k 2 4 ?1 ? k ? ?1 ? k ? ? k4 k2
2

2

?.

? x2 y 2 ? 1, ? ? 由? 4 消去 y 得 (3+4k 2 ) x2 ? 8k 2 x ? 4k 2 ?12 ? 0 , ? ? 0 恒成立. 3 ? y ? k ( x ? 1), ?
CD ?

?1 ? k ? ? x
2

3

? x4 ?

2

2 144 ? 144k 2 12 ?1 ? k ? ? ?1 ? k ? ? , ???12 分 (3 ? 4k 2 ) 2 3 ? 4k 2 2

所以

S△PAB 3 ? 4k 2 1 4 4 k2 = ? ? 2? ? . S△PCD 12 ?1 ? k 2 ? 3k 2 k 3 3
3 ? 4k 2

4 ?1 ? k 2 ?

②当直线 AB 的斜率不存在时,直线 AB 的方程为 x ? 1 , 此时, AB ? 4 , CD ? 3 , 所以,

S△PAB 4 ? S△PCD 3
.???????????????15 分

S△PAB 4 的最小值为 . 3 S△PCD


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