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2016年福建省泉州市高考数学二模试卷(文科)(解析版)


2016 年福建省泉州市高考数学二模试卷(文科)
一、选择题 1.已知集合 A={0,2},B={﹣2,0,a},若 A? B,则实数 a 的值为( ) A.2 B.1 C.0 D.﹣2 2.若复数 z 满足 z=(1+i) (1﹣2i) ,则复数 z 在复平面内对应的点位于( ) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 3.已知{an}是等差数列,a1

0=20,其前 10 项和 S10=110,则其公差 d 等于( ) A.﹣1 B.﹣2 C.1 D.2 4.执行如图的程序框图,若输入的 t∈[﹣3,2],则输出的 S 属于( )

A.[﹣3,9) B.[﹣3,9] C.[3,5] D. (3,5] 5.命题 p:若直线 l1:x+ay=1 与直线 l2:ax+y=0 平行,则 a≠﹣1;命题 q:? ω>0,使得 y=cosωx 的最小正周期小于 ,则下列命题为假命题的是( )

A.¬p B.q C.p∧q D.p∨q 6. 为了解户籍与性别对生育二胎选择倾向的影响, 某地从育龄人群中随机抽取了容量为 100 的调查样本.其中:城镇户籍与农村户籍各 50 人;男性 60 人,女性 40 人.绘制不同群体 中倾向选择生育二胎与倾向选择不生育二胎的人数比例图(如图所示) ,其中阴影部分表示 倾向选择生育二胎的对应比例,则下列叙述中错误的是( )

A.是否倾向选择生育二胎与户籍无关 B.是否倾向选择生育二胎与性别无关 C.倾向选择生育二胎的人员中,男性人数与女性人数相同
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D.倾向选择不生育二胎的人员中,农村户籍人数少于城镇户籍人数 7. 在平面直角坐标系 xOy 中, 双曲线中心在原点, 焦点在 x 轴上, 渐近线方程为 4x±3y=0, 则它的离心率为( A. B. C. ) D. )

8.已知函数 f(x)的图象如图所示,则 f(x)的解析式可能是(

A.y=xcosx B.y=cosx+ C.y=xsinx D.y=sinx+

+ + )等于( )

9.已知 sinα﹣cosα= A.﹣1 B.﹣

,α∈(0,π) ,则 cos(2α﹣ C.0 D.

10.某几何体的三视图如图所示,图中网格每个小正方形的边长都为 1,则该几何体的体积 等于( )

A.

π B.

π C.4π

D. π

11.已知椭圆 C1:

+

=1(a>b>0) ,其长轴长为 4 且离心率为

,在椭圆 C1 上任

取一点 P,过点 P 作圆 C2:x2+(y+3)2=2 的两条切线 PM,PN,切点分别为 M,N,则 ? 的最小值为( ) D.0 + ,若{an}为单调递减数列,则实数 t 的取值范围是

A.﹣2 B.﹣

C.﹣

12.已知数列{an}中,a1=t,an+1= ( ) A. (﹣∞,﹣2) B. (﹣2,0) 二、填空题

C. (0,2) D. (2,+∞)

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13.已知变量 x,y 满足

则 z=2x﹣3y 的最大值为



14.已知| |=| |=1,|

|=

,则向量 与 的夹角为



15.已知正三棱柱 ABC﹣A1B1C1 底面边长为 2 ,高为 3,圆 O 是等边三角形 ABC 的内 切圆,点 P 是圆 O 上任意一点,则三棱锥 P﹣A1B1C1 的外接球的表面积为 . 3 2 x 16.已知函数 f(x)=[x +(a﹣1)x ﹣ax+a]e ,若 x=0 是 f(x)的一个极大值点,则实数 a 的取值范围为 . 三、解答题 17.已知 a,b,c 分别是△ABC 的中角 A,B,C 的对边,acsinA+4sinC=4csinA. (1)求 a 的值; (2)圆 O 为△ABC 的外接圆(O 在△ABC 内部) ,△OBC 的面积为 ,b+c=4,判断△

ABC 的形状,并说明理由. 18.如如,在三棱锥 A﹣BCD 中,AB=AD,BC⊥CD,平面 ABD⊥平面 BCD,点 E,F 分 别是 BD,CD 的中点. (1)求证:CD⊥平面 AEF; (2)已知 AB=4,BC=2,CD=2 ,求三棱锥 B﹣AEF 的高.

19.为分析肥胖程度对总胆固醇与空腹血糖的影响,在肥胖人群中随机抽出 8 人,他们的肥 mmol/L) mmol/L) 胖指数 BMI 值、 总胆固醇 TC 指标 (单位: 、 空腹血糖 CLU 指标值 (单位: 如表所示. 1 2 3 4 5 6 7 8 人员编号 BMI 值 x 25 27 30 32 33 35 40 42 TC 指标值 y 5.3 5.4 5.5 5.6 5.7 6.5 6.9 7.1 CLU 指标值 6.7 7.2 7.3 8.0 8.1 8.6 9.0 9.1 z z 与 x 的相关系数, CLU 指标值与 BMI (1) 用变量 y 与 x, 分别说明 TC 指标值与 BMI 值、 值的相关程度; (2)求 y 与 x 的线性回归方程,已知 TC 指标值超过 5.2 为总胆固醇偏高,据此模型分析当 BMI 值达到多大时,需要注意监控总胆固醇偏高情况的出现(上述数据均要精确到 0.01) .

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参考公式:相关系数 r=

回归直线 y=

x+a,其中 b=

,a= ﹣b

参考数据:

=33,

=6,

=8,

≈244,

≈3.6,

≈5.4,

≈28.3,

≈35.4,

≈15.6, ≈1.9, ≈2.3. 20.已知定点 F(0,1) ,动点 M(a,﹣1) (a∈R) ,线段 FM 的中垂线 l 与直线 x=a 交于 点 P. (1)求动点 P 的轨迹 Г 的方程; (2)当△PFM 为正三角形时,过点 P 作直线 l 的垂线,交轨迹 Г 于 P,Q 两点,求证:点 F 在以线段 PQ 为直径的圆内. 21.已知函数 f(x)=ax2﹣2x﹣2lnx. (1)若 x=1 是函数 f(x)的极值点,求实数 a 的值; (2)若 F(x)=f( )+2lnx 存在两个极值点 x1,x2(x1≠x2) ,证明:|F(x1)+F(x2) |≥ .

[选修 4-1:几何证明选讲] 22.如图,圆 O 是△ABC 的外接圆,AD 垂直平分 BC 并交圆 O 于 D 点,直线 CE 与圆 O 相切于点 C,与 AB 的延长线交于点 E,BC=BE. (1)求∠DCE 的大小; (2)若 AE=1,求 AB 的长.

[选修 4-4:坐标系与参数方程选讲]

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23.平面直角坐标系 xOy 中,圆 M: (x﹣2)2+y2=1,曲线 C 的参数方程为

(α

为参数) .在以原点为极点,x 轴正半轴为极轴的极坐标系中,直线 l 的极坐标方程为 θ= (ρ∈R) . (1)求圆 M 的极坐标方程及曲线 C 的普通方程; (2)设 l 与圆 M 相切于点 A,且在第三象限内与 C 交于点 N,求△AMN 的面积. [选修 4-5:不等式选讲] 24.已知函数 f(x)=|x+1|+|x﹣a|,同时满足 f(﹣2)≤4 和 f(2)≤4. (1)求实数 a 的值; (2)记函数 f(x)的最小值为 M,若 + =M(m,n∈R*) ,求 m+2n 的最小值.

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2016 年福建省泉州市高考数学二模试卷(文科)
参考答案与试题解析

一、选择题 1.已知集合 A={0,2},B={﹣2,0,a},若 A? B,则实数 a 的值为( A.2 B.1 C.0 D.﹣2 【考点】集合的包含关系判断及应用. 【分析】由题意知 2∈{﹣2,0,a},从而解得. 【解答】解:∵A? B, ∴2∈{﹣2,0,a}, ∴a=2, 故选:A. 2.若复数 z 满足 z=(1+i) (1﹣2i) ,则复数 z 在复平面内对应的点位于( A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限





【考点】复数代数形式的乘除运算. 【分析】直接由复数代数形式的乘法运算化简复数 z,求出复数 z 在复平面内对应的点的坐 标,则答案可求. 【解答】解:由 z=(1+i) (1﹣2i)=1﹣2i+i﹣2i2=3﹣i, 则复数 z 在复平面内对应的点的坐标为: (3,﹣1) ,位于第四象限. 故选:D. 3.已知{an}是等差数列,a10=20,其前 10 项和 S10=110,则其公差 d 等于( A.﹣1 B.﹣2 C.1 D.2 【考点】等差数列的通项公式. 【分析】利用等差数列的通项公式及其前 n 项和公式即可得出. )

【解答】解:由题意可得:

,解得 d=2.

故选:D. 4.执行如图的程序框图,若输入的 t∈[﹣3,2],则输出的 S 属于( )

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A.[﹣3,9)

B.[﹣3,9] C.[3,5]

D. (3,5]

【考点】程序框图. 【分析】该程序的作用是计算一个分段函数的函数值,由条件为 t>1 我们可得分段函数的 分类标准,由分支结构中是否两条分支上对应的语句行,我们易得函数的解析式,从而确定 S 的区间. 【解答】解:模拟执行程序,可得程序框图的功能是计算并输出 S= 由题意可得:当 t∈(1,2]时,S=3t∈(3,9]; 当 t∈[﹣3,1]时,S=2t+3∈[﹣3,5]; 则输出的 s 属于[﹣3,9]. 故选:B. 5.命题 p:若直线 l1:x+ay=1 与直线 l2:ax+y=0 平行,则 a≠﹣1;命题 q:? ω>0,使得 y=cosωx 的最小正周期小于 A.¬p B.q ,则下列命题为假命题的是( ) 的值,

C.p∧q D.p∨q

【考点】复合命题的真假. 【分析】命题 p:对 a 分类讨论,利用两条直线相互平行的充要条件即可判断出真假.命题 q:ω>0 时,若 T= ,只要 ω>4 即可,即可判断出真假.再利用复合命题真假的

判定方法即可得出. 【解答】解:命题 p:a=0 时,两条直线分别化为:x=1,y=0,此时两条直线不平行,舍去; a≠0 时,两条直线分别化为: x+ ,y=﹣ax, =﹣a, ≠0,解得 a=±1,因此命题 p

若直线 l1:x+ay=1 与直线 l2:ax+y=0 平行,则 是假命题. 命题 q:ω>0 时,若 T= 正周期小于 ,是真命题.

,只要 ω>4 即可,因此? ω>0,使得 y=cosωx 的最小

则下列命题为假命题的 p∧q. 故选:C. 6. 为了解户籍与性别对生育二胎选择倾向的影响, 某地从育龄人群中随机抽取了容量为 100 的调查样本.其中:城镇户籍与农村户籍各 50 人;男性 60 人,女性 40 人.绘制不同群体 中倾向选择生育二胎与倾向选择不生育二胎的人数比例图(如图所示) ,其中阴影部分表示 倾向选择生育二胎的对应比例,则下列叙述中错误的是( )

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A.是否倾向选择生育二胎与户籍无关 B.是否倾向选择生育二胎与性别无关 C.倾向选择生育二胎的人员中,男性人数与女性人数相同 D.倾向选择不生育二胎的人员中,农村户籍人数少于城镇户籍人数 【考点】独立性检验的应用. 【分析】由比例图,可得是否倾向选择生育二胎与户籍、性别有关,倾向选择不生育二胎的 人员中, 农村户籍人数少于城镇户籍人数, 倾向选择生育二胎的人员中的男性人数与女性人 数,即可得出结论. 【解答】解:由比例图,可得是否倾向选择生育二胎与户籍、性别有关, 倾向选择不生育二胎的人员中,农村户籍人数少于城镇户籍人数, 倾向选择生育二胎的人员中,男性人数为 0.6×60=36,女性人数 0.4×60=24,不相同. 故选:D 7. 在平面直角坐标系 xOy 中, 双曲线中心在原点, 焦点在 x 轴上, 渐近线方程为 4x±3y=0, 则它的离心率为( A. B. C. ) D.

【考点】双曲线的简单性质. 【分析】根据双曲线渐近线和离心率之间的关系建立方程进行求解即可. 【解答】解:∵焦点在 x 轴上,渐近线方程为 4x±3y=0, ∴y=± x,则 = ,∴ = 故选:A. 8.已知函数 f(x)的图象如图所示,则 f(x)的解析式可能是( ) = = = = ,

A.y=xcosx B.y=cosx+ C.y=xsinx D.y=sinx+

+ +
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【考点】函数的图象. 【分析】从图象的奇偶性,函数值的变换趋势来判断,结合选项来排除. 【解答】解:由图象可知函数为奇函数,而 y=xsinx,y=cosx+ 故排除 B,C, 对于 A,因为﹣1≤sinx≤1,当 x→+∞时,y→+∞或﹣∞,或 0, 对于 D,因为﹣1≤sinx,sin2x,sin3x≤1,﹣ ≤ y=sinx+ 则 A? (﹣ 故选:D. + , 的值域为 A ) , ≤ ,﹣ ≤ ≤ ,设 + 均为偶函数,

9.已知 sinα﹣cosα= A.﹣1 B.﹣

,α∈(0,π) ,则 cos(2α﹣ C.0 D.

)等于(



【考点】两角和与差的余弦函数. 【分析】利用辅助角公式求得 α= 【解答】解:sinα﹣cosα= 则 cos(2α﹣ 故选:B. 10.某几何体的三视图如图所示,图中网格每个小正方形的边长都为 1,则该几何体的体积 等于( ) )=cos( sin(α﹣ ﹣ ,再利用诱导公式,求得 cos(2α﹣ )= ,α∈(0,π) ,∴α= =﹣cos =﹣ , , )的值.

)=cos

A.

π B.

π C.4π

D. π

【考点】由三视图求面积、体积. 【分析】由三视图还原几何体为椎体组合体,然后求体积. 【解答】解:由已知三视图得到几何体是:底面等于半球面的半个圆锥和半个球组成,圆锥 高为 2,底面半径为 2,

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所以几何体的条件为 故选:B

=



11.已知椭圆 C1:

+

=1(a>b>0) ,其长轴长为 4 且离心率为

,在椭圆 C1 上任

取一点 P,过点 P 作圆 C2:x2+(y+3)2=2 的两条切线 PM,PN,切点分别为 M,N,则 ? 的最小值为( ) D.0

A.﹣2 B.﹣

C.﹣

【考点】椭圆的简单性质. 【分析】由椭圆 C1 的长轴长为 4 且离心率为 b,可得椭圆 C1 的标准方程为: ∠PC2N=θ,可得 点 C2(0,﹣3) , ? 的最小值. ,可得 2a=4, ,a2=b2+c2,解得 a,

+y2=1.不妨设∠MC2N=2θ,由对称性可得:∠PC2M= ﹣2,再设点 P(x,y) ,可得 x2=4﹣4y2,

?

=4cos2θ﹣2=

=﹣3(y﹣1)2+16,可得

的最大值为 16.即可得出

【解答】解:由椭圆 C1: ∴2a=4,

+

=1(a>b>0) ,其长轴长为 4 且离心率为



,a2=b2+c2,解得 a=2,b=1, +y2=1.

∴椭圆 C1 的标准方程为:

不妨设∠MC2N=2θ,由对称性可得:∠PC2M=∠PC2N=θ, 则 ? = |C2N|cos∠MC2N= ﹣2= ﹣2, =2(2cos2θ﹣1)

=4cos2θ﹣2=

再设点 P(x,y) ,则

=1,可得 x2=4﹣4y2,点 C2(0,﹣3) ,

=x2+(y+3)2=4﹣4y2+y2+6y+9=﹣3(y﹣1)2+16, ∵﹣1≤y≤1,∴当 y=1 时, 的最大值为 16.
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因此

?

的最小值为

﹣2=﹣ ,

故选:B.

12.已知数列{an}中,a1=t,an+1= ( ) A. (﹣∞,﹣2) B. (﹣2,0) 【考点】数列的函数特性. 【分析】 由 an+1= +

+

,若{an}为单调递减数列,则实数 t 的取值范围是

C. (0,2) D. (2,+∞)

, 作差 an+1﹣an=

<0, 解得 an>2 或﹣2<an<0,

对 t 分类讨论即可得出. 【解答】解:∵an+1= 或﹣2<an<0, (1)a1=t∈(﹣2,0)时,a2= <﹣2,归纳可得:an<﹣2(n≥2) . + ,∴an+1﹣an= ﹣ = <0,解得 an>2

∴a2﹣a1<0,但是 an+1﹣an>0(n≥2) ,不合题意,舍去. (2)a1=t>2 时,a2= 故选:D. 二、填空题 >2,归纳可得:an>2(n≥2) .∴an+1﹣an<0,符合题意.

13.已知变量 x,y 满足

则 z=2x﹣3y 的最大值为 15



【考点】简单线性规划.
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【分析】画出满足条件的平面区域,求出角点的坐标,平移直线 y= x,显然直线过 A(3, ﹣3)时,z 最大,代入求出 z 的最大值即可. 【解答】解:画出满足条件的平面区域,如图示:





,解得 A(3,﹣3) ,

由 z=2x﹣3y 得:y= x﹣ , 平移直线 y= x, 显然直线过 A(3,﹣3)时,z 最大, 故 z 的最大值是 z=6+9=15, 故答案为:15.

14.已知| |=| |=1,|

|=

,则向量 与 的夹角为



【考点】数量积表示两个向量的夹角. 【分析】把| |= 两边平方,代入数据可得 cosθ 的方程,解方程可得.

【解答】解:设向量 与 的夹角为 θ,θ∈[0,π], ∵| |=| |=1,| ∴| |= ,

|2=| |2+| |2﹣2| || |cosθ=3,

代入数据可得 1+1﹣2×1×1×cosθ=3, 解得 cosθ= ,∴θ= 故答案为: .

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15.已知正三棱柱 ABC﹣A1B1C1 底面边长为 2 ,高为 3,圆 O 是等边三角形 ABC 的内 切圆,点 P 是圆 O 上任意一点,则三棱锥 P﹣A1B1C1 的外接球的表面积为 25π . 【考点】球的体积和表面积. 【分析】求出边三角形 ABC 的内切圆的半径,可得三棱锥 P﹣A1B1C1 的外接球的半径,即 可求出三棱锥 P﹣A1B1C1 的外接球的表面积. 【解答】解:∵正三棱柱 ABC﹣A1B1C1 底面边长为 2 , ∴等边三角形 ABC 的内切圆的半径为 ∵高为 3,点 P 是圆 O 上任意一点, ∴三棱锥 P﹣A1B1C1 的外接球的半径为 = , =25π. =2,

∴三棱锥 P﹣A1B1C1 的外接球的表面积为 4π× 故答案为:25π.

16.已知函数 f(x)=[x3+(a﹣1)x2﹣ax+a]ex,若 x=0 是 f(x)的一个极大值点,则实数 a 的取值范围为 (2,+∞) . 【考点】利用导数研究函数的极值. 【分析】求导数得到 f′(x)=﹣x[x2+(2+a)x+a﹣2]ex,容易判断方程 x2+(2+a)x+a﹣2=0 有两个不同实数根,并设 g(x)=x2+(2+a)x+a﹣2,根据题意便可得到 g(0)>0,从而 便可得出实数 a 的取值范围. 【解答】解:解:f′(x)=﹣x[x2+(2+a)x+a﹣2]ex; 令 x2+(2+a)x+a﹣2=0,则△=a2+12>0; 设 g(x)=x2+(2+a)x+a﹣2,∵x=0 是 f(x)的一个极大值点; ∴g(0)>0; 即 a﹣2>0; ∴a>2; ∴实数 a 的取值范围为(2,+∞) . 故答案为: (2,+∞) . 三、解答题 17.已知 a,b,c 分别是△ABC 的中角 A,B,C 的对边,acsinA+4sinC=4csinA. (1)求 a 的值; (2)圆 O 为△ABC 的外接圆(O 在△ABC 内部) ,△OBC 的面积为 ABC 的形状,并说明理由. 【考点】余弦定理;正弦定理. 【分析】 (1)由条件利用正弦定理求得 a 的值. (2) 设 BC 的中点为 D, 根据△OBC 的面积为 ?BC?OD= , 求得 OD 的值, 可得∠A=60°, ,b+c=4,判断△

再利用余弦定理求得 b=c=2,从而判断△ABC 为等边三角形. 【解答】解: (1)△ABC 的中,∵acsinA+4sinC=4csinA,∴a2c+4c=4ac,∴a=2. (2)∵圆 O 为△ABC 的外接圆(O 在△ABC 内部) ,设 BC 的中点为 D,

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∵△OBC 的面积为 ?BC?OD= ?a?OD= ?2?OD= 即△ABC 的外接圆的半径 r=

,∴OD=



,∴∠BOC=120°,∴∠A=60°.

∵b+c=4,由余弦定理可得 cosA= =

=

=



求得 bc=4,故 b=c=2,故此时,△ABC 为等边三角形. 18.如如,在三棱锥 A﹣BCD 中,AB=AD,BC⊥CD,平面 ABD⊥平面 BCD,点 E,F 分 别是 BD,CD 的中点. (1)求证:CD⊥平面 AEF; (2)已知 AB=4,BC=2,CD=2 ,求三棱锥 B﹣AEF 的高.

【考点】直线与平面垂直的判定;棱锥的结构特征. 【分析】 (1)通过证明 AE⊥平面 BCD,即可证明 AE⊥CD,由点 E,F 分别是 BD,CD 的 中点,可证 EF⊥CD,即可证明 CD⊥平面 AEF; (2) 由于 VB﹣AEF=VA﹣BEF= S△ BEF?AE, 分别求出 S△ BEF, 在 Rt△AEF 中, 求出 S△ AEF= AE?EF= , 设三棱锥 B﹣AEF 的高为 h, 由 VB﹣AEF= S△ BEF?h, 即可求得三棱锥 B﹣AEF

的高. 【解答】解: (1)∵AB=AD,点 E 为 BD 的中点, ∴AE⊥BD,…1 分 ∵平面 ABD⊥平面 BCD,平面 ABD∩平面 BCD=BD,AE? 平面 ABD, ∴AE⊥平面 BCD,…2 分 ∵CD? 平面 BCD, ∴AE⊥CD,…3 分 ∵点 E,F 分别是 BD,CD 的中点. ∴EF∥BC, ∵BC⊥CD, ∴EF⊥CD,…5 分 ∵EF∩AE=E,EF,AE? 平面 AEF, ∴CD⊥平面 AEF;…6 分 (2)由(1)可知 AE⊥平面 BCD, ∴线段 AE 的长就是点 A 到平面 BCD 的距离, 又∵EF? 平面 BCD,
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∴AE⊥EF, 在 Rt△BCD 中,BC=2,CD=2 ∴BD= =4,



∴AB=AD=BD=4,故△ABD 是边长为 4 的等边三角形, 又∵AE⊥BD,E 为 BD 的中点, ∴AE= =2 ,

又点 E,F 分别是 BD,CD 的中点. ∴EF∥BC,且 EF= BC=1, ∴S△ BEF= S△ BCD= × BC?CD= VB﹣AEF=VA﹣BEF= S△ BEF?AE=1, 在 Rt△AEF 中,S△ AEF= AE?EF= 设三棱锥 B﹣AEF 的高为 h, 则由 VB﹣AEF= S△ BEF?h,可得:h= 故三棱锥 B﹣AEF 的高为 …12 分 = = , , ,

19.为分析肥胖程度对总胆固醇与空腹血糖的影响,在肥胖人群中随机抽出 8 人,他们的肥 mmol/L) mmol/L) 胖指数 BMI 值、 总胆固醇 TC 指标 (单位: 、 空腹血糖 CLU 指标值 (单位: 如表所示. 1 2 3 4 5 6 7 8 人员编号 BMI 值 x 25 27 30 32 33 35 40 42 TC 指标值 y 5.3 5.4 5.5 5.6 5.7 6.5 6.9 7.1 CLU 指标值 6.7 7.2 7.3 8.0 8.1 8.6 9.0 9.1 z z 与 x 的相关系数, CLU 指标值与 BMI (1) 用变量 y 与 x, 分别说明 TC 指标值与 BMI 值、 值的相关程度; (2)求 y 与 x 的线性回归方程,已知 TC 指标值超过 5.2 为总胆固醇偏高,据此模型分析当 BMI 值达到多大时,需要注意监控总胆固醇偏高情况的出现(上述数据均要精确到 0.01) .

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参考公式:相关系数 r=

回归直线 y=

x+a,其中 b=

,a= ﹣b

参考数据:

=33,

=6,

=8,

≈244,

≈3.6,

≈5.4,

≈28.3,

≈35.4,

≈15.6, ≈1.9, ≈2.3. 【考点】相关系数;线性回归方程. 【分析】 (1) 根据公式计算变量 y 与 x 的相关系数、 变量 z 与 x 的相关系数, 即可判定结论; 2 y x ( )求出变量 与 的线性回归方程,利用回归方程求不等式的解集,即得结论. 【解答】解: (1)变量 y 与 x 的相关系数是 r= 变量 z 与 x 的相关系数是 r′= =0.99, =0.95,

可以看出 TC 指标值与 BMI 值、CLU 指标值与 BMI 值都是高度正相关; (2)设 y 与 x 的线性回归方程是 根据所给的数据,计算 所以 y 与 x 的回归方程是 = = x+ , =6﹣0.12×33=2.04;

=0.12, =0.12x+2.04,

由 0.12x+2.04≥5.2,可得 x≥26.33; 所以,据此模型分析当 BMI 值达到 26.33 时,需要注意监控总胆固醇偏高情况的出现. 20.已知定点 F(0,1) ,动点 M(a,﹣1) (a∈R) ,线段 FM 的中垂线 l 与直线 x=a 交于 点 P. (1)求动点 P 的轨迹 Г 的方程; (2)当△PFM 为正三角形时,过点 P 作直线 l 的垂线,交轨迹 Г 于 P,Q 两点,求证:点 F 在以线段 PQ 为直径的圆内. 【考点】抛物线的简单性质. 【分析】 (1)根据|PF|=|PM|可知 P 的轨迹为以 F 为焦点,以 y=﹣1 为准线的抛物线; (2)求出 PQ 的方程,联立方程组消元,根据根与系数的关系和弦长公式计算|PQ|,PQ 的中点 N,|NF|,通过比较|NF|与 |PQ|的大小得出结论.
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【解答】解: (I)∵P 在 FM 的中垂线 l 上,∴|PF|=|PM|, ∵PM 与直线 y=﹣1 垂直,∴|PM|为 P 到直线 y=﹣1 的距离. ∴P 到点 F(0,1)的距离与 P 到直线 y=﹣1 的距离相等, ∴P 的轨迹为以(0,1)为焦点,以直线 y=﹣1 为准线的抛物线. ∴P 的轨迹方程为:x2=4y. (II)不妨设 a>0, ∵△PFM 为正三角形,∴直线 FM 的倾斜角为 150°,即 kFM=tan150°=﹣ ∴直线 FM 的方程为:y=﹣ 令 y=﹣1,得﹣ x+1, ,即 M(2 ,3) . ,0) . .

=﹣1,解得 x=2

把 x=2 代入 x2=4y 得 y=3.∴P(2 ∵l⊥FM,l⊥PQ, ∴FM∥PQ,∴kPQ=kFM=﹣ ∴直线 PQ 的方程为:y﹣3=﹣ .

(x﹣2

) ,即 x+

y﹣5

=0.

联立方程组

,消元得:

x2+4x﹣20

=0,

∴x1+x2=﹣ ∴|PQ|=

,x1x2=﹣20.y1+y2= = , = . ) .

=

=



.∴以 PQ 为直径的圆的半径 r=



设 PQ 的中点为 N,则 N(﹣ ∴|NF|= ∵ < ,

∴点 F 在以线段 PQ 为直径的圆内.

21.已知函数 f(x)=ax2﹣2x﹣2lnx.
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(1)若 x=1 是函数 f(x)的极值点,求实数 a 的值; (2)若 F(x)=f( )+2lnx 存在两个极值点 x1,x2(x1≠x2) ,证明:|F(x1)+F(x2) |≥ .

【考点】利用导数研究函数的极值;利用导数研究函数的单调性. 【分析】 (1)求导数 a=2; (2)先求出 ,求导数 ,并得出 ,这样即可得出 ,通过求导数,判断导 ,依题意可得到 ,根据极值点的定义便有 f′(x)=0,从而可求出

,可设 g(a)= 数符号即可得出 g(a)在

上单调递增,从而得出 g(a)<0.这样便可得出不等式

等价于

,并设 h(a)

=2alna+1+2a,通过导数便可求出 g(a)在

上的最小值,从而证出

成立,从而得出要证明的结论成立.

【解答】解: (1) x=1 是 f(x)的极值点; ∴f′(1)=2a﹣2﹣2=0; ∴a=2; (2)证明: ∴ 根; ∴ ,且



=

; ,根据题意,x1,x2 是方程 F′(x)=0 的两个不同实数



∴F(x1)+F(x2)=a(x1+x2)+ln(x1x2) = = ;

记 g(a)=


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∴g′(a)>0; ∴g(a)在(0, )上单调递增, ;

∴欲证

等价于证



即证



记 h(a)=2alna+1+2a,h′(a)=2(2+lna)=0,可得 ∴ 时,h′(a)<0,



时,h′(a)>0;



时,h(a)取最小值









成立;



成立.

[选修 4-1:几何证明选讲] 22.如图,圆 O 是△ABC 的外接圆,AD 垂直平分 BC 并交圆 O 于 D 点,直线 CE 与圆 O 相切于点 C,与 AB 的延长线交于点 E,BC=BE. (1)求∠DCE 的大小; (2)若 AE=1,求 AB 的长.

【考点】与圆有关的比例线段. 【分析】 (1)设∠DCE=θ,运用圆的弦切角定理和垂直平分线定理,即可得到∠DCE 的大 小; (2)运用圆的切割线定理,结合等腰三角形的性质,可得 AB 的方程,解方程可得所求值. 【解答】解: (1)设∠DCE=θ,
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因为 CE 为圆的切线, 所以∠CAD=∠DCE=θ,∠ECB=∠CAB. 由 AD 垂直平分 BC 并交圆于点 D, 可得∠CAD=∠BAD=θ,∠ECB=∠CAB=2θ, 因为 BC=BE,所以∠ECB=∠BEC=2θ, 则∠ACB=∠ABC=4θ. 由 2θ+4θ+4θ=π,得 θ= 即∠DCE 的大小为 . ,

(2)因为 CE 为圆的切线,所以 CE2=BE?AE, 由(1)知∠ACB=∠ABC,可得 AB=AC, ∠ECB=∠CAB,∠ECB=∠BEC, 可得 AC=CE. 所以 AB2=(AE﹣AB)AE, 由 AE=1,可得: AB2+AB﹣1=0, 解得 AB= .

[选修 4-4:坐标系与参数方程选讲] 23.平面直角坐标系 xOy 中,圆 M: (x﹣2)2+y2=1,曲线 C 的参数方程为 (α

为参数) .在以原点为极点,x 轴正半轴为极轴的极坐标系中,直线 l 的极坐标方程为 θ= (ρ∈R) . (1)求圆 M 的极坐标方程及曲线 C 的普通方程; (2)设 l 与圆 M 相切于点 A,且在第三象限内与 C 交于点 N,求△AMN 的面积. 【考点】简单曲线的极坐标方程;参数方程化成普通方程. 【分析】 (1) 利用 可得曲线 C 的普通方程. (2)直线 l 的极坐标方程为 θ= (ρ∈R) ,化为直角坐标方程:y= x.分别与圆的方程、 及其 ρ2=x2+y2 即可得到⊙M 的极坐标方程. 利用 sin2α+cos2α=1

椭圆的方程联立可得点 A,N 的坐标,利用两点之间的距离可得|AN|,再利用点到直线的 距离公式可得:点 M(2,0)到直线 l 的距离 d,利用 S△ AMN= |AN|d 即可得出. 【解答】解: (1)圆 M: (x﹣2)2+y2=1,展开为:x2+y2﹣4x+3=0,化为极坐标方程:ρ2﹣ 4ρcosθ+3=0. 曲线 C 的参数方程为 (2)直线 l 的极坐标方程为 θ= (α 为参数) ,利用 sin2α+cos2α=1 可得: (ρ∈R) ,化为直角坐标方程:y= x. =1.

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联立

,解得 A



联立

,解得 N



∴|AN|=

=



点 M(2,0)到直线 l 的距离 d=

=1.

∴S△ AMN= |AN|d=

=



[选修 4-5:不等式选讲] 24.已知函数 f(x)=|x+1|+|x﹣a|,同时满足 f(﹣2)≤4 和 f(2)≤4. (1)求实数 a 的值; (2)记函数 f(x)的最小值为 M,若 + =M(m,n∈R*) ,求 m+2n 的最小值. 【考点】绝对值三角不等式;绝对值不等式的解法. 【分析】 (1)分别利用 f(﹣2)≤4 和 f(2)≤4 求解绝对值的不等式得到 a 的范围,取交 集得答案; (2)利用绝对值的不等式求得 f(x)的最小值为 M,得到 + =2,再由基本不等式求得 m+2n 的最小值. 【解答】解: (1)由 f(2)=3+|a﹣2|≤4,得|a﹣2|≤1,即 1≤a≤3. f 2 =1 由 (﹣ ) +|a+2|≤4,得|a+2|≤3,即﹣5≤a≤1. ∵f(﹣2)≤4 和 f(2)≤4 同时成立, ∴a=1; (2)∵f(x)=|x+1|+|x﹣a|=|x+1|+|x﹣1|≥|(x+1)﹣(x﹣1)|=2, 当且仅当(x+1) (x﹣1)≤0,即﹣1≤x≤1 时取等号,∴M=2. 即 + =2(m,n∈R*) , ∴m+2n= 当且仅当 且 ,即 m=n= 时取等号. .

∴m+2n 的最小值为 .

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2016 年 8 月 22 日

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