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2011年上海市新知杯初中数学竞赛试题及答案


2011 年(新知杯)上海市初中数学竞赛试卷 新知杯)
一 (1~8) ) (2011 年 12 月 4 日 上午 9:00~11:00) ) 二 9 10 11 12

题号 得分 评卷 复核

总分

解答本试卷可以使用科学计算器
填空题( 一、 填空题(每题 10 分,共 80 分) 1. 已知关于 x 的两个方程 : x ? x + 3m = 0LL ① , x + x + m = 0LL ② , 其中
2 2

m ≠0。 若方程①中有一个根是方程② 的值是___________ ___________。 若方程①中有一个根是方程②的某个根的 3 倍, 则实数 m 的值是___________。
2. 已知梯形 ABCD 中, AB // CD , ∠ABC = 90° , BD ⊥ AD , BC = 5 , BD = 13 , 的面积为_______________。 则梯形 ABCD 的面积为 。 3. 从编号分别为 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 的 6 张卡片中任意抽取 3 张,则抽出卡片的编号 的概率为______________。 都大于等于 2 的概率为 。 4. 将 8 个数 ? 7 , ? 5 , ? 3 , ? 2 , 2 , 4 , 6 ,13 排列为 a , b , c , d , e , f , g ,

h ,使得 (a + b + c + d ) + (e + f + g + h) 的值最小,则这个最小值为 的值最小,则这个最小值为____________。 。
2 2

5.

上的点, 已知正方形 ABCD 的边长为 4 , E , F 分别是边 AB , BC 上的点,使得 AE = 3 ,

BF = 2 ,线段 AF 与 DE 相交于点 G ,则四边形 DGFC 的面积为 的面积为_____________。 。
6. 内一点, 在等腰直角三角形 ABC 中, ∠ACB = 90° , P 是 ?ABC 内一点,使得 PA = 11 ,

PB = 7 , PC = 6 ,则边 AC 的长为 的长为______________。 。
7. 名象棋选手进行单循环赛(即每两名选手比赛一场) ,规定获胜得 有 10 名象棋选手进行单循环赛(即每两名选手比赛一场) 规定获胜得 2 分,平局得 1 , 比赛结束后,发现每名选手的得分各不相同, 分,负得 0 分。比赛结束后,发现每名选手的得分各不相同,且第 2 名的得分是最后五 名选手的得分和的 8.

4 ,则第 2 名选手的得分是_________。 名选手的得分是 。 5

有相同的情况) 已知 a ,b ,c ,d 都是质数 质数即素数, (质数即素数, 允许 a ,b ,c ,d 有相同的情况) 且 abcd , 个连续正整数的和, 的最小值为_________。 是 35 个连续正整数的和,则 a + b + c + d 的最小值为 。

1

二、 解答题(第 9 , 10 题,每题 15 分,第 11 , 12 题,每题 20 分,共 70 分) 解答题( 9. 如图,矩形 ABCD 的对角线交点为 O ,已知 ∠DAC = 60° ,角 DAC 的平分线与边 如图, DC 交于点 S ,直线 OS 与 AD 相交于点 L ,直线 BL 与 AC 相交于点 M。求证: 。求证: SM // LC 。 解
L

D

S M O

C

A

B

10. 对 于 正 整 数 n , 记 n! = 1 × 2 × L × n 。 求 所 有 的 正 整 数 组 (a , b, c , d , e , f ) , 使 得

a! = b!+ c!+ d !+ e!+ f ! ,且 a > b ≥ c ≥ d ≥ e ≥ f 。


2

11. (1)证明:存在整数 x , y ,满足 x + 4 xy + y = 2022 ; )证明:
2 2 2 2 证明你的结论。 (2)问:是否存在整数 x , y ,满足 x + 4 xy + y = 2011 ? 证明你的结论。 )



3

12. 对每一个大于 1 的整数 n ,设它的所有不同的质因数为 p1 , p2 , ... , pk ,对于每个

pi (1 ≤ i ≤ k ) ,存在正整数 a i ,使得 p iai ≤ n < pi
记 p(n ) = p1
a1

a i +1



+ p2

a2

例如, + L + pk k 例如, p(100 ) = 2 6 + 5 2 = 89 。
a

(1)试找出一个正整数 n ,使得 p(n ) > n ; ) (2)证明:存在无穷多个正整数 n ,使得 p(n ) > 1.1n 。 )证明: 解

4

5

6

7

8

9

10



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