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2016届高考数学复习 第七章 第三节 简单的线性规划 理(全国通用)


第三节

简单的线性规划

A 组 专项基础测试 三年模拟精选 一、选择题 2x+y-2≥0, ? ? 1.(2015·江南十校模拟)已知点 A(-2,0),点 M(x,y)为平面区域?x-2y+4≥0,上的 ? ?3x-y-3≤0 一个动点,则|AM|的最小值是( A.5 B.3 ) C.2 2 D. 6 5 5

2

x+y-2≥0, ? ? 解析 不等式组?x-2y+4≥0,表示的平面区域如图, 结合图象可知|AM|的最小值为点 A ? ?3x-y-3≤0 |2×(-2)+0-2| 6 5 到直线 2x+y-2=0 的距离,即|AM|min= = . 5 5

答案 D

x+y-3≤0, ? ? 2.(2015·河南郑州模拟)如果实数 x,y 满足不等式组?x-2y-3≤0,目标函数 z=kx-y ? ?x≥1,
的最大值为 6,最小值为 0,则实数 k 的值为( A.1 B.2 C.3 D.4 解析 不等式组表示的可行域如图,A(1,2),B(1,-1),C(3,0) ∵目标函数 z=kx-y 的最小值为 0, ∴目标函数 z=kx-y 的最小值可能在 A 或 B 时取得; ∴①若在 A 上取得,则 k-2=0,则 k=2,此时,z=2x-y 在 C 点有最大值,z=2×3- 0=6,成立; ②若在 B 上取得,则 k+1=0,则 k=-1,此时,z=-x-y,在 B 点取得的应是最大值, 故不成立,∴k=2,故答案为 B. )

1

答案 B

x-y≤1, ? ?x+y≥1, 3.(2014·北京海淀二模)若整数 x,y 满足? 则 z=2x+y 的最大值是( 3 ? ?y≤2,
A.1 解析 B. 13 2 C.2 D.3

)

根据限制条件画出可行域,如图所示,

画出直线 l0:2x+y=0, 13 ?5 3? 经平移知,在点 A? , ?处 z 取得最大值,∴zmax= .故选 B. 2 2 2 ? ? 答案 B

x≤1, ? ? 2 4.(2014·山西考前适应性训练)已知点 P(x,y)的坐标满足条件?y≤2, 那么 x + ? ?2x+y-2≥0, y2 的取值范围是(
A.[1,4] ) B.[1,5]

?4 ? C.? ,4? ?5 ?

?4 ? D.? ,5? ?5 ?

x≤1, ? ? 解析 作出不等式组?y≤2, 所表示的平面区域,显然,原点 O 到直线 2x+y-2=0 ? ?2x+y-2≥0
的最短距离为 |-2| 2 +1
2 2



2

4 2 2 ,此时可得(x +y )min= ; 5 5
2 2

点(1,2)到原点 O 的距离最大,为 1 +2 = 5, 此时可得(x +y )max=5.故选 D. 答案 D 二、填空题 5. (2014·北京朝阳二模, 11)若实数 x, y 满足?
?x-y+1≤0, ? ? ?x≤0,
2 2

则 x +y 的最小值是________.

2

2

2

解析 原不等式组所表示的平面区域如图中阴影部分所示. ∵x +y 表示可行域内任意一点 P(x,y)与原点(0,0)距离的平方, ∴当 P 在线段 AB 上且 OP⊥AB 时,x +y 取得最小值, ∴(x +y )min=?
2 2 2 2 2 2

?|0-0+1|?2 1 ? =2. 2 ? ?

答案

1 2 一年创新演练

6.设 x,y 满足条件|x|+|y-1|≤2,若目标函数 z= + (其中 b>a>0)的最大值为 5,则 8a+b 的最小值为( A.3 ) B.1 C.5 D.6

x y a b

解析 先画出|x|+|y|=2, 再将其图象向上平移 1 个单位, 则图中阴 影部分即为可行域. ∵参照线 y=- x 且- <-1, 2 1 1 ?2 1? ∴当其过点 A(2,1)时,z 取最大值,即 + =5.∴8a+b= (8a+b)? + ?= a b 5 ?a b? 2b 8a 1? 17+ + ? ? a b? 5? ? 1? ≥ ?17+2 5? 答案 C 1 2b 8a? · ?=5,并且仅当 a= ,b=1 时取等号,故 C 正确. 2 a b?

b a

b a

x-y+2≥0, ? ? 7.已知实数 x、y 满足?x+y-4≥0, 则 z=|x+3y|的最小值是________. ? ?2x-y-5≤0,
解析 作出现行约束条件的可行域,如图所示:

|x+3y| |x+3y| |x+3y|= 10× ,其中 表示可行域内的点到直线 x+3y=0 的距离,易知 10 10

B(3,1)到直线 x+3y=0 的距离最小为

|3+3×1| 6 = ,所以|x+3y|的最小值为 6. 10 10
3

答案 6 B 组 专项提升测试 三年模拟精选 一、选择题

y≥x, ? ? 8.(2014·浙江金华十校模拟)设变量 x,y 满足约束条件?x+3y≤4,则 z=|x-3y|的最大 ? ?x≥-2,
值为( A.10 ) B.8 C.6 D.4

解析 作出可行域(如图中阴影部分),

z=|x-3y|=

|x-3y| × 10表示点(x,y)到直线 x-3y=0 10

距离的 10倍,图中点 A(-2,2)到直线 x-3y=0 的距离为 8 8 ,则 z=|x-3y|的最大值为 × 10=8,故选 B. 10 10

答案 B 9.(2014·广东汕头 4 月模拟题)汕头某家电企业要将刚刚生产的 100 台变频空调送往市内 某商场,现有 4 辆甲型货车和 8 辆乙型货车可供调配.每辆甲型货车的运输费用是 400 元,可装空调 20 台,每辆乙型货车的运输费用是 300 元,可装空调 10 台,若每辆车至多 运一次,则企业所花的最少运费为( A.2 000 元 C.2 400 元 ) B.2 200 元 D.2 800 元

20x+10y≥100, ? ? 解析 设需甲、乙型货车各 x、y 辆,由题意有:?0≤x≤4, 令 w=400x+300y, ? ?0≤y≤8, 由线性规划知识易知当 x=4,y=2 时,wmin=2 200. 答案 B 二、填空题

x-3y+4≥0, ? ? 10.(2015·浙江余姚模拟)已知约束条件?x+2y-1≥0,若目标函数 z=x+ay(a≥0)恰好 ? ?3x+y-8≤0,
在点(2,2)处取到最大值,则 a 的取值范围为________. 解析 作出不等式对应的平面区域, 当 a=0 时,z=x,即 x=z,此时不成立.由 z=x+ay 得

4

1 z y=- x+ 要使目标函数 z=x+ay(a≥0)仅在点(2,2)处取得最大值,则阴影部分区域 a a 1 z 1 1 在直线 y=- x+ 的下方,即目标函数的斜率 k=- ,满足 k>kAC,即- >-3,

a

a

a

a

1 ?1 ? ?1 ? ∵a>0,∴a> ,即 a 的取值范围为? ,+∞?,故答案为:? ,+∞?. 3 ?3 ? ?3 ?

?1 ? 答案 ? ,+∞? ?3 ?
x+y≥1, ? ? 1 11.(2014·山东青岛 4 月)若 x,y 满足不等式组?2y-x≤2,且 y+ x 的最大值为 2,则实 2 ? ?y≥mx,
数 m 的值为________. 1 1 1 解析 设 z=y+ x,当 y+ x 取最大值 2 时,有 y+ x=2,作 2 2 2

x+y≥1, 1 ? ? ? ?y+ x=2, 出不等式组?2y-x≤2,对应的可行域, 如图, 由? 2 解 ? ? ?2y-x=2, ?y≥mx x=1, ? ? 得? 3 y= , ? ? 2
3 ? 3? ∴A?1, ?,代入直线 y=mx,得 m= . 2 ? 2? 答案 3 2

三、解答题 12.(2014·福州六校联考)某企业生产 A,B 两种产品,生产每一吨产品所需的劳动力、煤 和电耗如下表: 产品品种 劳动力(个) 3 10 煤(吨) 9 4 电(千瓦) 4 5

A 产品 B 产品

已知生产每吨 A 产品的利润是 7 万元,生产每吨 B 产品 的利润是 12 万元,现因条件限制,该企业仅有劳动力 300 个,煤 360 吨,并且供电局只 能供电 200 千瓦,试问该企业如何安排生产,才能获得最大利润? 解 设生产 A,B 两种产品分别为 x 吨,y 吨,利润为 z 万元,依

题意,得

5

3x+10y≤300, ? ?9x+4y≤360, ?4x+5y≤200, 目标函数为 ? ?x≥0,y≥0.

z=7x+12y.
作出可行域,如图阴影所示.当直线 7x+12y=0 向右上方平行移动时,经过 M(20,24) 时 z 取最大值. ∴该企业生产 A,B 两种产品分别为 20 吨和 24 吨时,才能获得最大利润. 一年创新演练 13.已知函数 f(x)的定义域为[-2,+∞),f(4)=1,f′(x)为 f(x)的 导函数,函数 y=f′(x)的图象如图所示.若两正数 a,b 满足 f(2a+

b+3 b)<1,则 的取值范围是( a+3

)

? 1 ? A.?- ,3? ? 3 ?

?6 4? B.? , ? ?7 3?

?2 6? C.? , ? ?3 5?

?3 7? D.? , ? ?5 3?

解析 由函数 y=f′(x)的图象可知, 当 x∈(-2,0)时,f′(x)<0; 当 x∈(0,+∞)时,f′(x)>0. 所以 f(x)在(-2,0)上是减函数,在(0,+∞)上是增函数.
? ?2a+b<4, 根据题意知 2a+b<4,? 表示的平面区域 S 是以 O(0,0),A(2,0),B(0,4)为 ?a>0,b>0. ?

顶点的三角形(不包括边界).设 P(-3,-3),则 线的斜率,故 kPA< 答案 D

b+3 表示平面区域 S 内的点与点 P 的连 a+3

b+3 3 b+3 7 <kPB,即 < < ,选 D. a+3 5 a+3 3

y≥0, ? ? 14.已知实数 x,y 满足?y-x+1≤0, 若 z=y-ax 取得最大值时的最优解(x,y)有无数 ? ?y-2x+4≥0,
个,则 a 的值为________. 解析 依题意,在坐标平面内画出不等式组表示的平面区域,如图 所示.要使 z=y-ax 取得最大值时的最优解(x,y)有无数个,则 直线 z=y-ax 必平行于直线 y-x+1=0,于是有 a=1. 答案 1

6


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