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【名师一号】2016届高考数学一轮总复习 1.3简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词课件


第一章 集合与常用逻辑用语

第三节 简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词

基础回扣· 自主学习

热点命题· 深度剖析

特色专题· 感悟提高

高考明方向 1.了解逻辑联结词“或”“且”“非”的含义. 2.理解全称量词与存在量词的意义. 3.能正确地对含有一个量词的命题进行否定.

备考知考情 1.含逻辑联结词命题真假的判断,含全称量词、存在量词命题的 否定是近几年高考的热点. 2.常与集合、不等式、函数等相结合考查,在知识的交汇点处命 题. 3.命题主要以选择题为主,属中低档题.

J 基础回扣· 自主学习
理教材 夯基础 厚积薄发

知 识 梳 理 知识点一 1.命题中的 或、且、非 逻辑联结词 叫做逻辑联结词.

2.命题p且q、p或q、非p的真假判断

归纳拓展:(1)p与q全真时,p且q为真,否则p且q为假; (2)p与q全假时,p或q为假,否则p或q为真; (3)p与非p必定是一真一假.

知识点二

全称量词与存在量词

1.全称量词:短语“ 对所有的 ”、“ 对任意一个 ”在逻 辑中通常叫做全称量词,用“?”表示;含有全称量词的命题叫 做 全称命题 . 2.存在量词:短语“ 存在一个 ”、“ 至少有一个 ”在逻 辑中通常叫做存在量词,用“?”表示;含有存在量词的命题叫 做

特称命题



3.含有一个量词的命题的否定: (1)全称命题p:?x∈M,p(x),它的否定綈p:?x0∈M,綈

p(x0).全称命题的否定是特称命题. (2)特称命题p:?x0∈M,p(x0),它的否定綈p:?x∈M,綈

p(x).特称命题的否定是全称命题.

对 点 自 测 知识点一 逻辑联结词 )

1.若p是真命题,q是假命题,则(

A.p∧q是真命题 B.p∨q是假命题 C.綈p是真命题 D.綈q是真命题
解析 由真值表知,綈q是真命题,故选D.

答案 D

2.设p,q是两个命题,则“p∨q为真,p∧q为假”的充要 条件是( )

A.p,q中至少有一个为真 B.p,q中至少有一个为假 C.p,q中有且只有一个为真 D.p为真,q为假

解析

“p∨q”为真,则命题p、q中至少有一个为真,“p

∧q”为假,则命题p、q中至少有一个为假,则“p∨q为真,p∧ q为假”的充要条件是“p、q中有且只有一个为真”.

答案 C

3.命题p:有的三角形是等边三角形.命题綈p:

_______________________________________________________.

答案 所有的三角形都不是等边三角形

知识点二

全称量词与存在量词 )

4.已知命题p:?x∈R,sinx≤1,则( A.綈p:?x0∈R,sinx0≥1 B.綈p:?x∈R,sinx≥1 C.綈p:?x0∈R,sinx0>1 D.綈p:?x∈R,sinx>1

解析

全称命题的否定是特称命题,“sinx≤1”的

否定是“sinx>1”,故选C.

答案 C

2 5.命题“?x0∈R,2x 0 -3ax0+9<0”为假命题,则实数a的取

值范围为________.

解析

?x0∈R,2x

2 0

-3ax0+9<0为假命题,则?x∈R,2x2-3ax

+9≥0恒成立,有Δ=9a2-72≤0,解得-2 2≤a≤2 2.

答案 [-2 2,2 2]

R 热点命题· 深度剖析
研考点 知规律 通法悟道

问 题 探 究 问题1 关系? 可以借助集合的“交”“并”“补”运算来理解逻辑联结词 “且”“或”“非”,对比如下: “且”“或”“非”与“交”“并”“补”有什么

命题形式 p且q p或q 非p

集合运算 A∩B={x|x∈A且x∈B} A∪B={x|x∈A或x∈B} ?UP={x|x∈U,x?P}

问题2

命题的否定与否命题是否一样?

不一样.“否命题”是对原命题“若p,则q”的条件和结论 分别加以否定而得的命题,它既否定其条件,又否定其结论; “命题的否定”即“綈p”,只是否定命题p的结论.

命题的否定与原命题的真假总是对立的,即两者中有且只有 一个为真.

高 频 考 点 考点一 含有逻辑联结词的命题的真假判定

【例1】 (1)在一次跳伞训练中,甲、乙两位学员各跳一 次,设命题p是“甲降落在指定范围”,q是“乙降落在指定范 围”,则命题“至少有一位学员没有降落在指定范围”可表示为 ( ) A.(綈p)∨(綈q) B.p∨(綈q)

C.(綈p)∧(綈q) D.p∨q

(2)(2014· 湖南卷)已知命题p:若x>y,则-x<-y;命题q:若 x>y,则x2>y2.在命题:①p∧q;②p∨q;③p∧(綈q);④(綈p)∨q

中,真命题是( A.①③ C.②③

) B.①④ D.②④

听课记录

(1)因为p是“甲降落在指定范围”,q是“乙降

落在指定范围”,则綈p是“甲没有降落在指定范围”,綈q是

“乙没有降落在指定范围”,所以命题“至少有一位学员没有降 落在指定范围”可表示为(綈p)∨(綈q).故选A.

(2)由题易知命题p为真,命题q为假,则綈p为假,綈q为

真.故p∧q为假,,p∨q为真,p∧(綈q)为真,(綈p)∨q为

假.故选C.

答案 (1)A (2)C

【规律方法】

(1)“p∨q”、“p∧q”、“綈p”形式命题

真假的判断步骤: ①确定命题的构成形式; ②判断其中命题p,q的真假; ③确定“p∨q”、“p∧q”、“綈p”形式命题的真假.

(2)p且q形式是“一假必假,全真才真”,p或q形式是“一真 必真,全假才假”,非p则是“与p的真假相反”.

变式思考 1 (1)(2014· 重庆卷)已知命题 p:对任意x∈R,总有2x>0; q:“x>1”是“x>2”的充分不必要条件, 则下列命题为真命题的是( A.p∧q C.綈p∧q B.綈p∧綈q D.p∧綈q )

(2)已知命题p:函数y=2-ax+1(a>0且a≠1)恒过(1,2)点;命 题q:若函数f(x-1)为偶函数,则f(x)的图象关于直线x=1对称, 则下列命题为真命题的是( A.p∧q C.綈p∧q )

B.綈p∧綈q D.p∧綈q

解析

(1)根据指数函数值域为(0,+∞),得p为真命题;而

“x>1”是“x>2”的必要不充分条件,故q为假命题.根据复合命题的 真假规律,可得p∧綈q为真命题,故选D.

(2)当x=1时,y=2-a2≠2,所以命题p为假,故綈p为真;

由函数f(x-1)是偶函数知,函数y=f(x-1)的图象关于y轴对称, 由函数图象的平移法则知,y=f(x)的图象关于直线x=-1对称, 所以命题q为假,故綈q为真.所以綈p∧綈q为真.故选B.

答案 (1)D (2)B

考点二 【例2】

含有一个量词的命题的否定

写出下列命题的否定,并判断其真假:
2

1 (1)p:?x∈R,x -x+ ≥0; 4 (2)q:所有的正方形都是矩形; (3)r:?x0∈R,x2 0+2x0+2≤0; (4)s:至少有一个实数x使x3+1=0.

听课记录

1 2 (1)綈p:?x0∈R,x0-x0+ <0,假命题. 4

(2)綈q:至少存在一个正方形不是矩形,假命题. (3)綈r:?x∈R,x2+2x+2>0,真命题. (4)綈s:?x∈R,x3+1≠0,假命题.

【规律方法】

全称命题与特称命题的否定与命题的否定有

一定的区别,否定全称命题和特称命题时,一是要改写量词,全 称量词改写为存在量词,存在量词改写为全称量词;二是要否定 结论.而一般命题的否定只需直接否定结论即可.

变式思考

2

(1)(2014· 天津卷)已知命题p:?x>0,总有(x+ )

1)ex>1,则綈p为(

A.?x0≤0,使得(x0+1)ex0≤1 B.?x0>0,使得(x0+1)ex0≤1 C.?x>0,总有(x+1)ex≤1 D.?x≤0,总有(x+1)ex≤1

? π? (2)已知命题p:?x∈?0,2?,使得cosx≤x,则綈p为( ? ?

)

? π? A.?x∈?0,2?,使得cosx>x ? ? ? π? B.?x∈?0,2?,使得cosx<x ? ? ? π? C.?x∈?0,2?,总有cosx>x ? ? ? π? D.?x∈?0,2?,总有cosx≤x ? ?

解析

(1)已知命题中含有“?”,所以该命题是一个全称命

题,由全称命题的否定形式可知,其否定是一个特称命题,把全 称量词改为存在量词,然后把“(x+1)ex>1”改为“(x+1)ex≤1” 即可得到该命题的否定为:“?x0>0,使得(x0+1)ex0≤1”,故选 B. (2)原命题是一个特称命题,其否定是一个全称命题.而 “cosx≤x”的否定是“cosx>x”,故选C.

答案 (1)B (2)C

考点三 【例3】

由命题的真假确定参数的取值范围

给定两个命题,命题p:对任意实数x都有ax2>-ax

-1恒成立,命题q:关于x的方程x2-x+a=0有实数根.若“p∨ q”为真命题,“p∧q”为假命题,则实数a的取值范围为 ________.









若p为真命题,则a=0或
2

? ?a>0, ? 2 ? ?a -4a<0,



1 0≤a<4;若q为真命题,则(-1) -4a≥0,即a≤4. 因为“p∨q”为真命题,“p∧q”为假命题,所以p,q中有 且仅有一个为真命题. 1 若p真q假,则 <a<4;若p假q真,则a<0. 4
?1 ? 综上,实数a的取值范围为(-∞,0)∪?4,4?. ? ? ?1 ? 答案 (-∞,0)∪?4,4? ? ?

【规律方法】

根据命题的真假求解参数的取值范围的关键

是先求出相关命题为真时所对应的参数的取值范围,如本例中, 先求出命题p,q为真命题时参数a的取值范围;再根据含有逻辑 联结词的命题的真值表,判断两个命题的真假;最后根据命题的 真假情况,利用集合的交集和补集的运算,求解参数的取值范 围,如本例中,列出关于a的不等式组.

变式思考 3

(1)若命题“存在实数x0,使x 2 0 +ax0+1<0”的

否定是假命题,则实数a的取值范围为________. (2)(2014· 徐州模拟)已知a>0,设命题p:函数y=ax在R上单调
? ?2x-2a ?x≥2a?, 递减,q:设函数y= ? ? ?2a ?x<2a?,

函数y>1恒成立,若p∧

q为假,p∨q为真,求a的取值范围.

(1)解析

由于命题的否定是假命题,所以原命题为真命题,

结合图象知Δ=a2-4>0,解得a>2或a<-2.
答案 (-∞,-2)∪(2,+∞)

(2)解

若p是真命题,则0<a<1,

若q是真命题,则ymin>1,又ymin=2a,∴2a>1. 1 ∴q为真命题时a> ; 2 又∵p∨q为真,p∧q为假,∴p与q一真一假. 1 若p真q假,则0<a≤2;若p假q真,则a≥1. 1 故a的取值范围为0<a≤2或a≥1.

T 特色专题· 感悟提高
拓思维 提能力 启智培优

前沿热点系列之(二) 利用逻辑关系判断命题真假 含逻辑联结词的命题的真假判断,虽非高考命题的重点,却 是大家易错的高频点,其知识考查覆盖面广,考查方式多种多 样,让人有一种“逻辑扑朔迷离,命题真假难辨”的感觉,在备 考中要格外注意.

【典例】

对于中国足球参与的某次大型赛事,有三名观众

对结果作如下猜测:甲:中国非第一名,也非第二名;乙:中国 非第一名,而是第三名;丙:中国非第三名,而是第一名.竞赛 结束后发现,一人全猜对,一人猜对一半,一人全猜错,则中国 足球队得了第________名.

【规范解答】

由上可知:甲、乙、丙均为“p且q”形式,

所以猜对一半者也说了错误“命题”,即只有一个为真,所以可 知丙是真命题,因此中国足球队得了第一名.

【答案】 一

【名师点评】

在一些逻辑问题中,当字面上并未出现

“或”“且”“非”字样时,应从语句的陈述中搞清含义,并根 据题目进行逻辑分析,找出各个命题之间的内在联系,从而解决 问题.

对应训练 曾经在校园内发生过这样一件事:甲、乙、丙、丁四名同学 在教室前的空地上踢足球,忽然足球飞向了教室的一扇窗户,听 到响声后,李主任走了过来,看着一地碎玻璃,问道:“玻璃是 谁打破的?”甲:是乙打破的;乙:不是我,是丁打破的;丙: 肯定不是我打破的;丁:乙在撒谎.现在只知道有一个人说了真 话,打破玻璃的是________.

解析

求解此题关键在于找清乙说的与丁说的是“p”与“非

p”形式,因此乙和丁之间必有一人说真话一人说假话,由此分 析可知,甲和丙说的都是假话,可得是丙打破的玻璃.

答案 丙


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