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20091103高一数学(用二分法求方程的近似解)


高一年级数学

湖南师大附中

彭萍

情景引入

有12个大小相同的小球,其中有11个小 球质量相等,另有一个小球稍重,用天 平至少称几次就一定可以找出这个稍重 的球?

知识回顾

零点存在性定理: 如果函数y=f(x)在区间[a,b]上的图

象是连续不断的一条曲线,并且有

f(a)· f(b)<0,那么函数y=f(x)在区间
(a,b)内有零点,即存在c∈ (a,b),

使得f(c)=0,这个c也就是方程f(x)=0
的根.

知识探究

(1)确定区间[a,b],使f(a)f(b)<0,

且区间内只有一个零点;
(2) 求区间的中点c,并计算f(c)的 值;
y ?3 2x

(3)若f(c)=0 ,则c就是函数的零点; 若f(a)·f(c)<0 ,则零点x0∈(a,c); 若f(c)·f(b)<0 ,则零点x0∈(c,b).

知识探究

已知函数 f ( x ) ? lnx ? 2x ? 6 在区间(2, 3)内有零点,你能找到求这 零点近似值的方法吗?

问题、怎样计算函数 f ( x ) ? lnx ? 2x ? 6在区 间(2,3)内精确度为0.01的零点近似值?

区间(a,b)
( 2, 3) (2.5,3) (2.5,2.75) (2.5,2.625) (2.5,2.562 5)

中点值m
2.5 2.75 2.625 2.5625 2.53125 2.546875

f(m)的近 精确度|a-b| 似值

-0.084
0.512 0.215

1 0.5 0.25 0.125 0.0625

0.066

-0.009
0.029

(2.531 25,2.562 5) (2.531 25,2.546 875) 2.5390625

0.03125 0.015625 0.007813

0.01 0.001

(2.531 25,2.539 062 5)2.53515625

1、二分法的概念
上述求函数零点近似值的方法 叫做二分法。 2、二分法的基本思想 对于在区间[a,b]上连续不断且 f(a)·f(b)<0的函数y=f(x),通过不断 地把函数f(x)的零点所在的区间一分为 二,使区间的两个端点逐步逼近零点, 进而得到零点近似值的方法叫做二分法.

3、用二分法求函数零点近似值的步骤 (1)确定区间[a,b],使f(a)f(b)<0, 且区间内只有一个零点; (2) 求区间的中点c,并计算f(c)的 值;
y ?3 2x

(3)若f(c)=0 ,则c就是函数的零点; 若f(a)·f(c)<0 ,则零点x0∈(a,c); 若f(c)·f(b)<0 ,则零点x0∈(c,b).
(4) 当区间的长度小于所给定的精确度时,

则得到零点近似值即为区间的端点值;
否则重复步骤 2~4.

例题讲解

例1 用二分法求方程 2 ? 3x ? 7 的近似 解(精确度为0.1).
x

参考数据:
区间(a,b)

2 2

1.5 1.25

? 2.828 ? 2.378
1.5 1.25
中点值m

21.375 ? 2.594 21.4375 ? 2.709
f(m)的近似值 精确度|a-b|

(1,2) (1,1.5) (1.25,1.5) (1.375,1.5) (1.375,1.4375)

0.33
-0.87

1 0.5

1.375
1.4375 1.40625

-0.281
0.0215 -0.1313

0.25
0.125

0.0625

理论迁移

例2 求方程 log 3 x ? x ? 3的实根个数及 其大致所在区间.(精确度为0.5)

log 3 2.5 ? 0.834
例3 下列函数的零点近似值不能用二 分法求出的是( )

A.f(x) ? x ? 2
3
2

B. f(x) ? lnx ? 3
2

C.f(x) ? X ? 2 5x ? 5 D. f(x) ? x ? 4x ? 1

作业 学法大视野第26课时


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