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第4章 学案21二倍角的三角函数及简单的三角恒等变换


学案 21

二倍角的三角函数及简单的三角恒等变换

导学目标: 1.能推出二倍角的正弦、余弦、正切公式,并熟练应用.2.能运用两角和与差 的三角公式进行简单的恒等变换.

自主梳理 二倍角的正弦、余弦、正切公式 (1)sin 2α=______________; (2)cos 2α=________________=_

_______________-1=1-________________; kπ π π (3)tan 2α=____________________ (α≠ + 且 α≠kπ+ ). 2 4 2 公式的逆向变换及有关变形 sin 2α (1)sin αcos α=________________?cos α= ; 2sin α 2 2 (2)降幂公式:sin α=________________,cos α=______________; 升幂公式:1+cos α=______________,1-cos α=______________; 变形:1± sin 2α=sin2α+cos2α± 2sin αcos α=________________. 自我检测 5 1.已知 sin α= ,则 sin4α-cos4α 的值为________. 5 π 4 2.已知 x∈(- ,0),cos x= ,则 tan 2x=________. 2 5 3.函数 y=(sin x-cos x)2-1 的最小正周期为________. 4. 2+2cos 8+2 1-sin 8的化简结果是________. 5.函数 f(x)=cos 2x-2sin x 的最小值和最大值分别为________和________.

探究点一 三角函数式的化简 例 1 求函数 y=7-4sin xcos x+4cos2x-4cos4x 的最大值和最小值.

4cos4x-2cos 2x-1 变式迁移 1 (2010· 泰安一模)已知函数 f(x)= . π ? ?π ? ? sin?4+x?sin?4-x? 11π? (1)求 f? ?- 12 ?的值; π 1 0, ?时,求 g(x)= f(x)+sin 2x 的最大值和最小值. (2)当 x∈? ? 4? 2

探究点二 三角函数式的求值 π π 1 π π 1 例 2 已知 sin( +2α)· sin( -2α)= ,α∈( , ),求 2sin2α+tan α- -1 的值. 4 4 4 4 2 tan α

π sin?α+ ? 4 5 变式迁移 2 (1)已知 α 是第一象限角,且 cos α= ,求 的值. 13 cos?2α+4π? π 3 π 3π π (2)已知 cos(α+ )= , ≤α< ,求 cos(2α+ )的值. 4 5 2 2 4

探究点三 三角恒等式的证明 例 3 (2010· 苏北四市模拟)已知 sin(2α+β)=3sin β,设 tan α=x,tan β=y,记 y=f(x). (1)求证:tan(α+β)=2tan α; (2)求 f(x)的解析式; (3)若角 α 是一个三角形的最小内角,试求函数 f(x)的值域.

变式迁移 3 求证: = 1+cos x . sin x

sin 2x ?sin x+cos x-1??sin x-cos x+1?

转化与化归思想 1 ? 2 ? π? ? π? 例 (14 分)(2010· 江西)已知函数 f(x)=? ?1+tan x?sin x+msin?x+4?sin?x-4?. π 3π? (1)当 m=0 时,求 f(x)在区间? ?8, 4 ?上的取值范围; 3 (2)当 tan α=2 时,f(α)= ,求 m 的值. 5 【答题模板】 cos x? 2 解 (1)当 m=0 时,f(x)=? ?1+ sin x ?sin x 1-cos 2x+sin 2x =sin2x+sin xcos x= 2 π 1? ? ? = ? 2sin? ?2x-4?+1?,[3 分] 2 π 3π? π ? 5π? 由已知 x∈? ?8, 4 ?,得 2x-4∈?0, 4 ?,[4 分] π? ? 2 ? 所以 sin? ?2x-4?∈?- 2 ,1?,[5 分] ? 1+ 2?.[7 分] 从而得 f(x)的值域为?0, ? 2 ? ? m (2)f(x)=sin2x+sin xcos x- cos 2x 2 1-cos 2x 1 m = + sin 2x- cos 2x 2 2 2 1 1 = [sin 2x-(1+m)cos 2x]+ ,[9 分] 2 2

2sin αcos α 2tan α 4 由 tan α=2,得 sin 2α= 2 = = , sin α+cos2α 1+tan2α 5 cos2α-sin2α 1-tan2α 3 cos 2α= 2 = =- .[11 分] 5 cos α+sin2α 1+tan2α 3 1 4 3 1 + ?1+m??+ ,[12 分] 所以 = ? ? 2 5 2?5 5 解得 m=-2.[14 分] 【突破思维障碍】 三角函数式的化简是指利用诱导公式、同角基本关系式、和与差的三角函数公式、二倍 角公式等,将较复杂的三角函数式化得更简洁、更清楚地显示出式子的结果.化简三角函数 式的基本要求是:(1)能求出数值的要求出数值;(2)使三角函数式的项数最少、次数最低、角 与函数的种类最少;(3)分式中的分母尽量不含根式等. 1.求值中主要有三类求值问题: (1)“给角求值”:一般所给出的角都是非特殊角,从表面来看是很难的,但仔细观察非 特殊角与特殊角总有一定关系,解题时,要利用观察得到的关系,结合公式转化为特殊角并 且消除非特殊角的三角函数而得解. (2)“给值求值”:给出某些角的三角函数式的值,求另外一些角的三角函数值,解题关 键在于“变角”,使其角相同或具有某种关系. (3)“给值求角”:实质是转化为“给值求值”,关键也是变角,把所求角用含已知角的 式子表示,由所得的函数值结合该函数的单调区间求得角. 2.三角恒等变换的常用方法、技巧和原则: (1)在化简求值和证明时常用如下方法:切割化弦法,升幂降幂法,辅助元素法,“1” 的代换法等. α+β (2)常用的拆角、拼角技巧如:2α=(α+β)+(α-β),α=(α+β)-β,α=(α-β)+β, 2 β α ? ? ? α α =? ?α-2?+?β-2?,2是4的二倍角等. (3)化繁为简:变复角为单角,变不同角为同角,化非同名函数为同名函数,化高次为低 次,化多项式为单项式,化无理式为有理式. 消除差异:消除已知与未知、条件与结论、左端与右端以及各项的次数、角、函数名称、 结构等方面的差异.

(满分:90 分) 一、填空题(每小题 6 分,共 48 分) 1.已知 0<α<π,3sin 2α=sin α,则 cos(α-π)=______. π 1 π 2 β- ?= ,那么 tan?α+ ?=________. 2.已知 tan(α+β)= ,tan? ? 4? 4 ? 4? 5 π ? 1 3.(2011· 淮安模拟)已知 cos 2α= (其中 α∈? ?-4,0?),则 sin α 的值为________. 2 x 2sin2 -1 2 π? 4.若 f(x)=2tan x- ,则 f? 12 ? ?的值为________. x x sin cos 2 2 5.(2010· 福建厦门外国语学校高三第二次月考)在△ABC 中,若 cos 2B+3cos(A+C)+2 =0,则 sin B 的值是________. π 1 2π 6.(2011· 镇江模拟)已知 sin( -α)= ,则 cos( +2α)的值是________. 6 3 3 2 7.函数 y=2cos x+sin 2x 的最小值是________.

cos 2α 2 8.若 =- ,则 cos α+sin α 的值为________. π 2 ? sin? ?α-4? 二、解答题(共 42 分) 9.(14 分)化简:(1)cos 20° cos 40° cos 60° cos 80° ; 3-4cos 2α+cos 4α (2) . 3+4cos 2α+cos 4α

π ? 1 10.(14 分)(2010· 南京一模)设函数 f(x)= 3sin xcos x-cos xsin? ?2+x?-2. (1)求 f(x)的最小正周期; π? (2)当∈? ?0,2?时,求函数 f(x)的最大值和最小值.

11.(14 分)(2010· 北京)已知函数 f(x)=2cos 2x+sin2x-4cos x. π (1)求 f( )的值; 3 (2)求 f(x)的最大值和最小值.

答案 自主梳理 (1)2sin αcos α (2)cos2α-sin2α 2cos2α 2sin2α 1-cos 2α 1+cos 2α 2tan α 1 α α (3) (1) sin 2α (2) 2cos2 2sin2 (sin α± cos α)2 2 2 2 2 2 2 1-tan α 自我检测 3 1.- 5 解析 原式=(sin2α+cos2α)(sin2α-cos2α) 3 =sin2α-cos2α=2sin2α-1=- . 5 24 2.- 7 π 4 解析 ∵x∈(- ,0),cos x= , 2 5 3 3 2tan x 24 ∴sin x=- ,tan x=- ,tan 2x= =- . 5 4 7 1-tan2x 3.π 解析 y=sin2x-2sin xcos x+cos2x-1=-sin 2x, ∴T=π. 4.-2sin 4 解析 原式= 4cos24+2 ?sin 4-cos 4?2 =2|cos 4|+2|sin 4-cos 4|=-2sin 4. 3 5.-3 2 解析 f(x)=cos 2x-2sin x

1?2 3 =1-2sin2x-2sin x=-2? ?sin x+2? +2, 1 3 则 sin x=- 时,f(x)最大= ; 2 2 sin x=1 时,f(x)最小=-3. 课堂活动区 例 1 解题导引 化简的原则是形式简单,三角函数名称尽量少,次数尽量低,最好不 含分母,能求值的尽量求值.本题要充分利用倍角公式进行降幂,利用配方变为复合函数, 重视复合函数中间变量的范围是关键. 解 y=7-4sin xcos x+4cos2x-4cos4x =7-2sin 2x+4cos2x(1-cos2x) =7-2sin 2x+4cos2xsin2x =7-2sin 2x+sin22x=(1-sin 2x)2+6, 由于函数 z=(u-1)2+6 在[-1,1]中的最大值为 zmax=(-1-1)2+6=10,最小值为 zmin =(1-1)2+6=6, 故当 sin 2x=-1 时,y 取得最大值 10, 当 sin 2x=1 时,y 取得最小值 6. 变式迁移 1 解 (1)f(x) ?1+cos 2x?2-2cos 2x-1 cos22x = = π ? ?π ? π ? ?π ? sin? sin? ?4+x?sin?4-x? ?4+x?cos?4+x? 2cos22x 2cos22x = = =2cos 2x, π cos 2x +2x? sin? ?2 ? 11π? π ? 11π? ∴f? ?- 12 ?=2cos?- 6 ?=2cos 6= 3. π? (2)g(x)=cos 2x+sin 2x= 2sin? ?2x+4?. π π π 3π 0, ?,∴2x+ ∈? , ?, ∵x∈? 4 ? ? 4 ?4 4 ? π ∴当 x= 时,g(x)max= 2, 8 当 x=0 时,g(x)min=1. 例 2 解题导引 (1)这类问题一般是先化简再求值;化简后目标更明确; (2)如果能从已知条件中求出特殊值,应转化为特殊角,可简化运算,对切函数通常化为 弦函数. π π 解 由 sin( +2α)· sin( -2α) 4 4 π π =sin( +2α)· cos( +2α) 4 4 1 π 1 1 = sin( +4α)= cos 4α= , 2 2 2 4 1 π π 5π ∴cos 4α= ,又 α∈( , ),故 α= , 2 4 2 12 sin2α-cos2α 1 ∴2sin2α+tan α- -1=-cos 2α+ tan α sin αcos α 5π 2cos 6 5 3 -2cos 2α 5π =-cos 2α+ =-cos - = . sin 2α 6 5π 2 sin 6 变式迁移 2 解 (1)∵α 是第一象限角, 5 12 cos α= ,∴sin α= . 13 13

π 2 2 sin?α+ ? ?sin α+cos α? ?sin α+cos α? 4 2 2 ∴ = = cos 2α cos?2α+4π? cos2α-sin2α 2 2 2 2 13 2 = = =- . 14 cos α-sin α 5 12 - 13 13 π π π (2)cos(2α+ )=cos 2αcos -sin 2αsin 4 4 4 2 = (cos 2α-sin 2α), 2 π 3π 3π π 7π ∵ ≤α< ,∴ ≤α+ < . 2 2 4 4 4 π 3 又 cos(α+ )= >0, 4 5 3π π 7 π 4 故可知 <α+ < π,∴sin(α+ )=- , 2 4 4 4 5 π 从而 cos 2α=sin(2α+ ) 2 π π 4 3 24 =2sin(α+ )cos(α+ )=2×(- )× =- . 4 4 5 5 25 π π sin 2α=-cos(2α+ )=1-2cos2(α+ ) 2 4 32 7 =1-2×( ) = . 5 25 π 2 2 24 7 ∴cos(2α+ )= (cos 2α-sin 2α)= ×(- - ) 4 2 2 25 25 31 2 =- . 50 例 3 解题导引 本题的关键是第(1)小题的恒等式证明,对于三角条件恒等式的证明, 我们要注意观察、分析条件恒等式与目标恒等式的异同,特别是分析已知和要求的角之间的 关系,再分析函数名之间的关系,则容易找到思路.证明三角恒等式的实质就是消除等式两 边的差异, 有目的地化繁为简, 左右归一或变更论证. 对于第(2)小题同样要从角的关系入手, 利用两角和的正切公式可得关系.第(3)小题则利用基本不等式求解即可. 解 (1)由 sin(2α+β)=3sin β, 得 sin[(α+β)+α]=3sin[(α+β)-α], 即 sin(α+β)cos α+cos(α+β)sin α =3sin(α+β)cos α-3cos(α+β)sin α, ∴sin(α+β)cos α=2cos(α+β)sin α, ∴tan(α+β)=2tan α. tan α+tan β x+y (2)由(1)得 =2tan α,即 =2x, 1-tan αtan β 1-xy x x ∴y= ,即 f(x)= . 1+2x2 1+2x2 (3)∵角 α 是一个三角形的最小内角, π ∴0<α≤ ,0<x≤ 3, 3 1 1 2 设 g(x)=2x+ ,则 g(x)=2x+ ≥2 2(当且仅当 x= 时取“=”). x x 2 2 故函数 f(x)的值域为(0, ]. 4 变式迁移 3 证明 因为左边=

2sin xcos x [sin x+?cos x-1?][sin x-?cos x-1?] 2sin xcos x = 2 sin x-?cos x-1?2 2sin xcos x = 2 sin x-cos2x+2cos x-1 2sin xcos x sin x = = -2cos2x+2cos x 1-cos x sin x?1+cos x? = ?1-cos x??1+cos x? sin x?1+cos x? 1+cos x = = =右边. sin2x sin x 所以原等式成立. 课后练习区 1 1.- 6 解析 ∵0<α<π,3sin 2α=sin α, 1 ∴6sin αcos α=sin α,又∵sin α≠0,∴cos α= , 6 1 cos(α-π)=cos(π-α)=-cos α=- . 6 3 2. 22 π π 解析 因为 α+ +β- =α+β, 4 4 π? π 所以 α+ =(α+β)-? ?β-4?. 4 π? ? ? π?? 所以 tan? ?α+4?=tan??α+β?-?β-4?? π β- ? tan?α+β?-tan? ? 4? 3 = = . π 22 β- ? 1+tan?α+β?tan? ? 4? 1 3.- 2 1 解析 ∵ =cos 2α=1-2sin2α, 2 π ? 1 ∴sin2α= .又∵α∈? ?-4,0?, 4 1 ∴sin α=- . 2 4.8 x 1-2sin2 2 2cos x 解析 f(x)=2tan x+ =2tan x+ 1 sin x sin x 2 2 4 = = , sin xcos x sin 2x π? 4 ∴f? ?12?= π=8. sin 6 3 5. 2

解析 由 cos 2B+3cos(A+C)+2=0 化简变形,得 2cos2B-3cos B+1=0, 1 3 ∴cos B= 或 cos B=1(舍).∴sin B= . 2 2 7 6.- 9 2π π 解析 cos( +2α)=-cos( -2α) 3 3 π π 7 =-cos[2( -α)]=-[1-2sin2( -α)]=- . 6 6 9 7.1- 2 解析 ∵y=2cos2x+sin 2x=sin 2x+1+cos 2x π? =sin 2x+cos 2x+1= 2sin? ?2x+4?+1, π ∴当 sin(2x+ )=-1 时,函数取得最小值 1- 2. 4 1 8. 2 cos2α-sin2α cos 2α 解析 ∵ = π? 2 sin? ?α-4? 2 ?sin α-cos α? 2 1 =- 2(sin α+cos α)=- ,∴cos α+sin α= . 2 2 9.解 (1)∵sin 2α=2sin αcos α, sin 2α ∴cos α= ,…………………………………………………………………………(3 分) 2sin α sin 40° sin 80° 1 sin 160° ∴原式= · ·· 2sin 20°2sin 40°2 2sin 80° sin?180° -20° ? 1 = = .……………………………………………………………………(7 分) 16sin 20° 16 3-4cos 2α+2cos22α-1 (2)原式= ………………………………………………………(9 分) 3+4cos 2α+2cos22α-1 ?1-cos 2α?2 ?2sin2α?2 = = =tan4α.………………………………………………………(14 分) ?1+cos 2α?2 ?2cos2α?2 π ? 1 10.解 f(x)= 3sin xcos x-cos xsin? ?2+x?-2 3 1 = sin 2x- cos 2x-1 2 2 π ? =sin? ?2x-6?-1.…………………………………………………………………………(4 分) 2π (1)T= =π, 故 f(x)的最小正周期为 π.…………………………………………………(6 分) 2 π π π 5π (2)因为 0≤x≤ ,所以- ≤2x- ≤ . 2 6 6 6 π π π 所以当 2x- = ,即 x= 时,f(x)有最大值 0,………………………………………(12 分) 6 2 3 π π 3 当 2x- =- , 即 x=0 时, f(x)有最小值- .…………………………………………(14 分) 6 6 2 π 2π π π 11.解 (1)f( )=2cos +sin2 -4cos 3 3 3 3 3 9 =-1+ -2=- .………………………………………………………………………(4 分) 4 4 (2)f(x)=2(2cos2x-1)+(1-cos2x)-4cos x =3cos2x-4cos x-1

2 7 =3(cos x- )2- ,x∈R.………………………………………………………………(10 分) 3 3 因为 cos x∈[-1,1], 所以,当 cos x=-1 时,f(x)取得最大值 6; 2 7 当 cos x= 时,f(x)取得最小值- .……………………………………………………(14 分) 3 3


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