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高中数学完整讲义——解三角形1.三角形中的有关问题


高中数学讲义

板块一. 三角形中的 有关问题

典例分析
o s B? 【例1】 ?ABC 的内角 A、 B、 C 的对边分别为 a、 b、 c, 若 a、 b、 c 成等比数列, 且 c ? 2a , 则c
( A. ) C.

1 4

B.

3 4

r />
2 4

D.

2 3

【例2】 在 ?ABC 中,下列等式总能成立的是





( A) a cos C ? c cos A (C ) ab sin C ? bc sin B

( B ) b sin C ? c sin A ( D) a sin C ? c sin A

【例3】 在△ ABC 中,若 2cosBsinA=sinC,则△ ABC 的形状一定是





A.等腰直角三角形 C.等腰三角形

B.直角三角形 D.等边三角形

【例4】 △ABC 中,a、b、c 分别为∠A、∠B、∠C 的对边,如果 a、b、c 成等差数列,∠B=30°,

△ABC 的面积为 A.
1? 3 2

3 ,那么 b 等于 2

( C.
2? 3 2

) D.2+ 3

B.1+ 3

【例5】 若 ?ABC 的内角 A 满足 sin 2 A ?

2 ,则 sin A ? cos A ? 3
D. ?

(

)

A.

15 3

B. ?

15 3

C.

5 3

5 3
( )

【例6】 在△ ABC 中,“ sin A ? sin B ”是“ A ? B ”的

A 充分不必要条件

B 必要不充分条件

思维的发掘

能力的飞跃

1

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C 充要条件 D 既不充分也不必要条件

【例7】 在△ ABC 中,若 (a ? b )sin( A ? B) ? (a ? b )sin C ,则△ ABC 是(
2 2 2 2



A 等腰三角形 C 等腰直角三角形

B 直角三角形 D 等腰三角形或直角三角形

【例8】 a, b, c 是 ?ABC 三边长,若满足等式 (a ? b ? c)(a ? b ? c) ? ab ,则角 C 的大小为 (



( A) 60 0

( B ) 90 0

(C ) 1200

( D) 1500

【例9】 在△ ABC 中,已知 tan A ? tan B ? 3 ? 3 tan A ? tan B 且 sin A cos A ?

3 ,则△ ABC 是 4



) B 正三角形或直角三角形 D 等腰三角形

A 正三角形 C 直角三角形

【例10】 在△ ABC 中, A ?

?
?
3

, BC ? 3 ,则△ ABC 的周长为
B. 4 3 sin( B ? D. 6sin( B ?





A. 4 3 sin( B ? C.

6sin( B ? ) ? 3 3

?

3

)?3

?
6

)?3

?
6

)?3

【例11】 在△ ABC 中,角 A、B、C 所对的边分别是 a 、 b 、 c ,且 BC 边上的高为

a c b ,则 ? 的 2 b c

最大值为 A. 2 2 B





2

C

2

D 4

【例12】 在 ?ABC 中,由已知条件解三角形,其中有两解的是





A. b ? 20, A ? 450 , C ? 800 C. a ? 14, b ? 16, A ? 450

B. a ? 30, c ? 28, B ? 600 D. a ? 12, c ? 15, A ? 1200

2

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【例13】 在 ?ABC 中,已知 cos A ?

A

16 65

B

5 3 , sin B ? ,则 cos C 的值为( 13 5 16 56 16 56 C 或 D ? 65 65 65 65



【例14】 若钝角三角形三边长为 a ? 1 、 a ? 2 、 a ? 3 ,则 a 的取值范围是



【例15】 在 ?ABC C 中, ?A ? 60 , b ? 1, S
0

ABC

? 3, 则

a?b?c = sin A ? sin B ? sin C



b、 【例16】 在△ ABC 中, 角 A、 B、 C 所对的边分别是 a 、 , 若 ?A ? 105 , ?B ? 45 , c,
0 0

b?2 2,

由c=



【例17】 在△ ABC 中, b ? 2 , c ? 3 ,△ ABC 面积 S ?

3 ,由 ? A = 2



【例18】 在 ?ABC 中,若∠C=60°,则

a b =_______. ? b?c a?c

【例19】 在锐角 ?ABC 中,边长 a=1,b=2,则边长 c 的取值范围是_______.

【例20】 已知 ?ABC 的三个内角 A、B、C 成等差数列,且 AB=1,BC=4,则边 BC 上的中线 AD

的长为

. .

【例21】 在△ ABC 中, a ? 7 , b ? 8 , c ? 9 ,则 AC 边上的中线 BD 长为

【例22】 在 △ ABC , 角 ?A , ?B , ?C 所 对 的 边 分 别 是 a , b , c , 若 三 角 形 的 面 积 S ?

1 4

?a

2

? b2 ? c2? ,则∠C 的度数是_______.
sin B ? sin C ,判断这个三角形的形状. cos B ? cos C

【例23】 在 △ ABC 中,sinA=

【例24】 在 △ ABC 中, a 、 b 、 c 分别是∠A、∠B、∠C 的对边长,已知 a 、 b 、 c 成等比数列,

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3

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且 a 2 ? c 2 ? ac ? bc ,求∠A 的大小及
b sin B 的值. c

【例25】 如图,D 是直角 △ ABC 斜边 BC 上一点,AB=AD,记∠CAD= ? ,∠ABC= ? .

(1).证明 sin ? ? cos 2? ? 0 ; (2) .若 AC= 3 DC,求 ? 的值.

【例26】 ?ABC 中,内角 A, B, C 成等差数列,边长 a ? 8, b ? 7 ,求边 c 及 ?ABC 面积.

【例27】 在 ?ABC 中, a, b, c 分别为角 A, B, C 的对边,已知 c ?

7 3 , ?ABC 的面积为 3 ,且 2 2

tan A ? tanB ?

3 tan A ? tan B?

.求 3 a ? b 的值.

【例28】 已知△ ABC 中,2 2 (sin2A-sin2C)=(a-b)sinB,△ ABC 外接圆半径为 2 .

(1)求∠ C; (2)求△ ABC 面积的最大值.

【例29】 在△ABC 中,角 A、B、C 对边分别为 a、b、c.

证明:

a2 ? b2 c2

=

sin (A ? B) . sin C

【例30】 已知圆内接四边形 ABCD 的边长分别是 AB ? 2, BC ? 6, CD ? DA ? 4 ,求四边形 ABCD

的面积.

4

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A B D

C

【例31】 在 △ ABC 中 , ?A, ?B, ?C 所 对 的 边 分 别 为 a, b, c , 若 a, b, c 成 等 比 数 列 , 且

2 cos 2 B ? 8cos B ? 5 ? 0 ,求角 B 的大小并判断△ ABC 的形状.

【例32】 在 △ ABC 中, ?A , ?B , ?C 所对的边分别为 a , b , c ,且 cos A ?

1 3

? B?C ? ? ? cos2 A 的值; ? 2 ? (2)若 a ? 3 ,求 bc 的最大值;
(1)求 sin 2 ?

【例33】 在 △ ABC 中 , ?A , ?B , ?C 所 对 的 边 分 别 为 a , b , c , 设 a , b , c 满 足 条 件

1 2 c b2 ? c2 ? b c? a 和 ? ? 3 ,求 ? A 和 tan B 的值. b 2

【例34】 如图,已知 △ ABC 是边长为 1 的正三角形, M 、 N 分别是边 AB 、 AC 上的点,线段 MN

经过 △ ABC 的中心 G ,设 ?MGA ? ? (

?
3

?? ?

2? ) 3

(1)试将 △ AGM 、 △ AGN 的面积(分别记为 S1 与 S2)表示为 ? 的函数; (2)求 y ?

1 1 + 2 的最大值与最小值. 2 S1 S2

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A

N M B D G C

6

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