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2016届新课标数学(理)一轮复习讲义 第二章 第11讲 变化率与导数、导数的计算


第 11 讲 变化率与导数、导数的计算

1.导数的概念 (1)函数 y=f(x)在 x=x0 处的导数 称函数 y=f(x)在 x=x0 处的瞬时变化率
Δx→0

lim

f(x0+Δ x)-f(x0) Δy =Δlim 为函数 y=f(x)在 x=x0 处的导数, 记作 f′(x0)或 y′|x x→0 Δ x Δx
Δx→0

=x 0

,即 f′(x0)= lim

Δy f(x0+Δ x)-f(x0) = lim . Δ x Δx→0 Δx

(2)导数的几何意义 函数 f(x)在点 x0 处的导数 f′(x0)的几何意义是在曲线 y=f(x)上点 P(x0,y0)处的切线的斜 率(瞬时速度就是位移函数 s(t)对时间 t 的导数).相应地,切线方程为 y-y0=f′(x0)(x-x0). (3)函数 f(x)的导函数 称函数 f′(x)= lim
Δx→0

f(x+Δ x)-f(x) 为 f(x)的导函数. Δx 原函数 导函数 f′(x)=0 f′(x)=nxn 1(n∈Q*)


2.基本初等函数的导数公式 f(x)=c(c 为常数) f(x)=x (n∈Q ) f(x)=sin x f(x)=cos x f(x)=a
x n *

f′(x)=cos x f′(x)=-sin_x f′(x)=axln a f′(x)=ex 1 f′(x)= xln a 1 f′(x)= x

f(x)=ex f(x)=logax f(x)=ln x

3.导数的运算法则 (1)[f(x)± g(x)]′=f′(x)± g′(x); (2)[f(x)· g(x)]′=f′(x)g(x)+f(x)g′(x); ? f(x) ?′=f′(x)g(x)-f(x)g′(x)(g(x)≠0). (3)? ? [g(x)]2 ?g(x)? 4.复合函数的导数 复合函数 y=f(g(x))的导数和函数 y=f(u),u=g(x)的导数间的关系为 yx′=yu′·ux′, 即 y 对 x 的导数等于 y 对 u 的导数与 u 对 x 的导数的乘积. [做一做] 1.函数 y=xcos x-sin x 的导数为( ) A.xsin x B.-xsin x C.xcos x D.-xcos x 解析:选 B.y′=x′cos x+x(cos x)′-(sin x)′=cos x-xsin x-cos x=-xsin x. - 2.(2014· 高考江西卷)若曲线 y=e x 上点 P 处的切线平行于直线 2x+y+1=0,则点 P

的坐标是________. - - 解析:设 P(x0,y0),∵y=e x,∴y′=-e x, ∴点 P 处的切线斜率为 k=-e-x0=-2, ∴-x0=ln 2,∴x0=-ln 2, ∴y0=eln 2=2,∴点 P 的坐标为(-ln 2,2). 答案:(-ln 2,2)

1.辨明三个易误点 (1)利用公式求导时要特别注意除法公式中分子的符号,防止与乘法公式混淆. (2)求曲线切线时,要分清在点 P 处的切线与过 P 点的切线的区别,前者只有一条,而 后者包括了前者. (3)曲线的切线与曲线的交点个数不一定只有一个,这和研究直线与二次曲线相切时有 差别. 2.导数运算的技巧 (1)要准确地把函数分割为基本函数的和、差、积、商及其复合运算的形式,再利用运 算法则求导数; (2)对于不具备求导法则结构形式的,要适当恒等变形,转化为较易求导的结构形式, 再求导数.但必须注意变形的等价性,避免不必要的运算失误.对数函数的真数是根式或者 分式时,可用对数的运算性质将真数转化为有理式或整式,然后再求解比较方便;当函数表 达式含有三角函数时,可优先考虑利用三角公式进行化简后再求导. [做一做] 3.(2015· 保定市高三调研)已知曲线 y=ln x 的切线过原点,则此切线的斜率为( ) A.e B.-e 1 C. e 1 D.- e

解析:选 C.y=ln x 的定义域为(0,+∞),设切点为(x0,y0),则 k=f′(x0),∴切线方程 1 1 1 为 y-y0= (x-x0),又切线过点(0,0),代入切线方程得 x0=e,y0=1,∴k=f′(x0)= = . x0 x0 e 1 1 4.函数 y= + 的导数为________. 1- x 1+ x 1 1 2 解析:y= + = , 1- x 1+ x 1-x 2 ∴y′=?1-x?′

?

?



-2(1-x)′ 2 . 2 = (1-x) (1-x)2 2 (1-x)2

答案:

,[学生用书 P41~P42])

考点一__导数的运算________________________ 求下列函数的导数: (1)y=(3x -4x)(2x+1);(2)y=x2sin x;
2

ln x (3)y=3xex-2x+e;(4)y= 2 ; x +1 (5)y=ln(2x-5). [解] (1)∵y=(3x2-4x)(2x+1) =6x3+3x2-8x2-4x=6x3-5x2-4x, ∴y′=18x2-10x-4. (2)y′=(x2)′sin x+x2(sin x)′=2xsin x+x2cos x. (3)y′=(3xex)′-(2x)′+e′ =(3x)′ex+3x(ex)′-(2x)′ =3xexln 3+3xex-2xln 2 =(ln 3+1)· (3e)x-2xln 2. (4)y′= (ln x)′(x2+1)-ln x(x2+1)′ (x2+1)2

1 2 (x +1)-2xln x x = (x2+1)2 = x2+1-2x2ln x . x(x2+1)2 1 2 ·2= , 2x-5 2x-5

(5)令 u=2x-5,y=ln u, 则 y′=(ln u)′u′= 即 y′= 2 . 2x-5

[规律方法] 导数计算的原则和方法: (1)求导之前,应利用代数、三角恒等式等变形对函数进行化简,然后求导,这样可以 减少运算量,提高运算速度,减少差错. (2)复合函数的求导,要正确分析函数的复合层次,通过设中间变量,确定复合过程, 然后求导. 1.求下列函数的导数: cos x (1)y=xnex;(2)y= ;(3)y=exln x; sin x (4)y=(1+sin x)2. - - 解:(1)y′=nxn 1ex+xnex=xn 1ex(n+x). (2)y′= -sin2x-cos2x 1 =- 2 . sin2x sin x

1 1 ? (3)y′=exln x+ex· =ex? ? x+ln x?. x (4)y′=2(1+sin x)· (1+sin x)′=2(1+sin x)· cos x. 考点二__导数的几何意义(高频考点)____________

导数的几何意义是每年高考的必考内容, 考查题型既有选择题也有填空题, 也常出现在 解答题的第(1)问中,难度偏小,属中低档题. 高考对导数几何意义的考查主要有以下三个命题角度: (1)已知切点求切线方程; (2)已知切线方程(或斜率)求切点; (3)已知切线方程求参数值. (1)(2015· 山东青岛模拟)曲线 y=x3-2x 在(1,-1)处的切线方程为( ) A.x-y-2=0 B.x-y+2=0 C.x+y-2=0 D.x+y+2=0 (2)(2014· 高考课标全国卷Ⅱ改编)设曲线 y=ax-ln x 在点(1, 0)处的切线方程为 y=2x, 则 a=( ) A.0 B.1 C.2 D.3 -x x (3)设 a∈R,函数 f(x)=e +a· e 的导函数是 f′(x),且 f′(x)是奇函数.若曲线 y=f(x) 3 的一条切线的斜率是 ,则切点的横坐标为( 2 A.ln 2 ln 2 C. 2 )

B.-ln 2 ln 2 D.- 2

[解析] (1)由已知, 点(1, -1)在曲线 y=x3-2x 上, 所以切线的斜率为 y′|x=1=(3x2-2)|x =1=1,由直线方程的点斜式得 x-y-2=0,故选 A. 1 (2)令 f(x)=ax-ln x, 则 f′(x)=a- .由导数的几何意义可得在点(1, 0)处的切线的斜率为 x f′(1)=a-1.又切线方程为 y=2x,则有 a-1=2,∴a=3. - - (3)函数 f(x)=ex+a· e x 的导函数是 f′(x)=ex-a· e x.又 f′(x)是奇函数,所以 f′(x)=-f′(- - - - x),即 ex-a· e x=-(e x-a· ex),则 ex(1-a)=e x(a-1),所以(e2x+1)(1-a)=0,解得 a= 3 1 - - 1.所以 f′(x)=ex-e x.令 ex-e x= ,解得 ex=2 或 ex=- (舍去,因为 ex>0),所以 x=ln 2. 2 2 [答案] (1)A (2)D (3)A [规律方法] (1)求曲线切线方程的步骤: ①求出函数 y=f(x)在点 x=x0 处的导数,即曲线 y=f(x)在点 P(x0,f(x0))处切线的斜率; ②由点斜式方程求得切线方程为 y-f(x0)=f′(x0)· (x-x0). (2)求曲线的切线方程需注意两点: ①当曲线 y=f(x)在点 P(x0,f(x0))处的切线平行于 y 轴(此时导数不存在)时,切线方程为 x=x0; ②当切点坐标不知道时,应首先设出切点坐标,再求解. 3 1 2.(1)(2015· 广东肇庆模拟)若曲线 y= x2+x- 的某一切线与直线 y=4x+3 2 2 平行,则切线方程为________. (2)(2015· 云南省调研)函数 f(x)= ln(2x+3)-2x2 的图象在点(-1, 2)处的切线与坐标轴 x

围成的三角形的面积等于________. 解析:(1)设切点为(x0,y0),切线的斜率 k=y′|x=x0=3x0+1,3x0+1=4?x0=1.

3 2 1 又 y0= x0 +x0- =2,则切点为(1,2),故切线的方程为 y-2=4(x-1)?y=4x-2. 2 2

(2)f′(x)=

? 2 -4x?x-[ln(2x+3)-2x2] ?2x+3 ?
x2

2x -ln(2x+3)-2x2 2x+3 = ,则 f′(-1)=-4,故该切线方程为 y=-4x-2,切线在 x, x2 1 1 y 轴上的截距分别为- ,-2,故所求三角形的面积为 . 2 2 1 答案:(1)y=4x-2 (2) 2

,[学生用书 P42]) 交汇创新——导数与线性规划的交汇 (2013· 高考江苏卷)抛物线 y=x2 在 x=1 处的切线与两坐标轴围成的三角形 区域为 D(包含三角形内部与边界).若点 P(x,y)是区域 D 内的任意一点,则 x+2y 的取值 范围是________. [解析] 由于 y′=2x,所以抛物线在 x=1 处的切线方程为 y-1=2(x-1),即 y=2x- 1. 1 1 1 1 1 画出可行域(如图). 设 x+2y=z, 则 y=- x+ z, 可知当直线 y=- x+ z 经过点 A( , 2 2 2 2 2 1 0),B(0,-1)时,z 分别取到最大值和最小值,此时最大值 zmax= ,最小值 zmin=-2,故 2 1 取值范围是[-2, ]. 2

1 [答案] [-2, ] 2 [名师点评] (1)本题以 y=x2 在 x=1 处的切线问题为条件, 利用导数的几何意义求得切 线方程,构造出求 x+2y 的取值范围的可行域,充分体现了导数与线性规划的交汇. (2)利用导函数的特性,在求解有关奇(偶)函数问题中,发挥出奇妙的作用. (3)导数还可以与数列、向量、解析几何等交汇. (2015· 湖北武汉高三月考)已知曲线 f(x)=xn 1(n∈N*)与直线 x=1 交于点 P,


设曲线 y=f(x)在点 P 处的切线与 x 轴交点的横坐标为 xn,则 log 2 015x1+log2 015x2+…+log2 015x2 014 的值为________. 解析:f′(x)=(n+1)xn,k=f′(1)=n+1,点 P(1,1)处的切线方程为 y-1=(n+1)(x-1), 1 n n 令 y=0,得 x=1- = ,即 xn= . n+1 n+1 n+1 1 2 3 2 013 2 014 1 ∴x1·x2·…·x2 014= × × ×…× × = . 2 3 4 2 014 2 015 2 015 则 log2 015x1+log2 015x2+…+log2 015x2 014 =log2 015(x1·x2·…·x2 014)=log2 015 答案:-1 1 =-1. 2 015

1.函数 y=x2cos x 在 x=1 处的导数是( ) A.0 B.2cos 1-sin 1 C.cos 1-sin 1 D.1 解析:选 B.∵y′=(x2cos x)′=(x2)′cos x+x2(cos x)′=2xcos x-x2sin x, ∴y′|x=1=2cos 1-sin 1. x2 2.(2015· 河南郑州第一次质量预测)已知曲线 y= -3ln x 的一条切线的斜率为 2,则切 2 点的横坐标为( A.3 C.1 ) B.2 1 D. 2

解析:选 A.设切点坐标为(x0,y0),且 x0>0, 3 3 由 y′=x- ,得 k=x0- =2, x x0 ∴x0=3. 3.已知 f(x)与 g(x)是定义在 R 上的两个可导函数,若 f(x),g(x)满足 f′(x)=g′(x),则 f(x) 与 g(x)满足( ) A.f(x)=g(x) B.f(x)=g(x)=0 C.f(x)-g(x)为常数函数 D.f(x)+g(x)为常数函数 解析:选 C.由 f′(x)=g′(x),得 f′(x)-g′(x)=0, 即[f(x)-g(x)]′=0,所以 f(x)-g(x)=C(C 为常数). 1+cos x π 4.设曲线 y= 在点? ,1?处的切线与直线 x-ay+1=0 平行,则实数 a 等于 sin x ?2 ? ( )

A.-1 C.-2 解析:选 A.∵y′= A.

1 B. 2 D.2 -1-cos x π 1 ,∴y′|x= =-1,由条件知 =-1,∴a=-1,故选 2 sin x 2 a

π? π π 5.若函数 f(x)=cos x+2xf′? ?,则 f?- ?与 f? ?6? ? 3 ? ?3?的大小关系是( π π A.f?- ?=f? ? ? 3? ?3? π π C.f?- ?<f? ? ? 3? ?3? π π B.f?- ?>f? ? ? 3? ?3? D.不确定

)

π 解析:选 C.依题意得 f′(x)=-sin x+2f′? ?, ?6? π π π π 1 ∴f′? ?=-sin +2f′? ?,f′? ?= , 6 ?6? ?6? ?6? 2 π π f′(x)=-sin x+1,∵当 x∈?- , ?时,f′(x)>0, ? 2 2? π π ∴f(x)=cos x+x 在?- , ?上是增函数, ? 2 2? π π π π π π 又- <- < < ,∴f?- ?<f? ?. 2 3 3 2 ? 3? ?3? sin x 6.函数 y= 的导数为________. x 解析:y′= (sin x)′x-sin x·x′ xcos x-sin x = . x2 x2

xcos x-sin x 答案: x2 7.已知函数 f(x)=ln x-f′(-1)x2+3x-4,则 f′(1)=________. 1 解析:∵f′(x)= -2f′(-1)x+3, x f′(-1)=-1+2f′(-1)+3, ∴f′(-1)=-2,∴f′(1)=1+4+3=8. 答案:8 8. 若点 P 是曲线 y=x2-ln x 上任意一点, 则点 P 到直线 y=x-2 的最小距离为________. 1 解析:设 P(x0,y0)到直线 y=x-2 的距离最小,则 y′|x=x0=2x0- =1,得 x0=1 或 x0 x0 1 =- (舍去). 2 ∴P 点坐标为(1,1). |1-1-2| ∴点 P 到直线 y=x-2 的距离 d= = 2. 1+1 答案: 2 9.求下列函数的导数.

(1)y=xnlg x; 1 2 1 (2)y= + 2+ 3; x x x (3)y=ln 2x-1 . 2x+1

1 - 解:(1)y′=nxn 1lg x+xn· xln 10 1 - =xn 1(nlg x+ ). ln 10 1? ?2? ?1? (2)y′=? ? x?′+?x2?′+?x3?′ =(x 1)′+(2x 2)′+(x 3)′ - - - =-x 2-4x 3-3x 4
- - -

1 4 3 =- 2- 3- 4. x x x (3)y′=[ln(2x-1)-ln(2x+1)]′ =[ln(2x-1)]′-[ln(2x+1)]′ = = = 1 1 (2x-1)′- (2x+1)′ 2x-1 2x+1 2 2 - 2x-1 2x+1 4 . 4x -1
2

1 10.已知点 M 是曲线 y= x3-2x2+3x+1 上任意一点,曲线在 M 处的切线为 l,求: 3 (1)斜率最小的切线方程; (2)切线 l 的倾斜角 α 的取值范围. 解:(1)∵y′=x2-4x+3=(x-2)2-1≥-1, 5 ∴当 x=2 时,y′=-1,y= , 3 5? ∴斜率最小的切线过? ?2,3?, 斜率 k=-1, 11 ∴斜率最小的切线方程为 x+y- =0. 3 (2)由(1)得 k≥-1, ∴tan α≥-1, π 3π ∴α∈?0, ?∪? ,π?. 2? ? 4 ? ? 1 1.下面四个图象中,有一个是函数 f(x)= x3+ax2+(a2-1)x+1(a∈R)的导函数 y=f′(x) 3 的图象,则 f(-1)=( )

1 A. 3 7 C. 3

2 B.- 3 1 5 D.- 或 3 3

解析:选 D.∵f′(x)=x2+2ax+a2-1,∴f′(x)的图象开口向上,则②④排除.若 f′(x) 5 的图象为①, 此时 a=0, f(-1)= ; 若 f′(x)的图象为③, 此时 a2-1=0, 又对称轴 x=-a>0.∴a 3 1 =-1,∴f(-1)=- . 3 2.曲边梯形由曲线 y=x2+1,y=0,x=1,x=2 所围成,过曲线 y=x2+1(x∈[1,2]) 上一点 P 作切线,使得此切线从曲边梯形上切出一个面积最大的普通梯形,则这一点的坐 标为( ) 3 ? A.? ?2,2? 5 13? C.? ?2, 4 ? 3 13? B.? ?2, 4 ? 5 ? D.? ?2,2?

2 解析:选 B.设 P(x0,x0 +1),x0∈[1,2],则易知曲线 y=x2+1 在点 P 处的切线方程为 2 2 y-(x2 0+1)=2x0(x-x0),∴y=2x0(x-x0)+x0+1.设 g(x)=2x0(x-x0)+x0+1,则 g(1)+g(2)=

2(x2 0+1)+2x0(1-x0+2-x0),∴S

g(1)+g(2) 3?2 2 ? x - = × 1 =- x + 3 x + 1 =- 普通梯形 0 0 ? 0 2? + 2

3 13? 13 ,∴点 P 坐标为? ?2, 4 ?时,S 普通梯形最大. 4 3.已知 f1(x)=sin x+cos x,记 f2(x)=f1′(x),f3(x)=f2′(x),…,fn(x)=fn-1′(x)(n∈N*, π π π n≥2),则 f1? ?+f2? ?+…+f2 016? ?=________. ?2? ?2? ?2? 解析:f2(x)=f1′(x)=cos x-sin x, f3(x)=(cos x-sin x)′=-sin x-cos x, f4(x)=-cos x+sin x,f5(x)=sin x+cos x, 以此类推,可得出 fn(x)=fn+4(x), 又∵f1(x)+f2(x)+f3(x)+f4(x)=0, π π π ∴f1? ?+f2? ?+…+f2 016? ? ?2? ?2? ?2? =504?f1? π? ?π? ?π? ?π?? ? ? 2 ?+f2? 2 ?+f3? 2 ?+f4? 2 ??=0.

答案:0 4.(2015· 浙江宁波四中高三月考)给出定义:若函数 f(x)在 D 上可导,即 f′(x)存在,且 导函数 f′(x)在 D 上也可导,则称 f(x)在 D 上存在二阶导函数,记 f″ (x)=(f′(x))′.若 f″(x)<0 在 π D 上恒成立, 则称 f(x)在 D 上为凸函数. 以下四个函数在?0, ?上是凸函数的是________(把 2? ? 你认为正确的序号都填上).

①f(x)=sin x+cos x;②f(x)=ln x-2x;③f(x)=-x3+2x-1;④f(x)=xex. π 解析:①中,f′(x)=cos x-sin x,f″(x)=-sin x-cos x=- 2sin?x+ ?<0 在区间 ? 4?

?0,π?上恒成立;②中,f′(x)=1-2(x>0),f″(x)=- 12<0 在区间?0,π?上恒成立;③ x x 2? 2? ? ?
π 中, f′(x)=-3x2+2, f″(x)=-6x 在区间?0, ?上恒小于 0.故①②③为凸函数. ④中, f′ 2? ? π (x)=ex+xex,f″(x)=2ex+xex=ex(x+2)>0 在区间?0, ?上恒成立,故④中函数不是凸函 2? ? 数. 答案:①②③ 5.已知函数 f(x)=x3+x-16. (1)求曲线 y=f(x)在点(2,-6)处的切线的方程; (2)直线 l 为曲线 y=f(x)的切线,且经过原点,求直线 l 的方程及切点坐标; 1 (3)如果曲线 y=f(x)的某一切线与直线 y=- x+3 垂直,求切点坐标与切线的方程. 4 解:(1)可判定点(2,-6)在曲线 y=f(x)上. ∵f′(x)=(x3+x-16)′=3x2+1. ∴f(x)在点(2,-6)处的切线的斜率为 k=f′(2)=13. ∴切线的方程为 y=13(x-2)+(-6), 即 y=13x-32. (2)设切点为(x0,y0), 则直线 l 的斜率为 f′(x0)=3x2 0+1, ∴直线 l 的方程为 3 y=(3x2 0+1)(x-x0)+x0+x0-16, 又∵直线 l 过点(0,0), 2 ∴0=(3x0 +1)(-x0)+x3 0+x0-16, 3 整理得,x0=-8,∴x0=-2, ∴y0=(-2)3+(-2)-16=-26, k=3×(-2)2+1=13. ∴直线 l 的方程为 y=13x,切点坐标为(-2,-26). 1 (3)∵切线与直线 y=- x+3 垂直, 4 ∴切线的斜率 k=4. 设切点的坐标为(x0,y0), 则 f′(x0)=3x2 1. 0+1=4,∴x0=±
? ? ?x0=1 ?x0=-1, ∴? 或? ?y0=-14 ? ?y0=-18, ?

即切点坐标为(1,-14)或(-1,-18), 切线方程为 y=4(x-1)-14 或 y=4(x+1)-18. 即 y=4x-18 或 y=4x-14.

2 6.(选做题)已知函数 f(x)=x- ,g(x)=a(2-ln x)(a>0).若曲线 y=f(x)与曲线 y=g(x) x 在 x=1 处的切线斜率相同,求 a 的值.并判断两条切线是否为同一条直线. 解:根据题意有: 曲线 y=f(x)在 x=1 处的切线斜率为 f′(1)=3, 曲线 y=g(x)在 x=1 处的切线斜率为 g′(1)=-a. 所以 f′(1)=g′(1),即 a=-3. 曲线 y=f(x)在 x=1 处的切线方程为 y-f(1)=3(x-1), 得 y+1=3(x-1),即切线方程为 3x-y-4=0. 曲线 y=g(x)在 x=1 处的切线方程为 y-g(1)=3(x-1), 得 y+6=3(x-1),即切线方程为 3x-y-9=0, 所以两条切线不是同一条直线.



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第二章第10讲变化率与导数、导数的计算

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高中数学变化率与导数 导数的计算讲义

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