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2013年高二统考理科数学试题答案


绝密★启用前

试卷类型:B

2013 年汕头市高二年级期末统考试题 数学(理科)
本试卷共 6 页,21 小题,满分 150 分.考试用时 120 分钟. 注意事项: 1.答卷前,考生首先检查答题卡是否整洁无缺损,监考教师分发的考生信息条形码是否正确;之后务必用 0.5 毫米黑色字迹 的签字笔在答题卡指定位置填写自己的学校、姓名和考生号,同时,将监考教师发放的条形码正向准确粘贴在答题卡的贴 条形码区,请保持条形码整洁、不污损. 2.选择题每小题选出答案后,用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑,如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其它答 案,答案不能答在试卷上.不按要求填涂的,答案无效. 3.非选择题必须用 0.5 毫米黑色字迹的签字笔作答,答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上,请注意每题答题空 间,预先合理安排;如需改动,先划掉原来的答案,然后再写上新的答案;不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答的 答案无效. 4.作答选做题时,请先用 2B 铅笔填涂选做题的题号对应的信息点,再做答.漏涂、错涂、多涂的答案无效. 5.考生必须保持答题卡的整洁,考试结束后,将答题卡交回.

2013.7

1 参考公式:① 体积公式: V柱体 ? S ? h,V锥体 ? S ? h ,其中 V , S , h 分别是体积、底面积和高; 3 一、选择题: (本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分.在每小题给出的四个选项中,选出符合题目要求的一项.)
1.已知全集 U ? R ,集合 A ? { x | 0 ? 2 ? 1} , B ? {x | log3 x ? 0} ,则 A ? CU B ? (
x



A. { x | x ? 1}

B. { x | x ? 0}
2

C. { x | 0 ? x ? 1}
3

D. { x | x ? 0} )

2.已知 i 是虚数单位,则复数 z ? i+2i ? 3i 所对应的点落在(

A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 3.沿一个正方体三个面的对角线截得的几何体如图所示,则该几何体的左视图为(



A.

B.

C.

D.

?x ? y ? 1 ? 2 x? y 4. 已知变量 x, y 满足约束条件 ? x ? 1 ? 0 ,则 e 的最大值是( ?x ? y ? 1 ?
A. e
3



B. e

2

C. 1

D. e

?4

5.双曲线

x2 y 2 ? ? 1 的渐近线与圆 x2 ? ( y ? 2)2 ? 1相切, a 2 b2
) C. 2 D. 3 ) D. 3



s=0,n=1 n≤ 2013? 是 n? s = s + sin 3 n = n +1 否
输 s 结

则双曲线离心率为( A. 2

B. 3

6.阅读下面程序框图,则输出结果 s 的值为( A.

1 2

B.

3 2

C. ? 3

7.在下列命题中,

①“ ? ?

? ”是“ sin ? ? 1 ”的充要条件; 2

②(

x3 1 4 ? ) 的展开式中的常数项为 2 ; 2 x
1 ? p; 2

③设随机变量 ? ~ N (0,1) ,若 P(? ? 1) ? p ,则 P(?1 ? ? ? 0) ?

④已知命题 p: ?x ? (0, ??),3x ? 2x ; 命题 q: ?x ? (??,0),3x ? 2 x ,则命题 p ? (?q) 为 真命题; 其中所有正确命题的序号是 A.①②④ B.②③ ( ) C.②③④

D.①③④

8. 设 Q 为 有 理 数 集 , a, b ? Q , 定 义 映 射 f a,b : Q ? Q , x ? ax ? b , 则 f a,b ? f c,d 定 义 为 Q 到 Q 的 映 射 :

( f a,b ? f c,d )(x) ? f a,b ( f c,d ( x)) ,则 ( f a,b ? f c,d ) ? (
A. f ac ,bd B. f a ?c ,b? d C. f ac ,ad ?b



D. f ab ,cd

二、填空题: (本大共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分,把答案填在答题卡的相应位置. )
(一)必做题(9~13 题) 9.抛物线 y ? x 2 的焦点坐标为 . . .

10. 函数 y ? x 2 ? 2 x ? 3 在点 M (2,?3) 处的切线方程为 11.若向量 , , 满足 ∥ 且 ⊥ ,则 ?( +2 )=

12.我们知道,任何一个三角形的任意三条边与对应的三个内角满足余弦定理,比如:在 ?ABC 中,三条边 a, b, c 对应的内角分 别为 A、B、C ,那么用余弦定理表达边角关系的一种形式为: a ? b ? c ? 2bc cos A , 请你用规范合理的文字叙述余弦定
2 2 2

理(注意,表述中不能出现任何字母) :
13.不等式

2x ? 1 ? 2x ? 1 解集为___

____.
C

(二)选做题(14~15 题,考生只能从中选做一题) 14. (坐标系与参数方程)在极坐标系中,以点 ( 2, 半径为 2 的圆的极坐标方程为 .

?
2

A

) 为圆心,
E O

15.如图,⊙ O 中的弦 CD 与直径 AB 相交于点 E , M 为 AB 延长线 上一点, MD 为⊙ O 的切线, D 为切点,若 AE ? 2 , DE ? 4 , CE ? 3 ,
D

B

M

DM ? 4 ,则 OB ? ________,

MB ?



三.解答题: (本大题共 6 小题,满分 80 分.解答须写出文字说明,证明过程或演算步骤)
16.(本小题共 12 分)已知等差数列 {an } 的前 n 项和为 Sn , a 2 ? 4 , S 5 ? 35 . (Ⅰ)求数列 {an } 的前 n 项和 Sn ; (Ⅱ)若数列 {bn } 满足 bn ? p
an

( p ? 0) ,求数列 {bn } 的前 n 项的和 Tn .
3

17. (本小题满分 12 分)空气质量指数 PM 2.5 (单位: ? g / m )表示每立方米空气中可入肺颗粒物的含量,这个值越高,就代表 空气污染越严重:

甲、乙两城市 2013 年 2 月份中的 15 天对空气质量指数 PM 2.5 进行监测,获得 PM 2.5 日均浓度指数数据如茎叶图所示: (Ⅰ)根据你所学的统计知识估计甲、乙两城市 15 天 内哪个城市空气质量总体较好?(注:不需说明理由) (Ⅱ)在 15 天内任取 1 天,估计甲、乙两城市 空气质量类别均为优或良的概率; (Ⅲ) 在乙城市 15 个监测数据中任取 2 个, 设 X 为空气质 量类别为优或良的天数,求 X 的分布列及数学期望. 18.(本小题满分 14 分)已知函数 f ( x) ? 2sin x ? sin( 甲城市 3 4 6 7 8 9 0224 896 151 8 230 8 乙城市 3 5 6 7 8 9 204 5 4 697 807 1809

? ? x) ? 2sin 2 x ? 1 ( x ? R) . 2

(Ⅰ)求函数 f ( x ) 的最小正周期及函数 f ( x ) 的单调递增区间;

(Ⅱ)若 f (

π π x0 2 x0 ? ( ? , ) ,求 cos 2 x0 的值. )? , 4 4 2 3 5? , 12

(Ⅲ) 在锐角 ?ABC 中,三条边 a, b, c 对应的内角分别为 A、B、C ,若 b ? 2 , C ?

且满足 f (

A ? 2 , 求 ?ABC 的面积。 ? )? 2 8 2

19. (本小题满分 14 分)在四棱锥 P ? ABCD 中, PA ? 平面 ABCD , ?ABC 是正三角形, AC 与 BD 的交点 M 恰好是 AC 中点, 又 PA ? AB ? 4 , ?CDA ? 120? ,点 N 在线段 PB 上,且 PN ? 2 . (Ⅰ)求证: BD ? PC ; (Ⅱ)求证: MN / / 平面 PDC ; (Ⅲ)求二面角 A ? PC ? B 的余弦值.
N P

A D M B

x2 y 2 M : 2 ? 2 ? 1 (a ? b ? 0) 的离心率 20.(本小题满分 14 分)已知椭圆 C : a b
椭圆的两个焦点构成的三角形周长为 16 (Ⅰ)求椭圆 M 的方程;

C

3 e ? ,且椭圆上一点与 5

(Ⅱ)若 O ? 0,0? 、 P ? 2,2? ,试探究在椭圆 C 内部是否存在整点 Q (平面内横、纵坐标均为整数的点称为整点),使得 ?OPQ 的面 积 S?OPQ ? 4 ?若存在,请指出共有几个这样的点?并说明理由(不必具体求出这些点的坐标).
21. (本小题满分 14 分)设函数

f (x)=x2 +bln (x+1) ,其中 b≠0。

(Ⅰ)当 b>

1 时,判断函数 f (x) 在定义域上的单调性; 2

(Ⅱ)求函数 f (x) 的极值点; (Ⅲ)证明对任意的正整数 n,不等式 ln (

1 1 1 +1)> 2 - 3 都成立。 n n n

2013 年高二统考理科数学试题答案
一、选择题:DCBBCDCC 二、填空题:

9、 ? 0, ?

? ?

1? 4?

10、 x ? y ? 5 ? 0

11、0

12、三角形的任意一边的平方等于另外两边的平方和与这两边以及它们的夹角的余弦的乘积的 2 倍的差, (本题可以酌情给分,得 分 0 分,4 分,5 分) (对于文字表达不太规范的可以考虑给 4 分) 13、 ? x | x ?

? ?

1? ? 2?

14、 ? ? 4 sin ?

15、 4,

4 2 ?4

三、解答题: 16、解: (Ⅰ)设数列 {an } 的首项为 a1,公差为 d.

?a1 ? d ? 4 ? 则? ………………4 分 5(5 ? 1) 5 a ? d ? 35 1 ? ? 2
∴?

? a1 ? 1 , ?d ? 3

………………5 分

∴ an ? 3n ? 2 .………………6 分 ∴ 前 n 项和

Sn ?

n(1 ? 3n ? 2) n(3n ? 1) ? . 2 2
∴ bn ? p 3n?2 ,且

………………7 分

(Ⅱ)∵ an ? 3n ? 2 , 当 n≥2 时,

b1 ? p

? p ? 0?

………………8 分

bn p 3n ? 2 ? 3( n?1)?2 ? p 3 为定值, bn?1 p

………………9 分

∴ 数列 {bn } 构成首项为 p ,公比为 p 3 的等比数列. 所以

………………10 分

(1)当 p 3 ? 1 ,即 p ? 1 时, Tn ? n ………………11 分 (2)当 p 3 ? 1 ,即 p ? 1 时数列 {bn } 的前 n 项的和是

Tn ?

p(1 ? p 3n ) p 3n?1 ? p . ………………12 分 ? 1 ? p3 p3 ?1

17、 (本小题满分 12 分) 解: (Ⅰ)甲城市空气质量总体较好. ………………………………4 分

( Ⅱ ) 甲 城 市 在 15 天 内 空 气 质 量 类 别 为 优 或 良 的 共 有 10 天 , 任 取 1 天 , 空 气 质 量 类 别 为 优 或 良 的 概 率 为

10 2 ? ,………………………………………………………………………5 分 15 3
乙 城 市 在 15 天 内 空 气 质 量 类 别 为 优 或 良 的 共 有 5 天 , 任 取 1 天 , 空 气 质 量 类 别 为 优 或 良 的 概 率 为

5 1 ? ,…………………………………………………………… ………6 分 15 3
在 15 天内任取 1 天,估计甲、乙两城市空气质量类别均为优或良的概率为

2 1 2 ? ? . 3 3 9

………………………………………………………………… ……… ………8 分 (Ⅲ) X 的取值为 0,1,2 ,…………………………… ……… …………9 分

P( X ? 0) ?

2 0 1 1 C50 C10 C52 C10 C5 C10 10 3 2 ? P ( X ? 1 ) ? ? P ( X ? 0 ) ? ? , , 2 2 2 C15 21 7 21 C15 C15

X 的分布列为: X P

……………………11 分

0
3 7

1

2

10 21 3 10 2 2 数学期望 EX ? 0 ? ? 1? ? 2? ? 7 21 21 3

2 21
……………………12 分

18、解: f ( x) ? 2sin x ? cos x ? 2sin 2 x ? 1 …………………………… ……… …………1 分

π ? sin 2 x ? cos 2 x ? 2 sin(2 x ? ) .………………… ……… …………3 分 4 2π ? π . ………………………… ……… …………4 分 (Ⅰ)函数 f ( x ) 的最小正周期 T ? 2
(Ⅱ)解法一:由已知得 f (

x0 2 ………………… …………6 分 ) ? sin x0 ? cos x0 ? 2 3 ,
2 9
所以 sin 2 x0 ? ?

两边平方,得 1 ? sin 2 x0 ? 因为 x0 ? ( ?

π π ? π , ) ,所以 2 x0 ? (? , ) .………………… …………8 分 4 4 2 2

7 9

………………… …………7 分

所以 cos 2 x0 ? 1 ? (? ) ?
2

7 9

4 2 . 9

………………… …………9 分

解法二:因为 x0 ? ( ? 又因为 f (

π π π π , ) ,所以 x0 ? ? (0, ) . 4 4 4 2

………………… …………5 分

x0 x π π 2 …………… …………6 分 ) ? 2 sin(2 ? 0 ? ) ? 2 sin( x0 ? ) ? 2 2 4 4 3 ,
π 1 π 1 2 2 ) ? . 所以 cos( x0 ? ) ? 1 ? ( ) 2 ? . ………… …………7 分 4 3 4 3 3

得 sin( x0 ?

所以, cos 2 x0 ? sin(2 x0 ?

?

π π π ) ? sin[2( x0 ? )] ? 2sin( x0 ? ) cos( x0 ? ) 2 4 4 4

1 2 2 4 2 . ………………… …………9 分 ? 2? ? ? 3 3 9
(Ⅲ)因为 f ( 所以 sin A ?

A ? ?? 2 ? A ? ……… …………10 分 ? ) ? 2 sin? 2( ? ) ? ? ? 2 sin A ? 2 8 4? 2 ? 2 8

1 ? ,又因为 ?ABC 为锐角三角形,所以 A ? ……… …………11 分 2 6 5? 5? 所以由 A ? B ? C ? ? ,且 C ? 得到: B ? ……… …………12 分 12 12 1 1 ? 所以 b ? c ? 2 ,且 ?ABC 的面积 S ? bc sin A ? ? 2 ? 2 ? sin ? 1 ………………14 分 2 2 6
19、证明:(I) 因为 ?ABC 是正三角形, M 是 AC 中点, 所以 BM ? AC ,即 BD ? AC ………………1 分 又因为 PA ? 平面ABCD , BD ? 平面 ABCD , PA ? BD ………………2 分 又 PA ? AC ? A ,所以 BD ? 平面 PAC ………………3 分 又 PC ? 平面 PAC ,所以 BD ? PC ………………4 分 (Ⅱ)在正三角形 ABC 中, BM ? 2 3 ………………5 分 在 ?ACD 中,因为 M 为 AC 中点, DM ? AC ,所以 AD ? CD

?CDA ? 120? ,所以 DM ?

2 3 ,所以 BM : MD ? 3 : 1………………6 分 3

在等腰直角三角形 PAB 中, PA ? AB ? 4 , PB ? 4 2 , 所以 BN : NP ? 3 :1 , BN : NP ? BM : MD ,所以 MN / / PD ………………8 分 又 MN ? 平面 PDC , PD ? 平面 PDC ,所以 MN / / 平面 PDC ………………9 分 (Ⅲ)因为 ?BAD ? ?BAC ? ?CAD ? 90? , 所以 AB ? AD ,分别以 AB, AD, AP 为 x 轴, 所以 B(4,0,0), C (2,2 3,0), D(0,

y 轴, z 轴建立如图的空间直角坐标系,

4 3 ,0), P(0,0,4) ………………10 分 3

由(Ⅱ)可知, DB ? (4, ?

??? ?

4 3 ,0) 为平面 PAC 的法向量………………11 分 3
z P N

??? ? ??? ? PC ? (2,2 3, ?4) , PB ? (4,0, ?4) ? 设平面 PBC 的一个法向量为 n ? ( x, y, z) , ? ? ??? ?n ? PC ? 0 ?2 x ? 2 3 y ? 4 z ? 0 ? ? 则 ? ? ??? ,即 ? , ? 4 x ? 4 z ? 0 ? n ? PB ? 0 ? ? ? ?

A M

D C

y

B x

令 z ? 3, 则平面 PBC 的一个法向量为 n ? (3, 3,3) ………………12 分 设二面角 A ? PC ? B 的大小为 ? (显然为锐角),

? ? ??? n ? DB 7 ? ? 则 cos ? ? ? ??? 7 n ? DB
所以二面角 A ? PC ? B 余弦值为

7 ………………14 分 7

20、解:(Ⅰ)设椭圆 C 的半焦距为 c ,由题意可知道:

?2a ? 2c ? 16 ? , ?c 3 ? ? ?a 5
2 2

解得 ?

?a ? 5 ……… …………3 分 ?c ? 3

又因为 a ? b ? c ,所以 b ?
2

a2 ? c2 ? 4

x2 y2 ? ? 1 ……… …………6 分 所以椭圆的方程为 25 16
(Ⅱ)依题意 OP ? 2 2 ,直线 OP 的方程为 y ? x , ……… …………7 分 因为 S?OPQ ? 4 ,所以 Q 到直线 OP 的距离为 2 2 ,……… …………8 分 所以点 Q 在与直线 OP 平行且距离为 2 2 的直线 l 上, 设l : y ? x ?m, 则

m 2

? 2 2 ,解得 m ? ?4

……… …………10 分

?y ? x ? 4 ? 当 m ? 4 时,由 ? x 2 y 2 , ? ? 1 ? ? 25 16

消元得 41x ? 200 x ? 0 ,即 ?
2

200 ? x ? 0 ……… …………12 分 41

又 x ? Z ,所以 x ? ?4, ?3, ?2, ?1 ,相应的 y 也是整数,此时满足条件的点 Q 有 4 个. 当 m ? ?4 时,由对称性,同理也得满足条件的点 Q 有 4 个. ……… …………13 分 综上,存在满足条件的点 Q ,这样的点有 8 个. ……… …………14 分 21、解:(Ⅰ)由题意可知:函数 f ( x) 的定义域为 (?1,??) ,……… …………1 分 且 f ( x) ? 2 x ?
/
2

b 2x 2 ? 2x ? b ? ……… …………2 分 x ?1 x ?1
1 2
2

设 g ( x) ? 2 x ? 2 x ? b ? 2( x ? ) ? b ?

1 1 ? 0 恒成立 (b ? ) 2 2

所以 f / ( x) ? 0 对任意 x ? (?1,??) 恒成立, 函数 f (x) 在定义域上是增函数;……… …………3 分 (Ⅱ) ① 显然由(Ⅰ)可知:当 b>

1 时,函数无极值点;……… …………4 分 2

1 ②当 b ? 时, f / ( x) ? 2

1 2( x ? ) 2 2 ? 0 恒成立, x ?1

所以函数在定义域上单调递增,无极值点;……… …………5 分 ③当 b ?

1 时, f / ( x) ? 0 有两个不同的解 2

x1 ?

? 1 ? 1 ? 2b , 2

x2 ?

? 1 ? 1 ? 2b 2

(A)显然? b ? 0 时, x1 ? ?1 , x2 ? 0 ,即 x1 ? (??,?1), x2 ? (?1,??),

? b ? 0 时, f / ( x), f ( x) 的变化情况如下表:

x
f / ( x)
f ( x)

(?1, x 2 )
单调递减

x2
0 极小值

( x 2 ,??)
+ 单调递增

/ ?b ? 0 由此表可知:当 f 时, ( x), f ( x) 有唯一的极小值点 x2 ?

? 1 ? 1 ? 2b ……7 分 2

(B)当 0 ? b ?
/

1 ? 1 ? 1 ? 2b ? ?1, x1 , x2 ? (?1,??), 时, x1 ? 2 2

此时 f ( x), f ( x) 的变化情况如下表:

x
f / ( x)
由 此 表 可 知 : 当

(?1, x1 )
+ 单调递增

x1
0 极大值

( x1 , x2 )
单调递减

x2
0 极小值

( x 2 ,??)
+ 单调递增

f ( x)

1 0 ? b ? f /时, ( x), f ( x) 有 2

一个的极大值点 x1 ? 一个的极小值点 x2 ?

? 1 ? 1 ? 2b , 2 ? 1 ? 1 ? 2b ……… …………9 分 2

/ ? b ? 0 f时 综上:①当 (, x), f ( x) 有 唯 一 的 极 小 值 点 x2 ?

? 1 ? 1 ? 2b 2

②当 0?b ?

1 / f时(, x), f ( x) 有 一 个 的 极 大 值 点 2

x1 ?

? 1 ? 1 ? 2b ? 1 ? 1 ? 2b ,一个的极小值点 x2 ? 2 2
1 时,函数 f ( x) 无极值点……… …………10 分 2

③当 b ?

? b ? ?1 时,函数 f ( x) ? x 2 ? ln(x ? 1) ,令 h( x) ? x 3 ? f ( x) ? x 3 ? x 2 ? ln(x ? 1) (Ⅲ)当
则 h ( x) ? 3x ? 2 x ?
/ 2

1 3x 2 ? ( x ? 1) 2 ? ,……… …………11 分 x ?1 x ?1

所以当 x ? (0,??) 时, h / ( x) ? 0 ,所以函数 h( x) 在 x ? [0,??) 上是增函数,所以当 x ? (0,??) 时, h( x) ? h(0) ? 0 即 x 3 ? x 2 ? ln(x ? 1) 恒成立,故当 x ? (0,??) 时, ln(x ? 1) ? x 2 ? x 3 。……………13 分 所以对任意正整数 n ,取 x ?

1 1 1 1 ? (0,?? ) ,则有不等式 ln ( +1)> 2 - 3 都成立…14 分 n n n n



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