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3.1.2概率的意义(人教A版必修三)


第三章
3.1





随机事件的概率 概率的意义

3.1.2

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正确理解概率的意义,并能利用概率知识正确解 释现实生活中的实验问题.
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> 基础梳理
1.概率的概念:对于给定的随机事件A,如果随着试 验次数的增加,事件A发生的频率fn(A)稳定在__________ 某个常数上, 常数记作 P(A) 概率 A的__________. 把这个____________ ,称为事件 例如:投掷一枚骰子一点向上的概率为______.
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1 2.概率的正确理解:概率是描述随机事件发生的 6
____________,事件A的概率P(A)越大,其发生的 ________________;概率P(A)越小,事件A发生的 可能性大小的度量 ________________ 可能性就越大 . 可能性就越小

3.概率的实际应用:知道随机事件的概率的大小, 有利我们做出正确的________ 决策 ,还可以判断某些决策或规 则的____________ . 正确性与公平性
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4 .游戏的公平性:应使参与游戏的各方的机会为
________ ,即各方的概率相等,根据这一要求确定游戏规 等可能的

则才是公平的.
5 .决策中的概率思想:以使得样本出现的可能性

________ 最大 为决策的准则.

6.天气预报的概率解释:降水的概率是指降水
的这个随机事件出现的可能,而不是指某些区域有降 水或能不能降水.
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自测自评
1.下列说法正确的是( B ) A.某事件发生的频率为P(A)=1.1 B.不可能事件的概率为0,必然事件的概率为1 C.小概率事件就是不可能发生的事件,大概率事件 就是必然要发生的事件 D.某事件发生的概率是随着试验次数的变化而变化 的
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2.抛掷一个骰子观察点数,若“出现2点”这个事 件发生,则下列事件发生的是(B A.“出现奇数点” ) B.“出现偶数点”
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C.“点数大于3”

D.“点数是3的倍数”

3.高一(18)班有 60 名学生,选举 10 名学生组成 1 班委会,每个学生能进入班委会的概率为 ,其中解释 6 正确的是( B ) A.6 个学生中,必有 1 个学生进入班委会 1 B.每个学生进入班委会的可能性为 6

C.若18班一组共有12名学生,该组被选进班委会的 人数一定是2 D.以上说法都不正确 4 .先后抛掷两枚均匀的一分、贰分的硬币,观察落 地后硬币的正反面情况,则下列哪个事件的概率最大A ( A.至少一枚硬币正面向上 B.只有一枚硬币正面向上 C.两枚硬币都是正面向上 )
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D.硬币一枚正面向上,另一枚反面向上
5.在一次考试中,某班学生的及格率是80%,这里所说

频率 的80%是________( 填“概率”或“频率”).

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题型一 对随机试验的理解 例1 下列随机事件中,一次试验是指什么?它们各

有几次试验? (1)一天中,从北京开往广州的8列列车,全部正点到 达; (2)抛20次质地均匀的硬币,硬币落地时有11次正面 向上; (3)某人射击10次,恰有8次中靶;
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(4)某人购买彩票10注,其中有2注中三等奖,其余8注
没中奖.

解析:(1)一列列车开出就是一次试验;共做了8次试

验;
(2)抛一次硬币就是一次试验,共做了20次试验; (3)射击一次就是一次试验,共做了10次试验;
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(4)购买一注彩票就是一次试验,共做了10次试验;
点评:所谓一次试验就是将事件的条件实现一次.

跟 踪 训 练 1.有两颗正四面体的玩具,其四个面上分别标有数 字1,2,3,4,下面做投掷这两颗正四面体玩具的试验:用 (x,y)表示结果,其中x表示第1颗正四面体玩具出现的点
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数,y表示第2颗正四面体玩具出现的点数.试写出:
(1)试验的基本事件;

(2)事件“出现点数之和大于3”;
(3)事件“出现点数相等”.

解析:(1)这个试验的基本事件为:
(1,1),(1,2),(1,3),(1,4), (2,1),(2,2),(2,3),(2,4),
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(3,1),(3,2),(3,3),(3,4),
(4,1),(4,2),(4,3),(4,4). (2)事件“出现点数之和大于3”包含13个基本事件: (1,3),(1,4),(2,2),(2,3),(2,4),(3,1),(3,2), (3,3),(3,4),(4,1),(4,2),(4,3),(4,4).

(3)事件“出现点数相等”包含4个基本事件:
(1,1),(2,2),(3,3),(4,4).

题型二 随机试验的结果与随机事件的概率
例 2 先后抛掷两枚均匀的硬币. (1)一共可以出现多少种等可能的不同的结果? (2)出现“一枚正面,一枚反面”的结果有多少种? (3)出现“一枚正面,一枚反面”的概率是多少? (4)有人说,“一共可能出现‘2 枚正面’、‘2 枚反面’、 ‘1 枚正面,1 枚反面’这三种结果,因此出现‘1 枚正面,1 枚 1 反面’的概率是 ”,这种说法对不对? 3 解析:(1)共出现“2 枚正面”、“2 枚反面”、“第 1 枚正面, 第 2 枚反面”和“第 1 枚反面,第 2 枚正面”4 种不同的结果. (2)出现“1 枚正面,1 枚反面”的结果有 2 种. 1 (3) . 2

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(4)不对,这是因为“1 枚正面,1 枚反面”这一事件是 1 1 两个试验结果组成,这一事件发生的概率为 而不是 . 2 3

点评:随机事件在一次试验中发生与否是随机的,但
随机中含有规律性,而概率恰是其规律性在数量上的反映, 概率是客观存在的,它与试验次数,哪一个具体的试验都 没有关系,运用概率知识,可以帮助我们澄清日常生活中 人们对一些现象的错误认识.

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跟 踪 训 练
2.在 1,2,3,4 四个数中,可重复选取两个数,其中一个 数是另一个数的 2 倍的概率是( C ) 2 1 1 1 A. B. C. D. 3 2 4 8

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题型三 对概率的理解 例3 在生活中,我们有时要用抽签的方法来决定一
件事情,例如5张票中有1张奖票,5个人按照顺序从中各 抽1张以决定谁得到其中的奖票,那么,先抽还是后抽 (后抽人不知道先抽人抽出的结果)对各人来说公平吗? 也就是说,各人抽到奖票的概率相等吗? 解析:不妨把问题转化为排序问题,即把5张票随机 地排列在位置1,2,3,4,5上.对于这张奖票来说,由于是 随机排列的,因此它的位置有五种可能,故它排在任一位 置上的概率都是1/5.5个人按排定的顺序去抽,
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比如甲排在第三位上,那么他抽得奖票的概率,即奖票恰 好排在第三个位置上的概率为1/5.因此,不管排在第几位 上去抽,在不知前面的人抽出结果的前提下,得到奖票的
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概率都是1/5.因此,先抽后抽对各人来说都是公平的.
点评:概率的本质属性是:从数量上反映出一个事件 发生的可能性的大小,它的范围是 [0,1] ,即任何一个事 件A的概率都满足0≤P(A)≤1.

跟 踪 训 练 3.已知使用一剂某种药物治疗某种疾病治愈的概率 为90%,则下列说法正确的是( C )
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A.如果有100个这种病人各使用一剂这样的药物则有 90人会治愈 B.如果一个这样的病人服用两剂这样的药物就一定 会治愈 C.说明一剂这种药物治愈这种疾病的可能性是90% D.以上说法都不对

题型四 概率的简单应用
例4 为了估计水库中鱼的尾数,可以使用以下的方 法:先从水库中捕出一定数量的鱼,例如2 000尾,给每

尾鱼作上记号,不影响其存活,然后放回水库.经过适
当时间,让其和水库中其余的鱼充分混合,再从水库中 捕出一定数量的鱼,例如500尾,查看其中有记号的鱼,

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设有40尾,试根据上述数据估计水库内鱼的尾数.
解析:设水库中鱼的尾数为 n,n 是未知的,现在要估计 n 的值,将 n 的估计值记作 n.假定每尾鱼被捕的可能性是相等的, 从库中任捕一尾, 2 000 设事件 A={带有记号的鱼},易知 P(A)≈ n .①

第二次从水库中捕出 500 尾,观察其中带有记号的鱼有 40 尾,即事件 A 发生的频数 m=40,由概率的统计定义可知 40 P(A)≈ .② 500 2 000 40 由①②两式,得 ≈ , n 500 解得 n≈25 000,即 n=25 000. 所以,估计水库中约有鱼 25 000 尾. 点评:由于概率体现了随机事件发生的可能性,所以, 可用样本出现的频率来近似地估计总体中该结果出现的概 率.

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跟 踪 训 练 4.某水产试验厂实行某种鱼的人工孵化,10 000个

鱼卵能孵出8 513尾鱼苗,根据概率的统计定义解答下列
问题: (1)求这种鱼卵的孵化概率(孵化率). (2)30 000个鱼卵大约能孵化多少尾鱼苗?
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(3)要孵化5 000尾鱼苗,大概得备多少鱼卵(精确到
百位)?

跟 踪 训 练
解析:(1)这种鱼卵的孵化频率为 的为孵化的概率. 8 513 (2)设能孵化 x 个,则 = ,∴x=25 539, 30 000 10 000 即 30 000 个鱼卵大约能孵化 25 539 尾鱼苗. 5 000 8 513 (3)设需备 y 个鱼卵,则 = ,∴y≈5 873, y 10 000 即大概得准备 5 873 个鱼卵. 8 513 =0.851 3,它近似 10 000

x

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