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浙江省绍兴一中2014-2015学年第二学期高一期末数学试卷 Word版含解析


绍兴一中 2014 学年第二学期期末考试 高一数学试卷
一、选择题:本大题共 8 小题,每小题 4 分,共 32 分。在每小题给出的四项中,只有一项是 符合题目要求的。 1.已知向量 a ? ( 2,1) , b ? ( x,?2) ,若 a // b ,则 a ? b 等于 A. ? ?3,1? B. ? 3, ?1? C. ? 2,1? D. ? ?2, ?1?

r />? ?

? ?

?

?

2.在等比数列 {an } 中, a3 ? a4 ? 4 , a2 ? 2 ,则公比 q 等于 A.-2 B.1 或-2 C.1 D.1 或 2

4 1 3.已知 tanα= ,tan(α-β)=- ,则 tanβ 的值为 3 3 1 A. 3 B.3 C. 9 13 13 D. 9
0

4.两座灯塔 A 和 B 与海洋观察站 C 的距离都等于 akm ,灯塔 A 在观察站 C 的北偏东 20 ,灯 塔 B 在观察站 C 的南偏东 40 ,则灯塔 A 与灯塔 B 的距离为 A. akm B.
0

2akm

C. 2akm

D.

3akm

5. 在 △ ABC 中,内角 A , B ,C 所对应的边分别为 a ,b , c ,若 b sin A ? 3 acos B ? 0 , 且 b ? ac ,则
2

a?c 的值为 b

A.

2 2

B. 2

C.2

D.4
2 1 , 且满足 Sn ? 则 S2015 等 ? 2 ? an ? n ? 2? , 3 Sn

6.已知数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn , 首项 a1 ? ? 于 A. ?

2013 2014

B. ?

2014 2015

C. ?

2015 2016

D. ?

2016 2017
1 ? 4 的最 m n

7.正项等比数列{an}中,存在两项 am、an 使得 aman =4a1,且 a6=a5+2a4,则

小值是
A.

3 2

B.2

C.

7 3
2

D.

25 6

[

8.已知三个正数 a, b, c 满足 a ? b ? c ? 3a , 3b ? a(a ? c) ? 5b ,则
2

b ? 2c 的最小值是 a

A. ?

18 5

B. ?3

C.0

D.不存在

二、填空题:本大题共 6 小题,多空题每小题 4 分,单空题每小题 3 分,共 21 分. 把答案填 在相应的位置上。

0) , B(0 , 3 ) , C ( cos x , sin x ) ,则 9. 在平面直角坐标系 xOy 中,点 A ( ? 1 ,
??? ? AB =


;若 AB ∥ OC , 则 tan x = __▲____.
?

??? ?

??? ?

- 1) 10. 已知 ABCDEF 为正六边形, 若向量 AB ?( 3, , 则 DC ? DE ?
▲ (用坐标表示) .

EC ? FE ? ▲ ;

??? ? ??? ?

11.实数 x,y 满足不等式组

,若 a=4,则 z=2x+y 的最大值为 ▲ ;若不等式组

所表示的平面区域面积为 4,则 a= ▲ . 12. 购买 8 角和 2 元的邮票若干张,并要求每种邮票至少有两张.若小明带有 10 元钱,则小 明有


种买法. ▲

13.若实数 x, y 满足 4x 2 ? 2x ? y 2 ? y ? 0 ,则 2 x ? y 的范围是 14.已知 O 是 ? ABC 外心,若 AO ?

????

2 ???? 1 ???? AB ? AC , 则 cos ?BAC = 5 5



.

三、解答题:本大题共 5 小题.共 47 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15. (本小题满分 9 分) 设平面向量 a = (cos x,sin x) , b ? (cos x ? 2 3,sin x) , c ? (sin ? ,cos ? ) , x ? R . (1)若 a ? c ,求 cos(2 x ? 2? ) 的值; (2)若 ? ? 0 ,求函数 f ( x) ? a ? (b ? 2c) 的最大值,并求出相应的 x 值.

?

?

?

?

?

? ?

?

16. (本小题满分 9 分) 已知等差数列{ an }的公差 d ? 0 , 它的前 n 项和为 Sn , 若 S5 ? 70 ,且 a2 , a 7 ,a 2 2 成等比数列.

(1)求数列{ an }的通项公式; (2)若数列{

1 3 1 }的前 n 项和为 Tn ,求证: ? Tn ? . 6 8 Sn

17.(本小题满分 9 分) 设 集 合 A 为 函 数 y?

x2 ? 2 x ? 8 的 定 义 域 , 集 合 B 为 关 于 x 的 不 等 式

1? 4 ? ax 2 ? ? 4a ? ? x ? ? 0 的解集. a? a ?
(1)求 A; (2)若 B?A,求 a 的取值范围.

18. (本小题满分 10 分) 在 ?ABC 中,内角 A 、 B 、 C 所对的边分别为 a , b , c ,其外接圆半径为 6,

b ? 24 , 1 ? cos B

sin A ? sin C ?

4 3

(1)求 cos B ; (2)求 ?ABC 的面积的最大值.

19. (本小题满分 10 分)

?1 ? an ? n, n为奇数, 已知数列 ?an ? 中, a1 ? 1, an ?1 ? ? 3 ?an ? 3n, n为偶数. ?
(1)求证:数列 ?a2 n ? ? 是等比数列; (2)若 Sn 是数列 ?an ? 的前 n 项和,求满足 Sn ? 0 的所有正整数 n.

? ?

3? 2?

绍兴一中高一期末试卷
一、选择题:本大题共 8 小题,每小题 4 分,共 32 分。在每小题给出的四项中,只有一项是 符合题目要求的。 1 D 2 B
?

3 B
?

4 D

5 C

6 D
? ?

7 A

8 A

1.已知向量 a ? ( 2,1) , b ? ( x,?2) ,若 a // b ,则 a ? b 等于 A. ? ?3,1? 【答案】 D
[

? ?

B. ? 3, ?1?

C. ? 2,1?

D. ? ?2, ?1?

2.在等比数列 {an } 中, a3 ? a4 ? 4 , a2 ? 2 ,则公比 q 等于( A.-2 【答案】B 4 1 3.已知 tanα= ,tan(α-β)=- ,则 tanβ 的值为( 3 3 1 A. 3 [答案] B B.3 C. 9 13 13 D. 9 ) B.1 或-2 C.1 D.1 或 2



4.两座灯塔 A 和 B 与海洋观察站 C 的距离都等于 akm , 灯塔 A 在观察站 C 的北偏东 20 , 灯 塔 B 在观察站 C 的南偏东 40 ,则灯塔 A 与灯塔 B 的距离为 A. akm 【答案】 D 5. 在 △ ABC 中, 内角 A ,B ,C 所对应的边分别为 a ,b ,c , 若 bs i n A ?3a c o s B0? , 且 b ? ac ,则
2

0

0

B.

2akm

C. 2akm

D.

3akm

a?c 的值为( b



A.
【答案】C

2 2

B. 2

C.2

D.4

6.已知数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn ,首项 a1 ? ? 等于 ( A. ? ). B. ?

2 1 ,且满足 Sn ? ? 2 ? an ? n ? 2? ,则 S2015 3 Sn

2013 2014

2014 2015

C. ?

2015 2016

D. ?

2016 2017

【答案】D 【解析】因 Sn ?

1 1 ? 2 ? an ? S n ? S n?1 ? S n?1 ? ? ?2 ,由已知可得 Sn Sn

S1 ?

1 3 ? ?2 ? S 2 ? ? , S2 4
2016 1 4 1 5 ? ?2 ? S 3 ? ? , S 3 ? ? ?2 ? S 4 ? ? ? 可归纳出 S2015 ? ? 2017 S3 5 S4 6

S2 ?

7.正项等比数列{an}中,存在两项 am、an 使得 aman =4a1,且 a6=a5+2a4,则 1 ? 4 的最 m n

小值是( A. 3 2
【答案】A

) B.2 C. 7 3 D. 25 6
[来源:]

2 2 8. 已知三个正数 a, b, c 满足 a ? b ? c ? 3 a, 3b ? a(a ? c) ? 5b ,则

b ? 2c 的最小值是 a





A. ?
【答案】A

18 5

B. ?3

C.0

D.不存在

2 2 【解析】由 a ? b ? c ? 3a 得 1 ? b ? c ? 3 ,由 3b ? a(a ? c) ? 5b 得 3( b )2 ? 1 ? c ? 5( b )2 ,设 a a a a a

?1 ? x ? y ? 3 x ? b , y ? c ,则 x, y 满足 ? 2 ,平面区域如 2 a a ?3x ? 1 ? y ? 5 x

图:令 z ? b ? 2c ? x ? 2 y ,即 y ? 1 x ? 1 z ,所以当 2 2 a
x ? 4 , y ? 11 时, z 有最小值 ? 18 ; 5 5 5

二、填空题:本大题共 6 小题,多空题每小题 4 分,单空题每小题 3 分,共 21 分. 把答案填

在相应的位置上。

0) , B(0 , 3 ) , C ( cos x , sin x ) ,则 9. 在平面直角坐标系 xOy 中,点 A ( ? 1 ,
??? ? AB =


;若 AB ∥ OC , 则 tan x = __▲____.

??? ?

??? ?

答案: (1, 3) ; 3 .

uu u r 10. 已知 ABCDEF 为正六边形,若向量 AB ? ( 3, ?1) ,则 DC ? DE ?
▲ (用坐标表示) . 【答案】 2 3; (2 3,?2)

▲ ; EC ? FE ?

??? ? ??? ?

11.若实数 x,y 满足不等式组

.若 a=4,则 z=2x+y 的最大值为 ▲

;若不等式

组所表示的平面区域面积为 4,则 a= ▲ . 答案:7,6 12. 购买 8 角和 2 元的邮票若干张,并要求每种邮票至少有两张.若小明带有 10 元钱,则小 明有


种买法.

答案:11 13.若实数 x, y 满足 4x 2 ? 2x ? y 2 ? y ? 0 ,则 2 x ? y 的范围是 ▲ 【答案】 [?2, 0]

? ?x ? 1? ? 1? 1 ? ? 2 2 【解析】 由 4x ? 2x ? y ? y ? 0 ? 4 ? x ? ? ? ? y ? ? ? 可设 ? 4? ? 2? 2 ? ?y ? ? ?
2 2

2 1 cos? ? 4 4 ( ? 是参 2 1 sin ? ? 2 2

数),则 2 x ? y ?

2 1 2 1 ?? ? cos? ? ? sin ? ? ? sin ?? ? ? ? 1? x ? y ?[?2,0] 2 2 2 2 4? ?
???? 2 ???? 1 ???? AB ? AC , 则 cos ?BAC = 5 5


14.已知 O 是 ? ABC 外心,若 AO ?

.

【答案】

6 . 4

【解析】取 AB 的中点 D , AC 的中点 E ,连接 OD, OE ,则

cos?BAO ?

AD AO

?

AB 2 AO

, cos ?CAO ?

AE AO

?

AC


2 AO

2 2 1 1 2 1 AO ? AC ? AC ,在 AO ? AB ? AC 两 ? AO ? AB ? AO AB cos?BAO ? AB , 2 2 5 5
[来

边同乘以 AB ,得

2 2 1 2 1 AB ? AB ? AB AC ? cos ?BAC 2 5 5

1 1 AB ? AC cos ?BAC ① 10 5 2 1 3 2 AC ? AB ? cos ?BAC ②, 同理在 AO ? AB ? AC 同乘以 AC 得 5 5 10 5 3 2 由①得 AB ? 2 AC cos?BAC ,代入②得 cos ?BAC ? ,由①知 cos ?BAC ? 0 , 8 ?

? cos?BAC ?

6 . 4

三、解答题:本大题共 5 小题.共 74 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15. (本小题满分 9 分) 设平面向量 a = (cos x,sin x) , b ? (cos x ? 2 3,sin x) , c ? (sin ? ,cos ? ) , x ? R . (1)若 a ? c ,求 cos(2 x ? 2? ) 的值; (2)若 ? ? 0 ,求函数 f ( x) ? a ? (b ? 2c) 的最大值,并求出相应 的 x 值. 【解析】 (1)若 a ? c ,则 a ? c ? 0 ,…………1 分 即 cos x sin ? ? sin x cos ? ? 0,sin ? x ? ? ? ? 0 所以 cos ? 2x ? 2? ? ? 1 ? 2sin
2

?

?

?

?

?

? ?

?

?

?

? ?

…………2 分

? x ? ? ? ? 1. …………4 分

? (2)若 ? ? 0, c ? (0,1) 则 f ( x) ? 1 ? 2sin x ? 2 3 cos x ? 4sin( x ? 2 ? ) ? 1 ,…………6 分 3
所以 f ( x)max ? 5, x ? 2k? ? ? (k ? Z) .…………7+2=9 分 6

16. (本小题满分 9 分) 已知等差数列{ an }的公差 d ? 0 , 它的前 n 项和为 Sn , 若 S5 ? 70 ,且 a2 , a 7 ,a 2 2 成等比数列. (1)求数列{ an }的通项公式; (2)若数列{

1 3 1 }的前 n 项和为 Tn ,求证: ? Tn ? . 6 8 Sn
(1) 由 已 知 , S5 ? 5 a3 ,? a3 ? 1 , 4 又 a2 , a7 , a22 成 等 比 数 列 , 由

【 解 析 】

(a1 ? 6d )2 ? (a1 ? d )(a1 ? 21d ) …………2 分
且 d ? 0 可解得 a1 ?

3 d , …………3 分 2

? a1 ? 6, d ? 4 ,故数列{ an }的通项公式为 an ? 4n ? 2, n ? N * ;…………4 分
(2)证明:由(Ⅰ), S n ?

n(a1 ? an ) ? 2n 2 ? 4n, …………5 分 2

1 1 1 1 1 ? 2 ? ( ? ) ,…………7 分 S n 2n ? 4n 4 n n ? 2
1 1 1 1 1 1 3 1 1 1 (1 ? ? ? ? ? ? ? )? ? ( ? ) 4 3 2 4 n n ? 2 8 4 n ? 1 n ? 2 ,…………8 分 1 3 显然, ? Tn ? .…………9 分 6 8 ?Tn ?
17.(本小题满分 9 分) 设 集 合 A 为 函 数 y?

x2 ? 2 x ? 8 的 定 义 域 , 集 合 B 为 关 于 x 的 不 等 式

1? 4 ? ax 2 ? ? 4a ? ? x ? ? 0 的解集. a? a ?
(1)求 A; (2)若 B?A,求 a 的取值范围. [解析] (1)由于 x2+2x-8>0,解得 A=(-∞,-4]∪[2,+∞) …………2 分 (2)∵A=(-∞,-4]∪[2,+∞), 由 ax ? ? 4a ?
2

? ?

1? 4 1 ? x ? ? 0 即 (ax-a)(x+4)≤0,知 a≠0,…………3 分 a? a

1 1 当 a>0 时,由(ax- )(x+4)≤0,得 B=[-4, 2],不满足 B?A;…………5 分 a a 1 1 当 a<0 时,由(ax- )(x+4)≤0,得 B=(-∞,-4]∪[ 2,+∞),…………6 分 a a

1 2 2 欲使 B?A,则 2≥2,解得:- ≤a<0 或 0<a≤ , a 2 2 又 a<0,所以- 2 ≤a<0,…………8 分 2 2 ,0).…………9 分 2

综上所述,所求 a 的取值范围是[-

18. (本小题满分 10 分) 在 ?ABC 中,内角 A 、 B 、 C 所对的边分别为 a , b , c ,其外接圆半径为 6,

b ? 24 , 1 ? cos B

sin A ? sin C ?

4 3

(1)求 cos B ; (2)求 ?ABC 的面积的最大值. 【解析】 (1)因为

b 2 ? 6sin B ? 24 ? ? 24 ,…………1 分 1 ? cos B 1 ? cos B

所以 2(1 ? cos B) ? sin B ,…………2 分 等式两边平方可得:

4(1 ? cos B)2 ? sin 2 B ? (1 ? cos B)(1 ? cos B) , …………4 分
3 .…………5 分 5

?1 ? cos B ? 0,? 4(1 ? cos B) ? 1 ? cos B,? cos B ?
(2) ? sin A ? sin C ?

4 a c 4 ? , 即 a ? c ? 16 . …………7 分 ,? ? 3 12 12 3 3 4 又? cos B ? ,? sin B ? .…………8 分 5 5 1 2 2 a ? c 2 128 ? S ? ac sin B ? ac ? ( ) ? . …………9 分 2 5 5 2 5 128 而 a ? c ? 8 时, S max ? . …………10 分 5

19. (本小题满分 10 分)

?1 ? an ? n, n为奇数, 已知数列 ?an ? 中, a1 ? 1, an ?1 ? ? 3 ?an ? 3n, n为偶数. ?
(1)求证:数列 ?a2 n ? ? 是等比数列; (2)若 Sn 是数列 ?an ? 的前 n 项和,求满足 Sn ? 0 的所有正整数 n.

? ?

3? 2?

【解析】 (Ⅰ)设 bn ? a2 n ?

3 , 2

3 1 1 3 1 3 1 (a2 n ? 6n) ? (2n ? 1) ? a2 n ? a ? (2n ? 1) ? bn ?1 a2 n ? 2 ? 2 3 2 n ?1 2=3 2 ?1, 2=3 ? ? 因为 3 3 3 3 bn 3 a2 n ? a2 n ? a2 n ? a2 n ? 2 2 2 2 3 1 3 1 所以数列 {a2 n ? } 是以 a2 ? 即 ? 为首项,以 为公比的等比数列. ……… 3 分 2 3 2 6
3 1 ?1? (Ⅱ)由(Ⅰ)得 bn ? a2 n ? ? ? ? ? ? 2 6 ?3?
由 a2 n ?
n ?1

1 ?1? 3 1 ?1? ? ? ? ? ? ,即 a2 n ? ? ? ? ? ? , 2 ?3? 2 ?3? 2

n

n

1 1 1 15 a2 n ?1 ? (2n ? 1) ,得 a2 n ?1 ? 3a2 n ? 3(2n ? 1) ? ? ? ( ) n ?1 ? 6n ? ,……4 分 3 2 3 2 1 1 n ?1 1 n 1 n 所以 a2 n ?1 ? a2 n ? ? ? [( ) ? ( ) ] ? 6n ? 9 ? ?2 ? ( ) ? 6n ? 9 ,…………5 分 2 3 3 3

S2n ? (a1 ? a2 ) ? (a3 ? a4 ) ? ?? (a2n?1 ? a2n )
1 1 1 ? ?2[ ? ( ) 2 ? ? ? ( ) n ] ? 6(1 ? 2 ? ? ? n) ? 9n 3 3 3 1 1 [1 ? ( )n ] 3 ? 6 ? n(n ? 1) ? 9n ? ?2 ? 3 1 2 1? 3 1 1 ? ( ) n ? 1 ? 3n 2 ? 6n ? ( ) n ? 3( n ? 1) 2 ? 2 …………7 分 3 3
显然当 n ? N ? 时, {S2 n } 单调递减, 又当 n ? 1 时, S 2 ?

7 8 >0,当 n ? 2 时, S 4 ? ? <0,所以当 n ? 2 时 , S 2 n <0;…8 分 3 9 3 1 n 5 S2 n ?1 ? S2 n ? a2 n ? ? ( ) ? ? 3n 2 ? 6n , 2 3 2

同理,当且仅当 n ? 1 时, S2 n ?1 >0,…………9 分 综上,满足

Sn ? 0 的所有正整数 n 为 1 和 2.……………… 10 分


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