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应用三角换元法解竞赛最值问题


?

课 外 园地 ?  

数 学通 讯 一

2 O l 5年 第 4期 ( 上半月)  

5 5  

评 注  按 “ 常规 ” ,条件 中 的一 个方 程 是解 不 
又  ≤ (   ≤ 3 (   )  ,即  ) 。 , 所以( n+ 6 ) 。 一( 口+ 6 ) +1   一 ( n+ 6 )+ 1≤ 0, 即 

出两 个未 知 数 的. 如何 突 破 困境 , 利用 等 与不 等转  化 是 行之 有 效 的 方 式 之 一. 上 述 解 法 运 用 基 本 不 

等式 搭建 不 等平 台 , 再 利 用 平 方 非 负 顺 利 回到 等  式, 再 结 合基 本不 等式 等 号 成立 的条 件 , 终 于得 到 
“ 两个 未 知数 两 个 方 程”的理 想 局 面 , 问题 得 以完 
美 解 决.   ( 收 稿 日期 : 2 0 1 5— 0 1 —1 4 )  

(  


一1 )  ≤ o , 所以 Ⅱ 十6 —2 , 又 口一 6 , 所以口  

6 — 1 , 即 3 , n 一 2   一 1 , 所 以 m 一 号 , , z 一 号 .  

故 长 方 体 的 体 对 角 线 长 为 √   再
7  
‘  

 

应 用三 角 换 元法 解 竞 赛 最 值 问题 
于志洪  
( 江苏省泰州市森南新村 1 5栋 1 0 3 室 ,2 2 5 3 0 0 )  

本 文 以部分 数 学竞 赛 题 为 例谈 谈 三 角换 元 法  在 求解 最值 问题 中的应用 , 供 高 中师 生参 考.  


和待 求 式进 行配 方 , 结合 三 角换 元 , 从 而 沟通 了题  设 与结论 的关 系 , 使 问题 轻 松 得 到解 决 , 既 降低 了 
解题 的难 度 , 又 充分 凸显 了三 角换 元法 的 优越 性.  



解 最 大 值 问 题 

例 1 ( 2 0 1 3年 辽 宁省 预赛 试题 ) 设 实 数  , Y  
满足 1 7 ( x   +Y 。 ) 一3 0 x y一 1 6— 0 , 求 f ( x ,  )一 


例2 ( 2 0 1 2年 山西 省 预 赛 试 题 )设 z, Y   E   [ 0 , 1 ] , 求f ( x ,  ) = : : z、  _ 二 =   + y~  _ 二 =   的最大 
值.  

/ 1 6 x   十4 y 。 一1 6 x y一 1 2 x+ 6 y+ 9的最大 值.  
解  由 1 7 ( z : +Y 。 ) 一3 0 x y一 1 6— 0得 (  + 
) 。+ 1 6 (   — )  一 1 6 , 而 

解   设  —s i n   a , y —s i n 。 卢 , 口 , 卢 E   E o , 詈] ,  
从而 

f( x,  ) 一


 ̄ / ( 4 x一 2 y)  一 3 ( 4 x一 2 y )+ 9  

( [ 3 ( z — ) +( z + ) ] 。 一3 [ 3 ( x -y ) 十( z +  ) ]  
. 

f ( x, 3 , )一 s i n 。 O  ̄ C O S  + s i n   卢?C O S   a  

+9 } 专

≤ s i n   O  ̄ C O S  +s i n   Z c o s 口  
一 s i n ( a+ 口 )≤ 1,  

令   + y一 4 c o s   0 , 4 (  —  )一 4 s i n   0 , 则 3 ( z  
—  

等号成 立 当且 仅 当 s i n 。 口一 s i n口 , s i n 。 口一 

) +(  + )一 3 s i n   0 +4 c o s   0— 5 ( ;s i n   0 + 

s i n卢 , 并且 a +卢一 詈, 故当{  , Y )一 { 0 , 1 ) 时,  
点 评  上 述解 法通 过三 角换 元逆 用 两角 和 的 

4  

x,  )有 最大 值 1 .   c 。 s   ) 一 5 s i n (   +   ) ( 其 中 , s i n   一 詈 , c 。  一   f( 正 弦公 式得 到 s i n ( a + ) , 再 结 合正 弦 函 数 的 有界  性, 巧 妙求 得最 大 值. 这 类 无 理 函数 的 最 值 问题 ,   是 高 中数学 的一 个 难 点 内容 . 本 题 的 三 角 换 元 解 
法, 构思 新 颖 , 简捷明快. 解 此 题 的 关 键 是 通 过 三  角 换元 将 无理 函数 转化 为 三角 函数.  

詈) . 3 ( x —   ) +(  +   ) E[ 一5 , 5 3 , 从而, 当3 ( x  
—  

)+ (   +  ) =一 5 时 , f ( x,  )有 最 大 值 

 ̄ / ( 一5 )   一 3× ( 一5 )+ 9 — 7 .  

点 评  本 题 如 用 一般 的思 维方 法 考 虑 , 则很 
难 找 到解 题 的突 破 口, 然 而 通 过 将 已知 条 件 等式 

5 6  

数学通讯

一 2 O 1 5年 第 4期 ( 上半月)  

二、 解 最 小 值 问 题 

角 函数 来求 解 最 值. 其 构 思 新颖 . 解 题 自然 流 畅 ,  
解 法简 洁 明快.  

例3  ( 2 0 1 3年浙 江省 高 中数学 竞赛 试题 ) 设 
二次 函数 (  )一   +( 2 b +1 )  一Ⅱ 一2 ( “≠ 0 )  

例5  ( 2 0 1 3年江苏 省预 赛试题 ) 若 实数 n , b ,  
C 满足“  +b ! ≤c ≤ 1 , 求 a +b十C 的最 大值 和最 
小 值.  

在 区间 [ 3 , 4 ] 上 至少有一 个零 点 , 求a 。 十b ? 的最小 
值.   解  设 n   +b  : = = r 2 ( r >O ) , 令 “一 r c o s   0 , b  
— r s i n   0 ( 0∈ R) .  

解  设 d一 ? c o s   0 , b— r s i n   0 , 0∈ E 0 , 2 丌 ] , r   ≤√ f ≤1 , 则 
a+ b十 f一  ̄ ' C O S臼4 -r s i n   0+ f  

由题 意 可 知 : 存在 o T∈ [ 3 , 4 ] , 使得 , 一 (   一 
1 ) C O S   0 +2 r x s i n   0— 2 一  成 立 . 即 

 ̄ / r : (   一1 ) ! +4 r ? z ! s i n ( 0 + )= = = 2 一  ,  
则 有 

一   s i n ( 0 +}) +c .  
由s i n ( 0 +  )∈ [ 一1 , 1 ]可 知 “+ 6 + f∈  

I   s i n   +  
即 r≥ 

√ r  一 等  1 )   十 4   一   }  ,  
g(  

[ 一  

+c ,  

十c ] .  

因为 0≤ , 一 ≤  ≤ 1 , 那么√ _ r +c ≤ 1 十  ,  
当且仅 当 “一 b一   , c一 1时 , 等 号成 立 ;  

又 g   (   ) 一 二 专 ≥  
综上 可知 , n : +6 。 ≥ 
为  ?  

, 在 [ 3 , 4 ] 上   (   )  
, 即( 1 2 +6 。 的最 小值 
立.  

又 一 

+ c≥一 

一 

一 

> 0恒成 立 , 因此 [ g ( z ) ] I 1 1 l n — g( 3 )一  ?  

≥ 一  1 当且 仅 当 “一 b- -一   1,c


一  

1时


等 号 成 

因此 , a十 b+ f的最 大 值 为 l+ √ 2 . 最 小 值 
为一  1
.  

点 评  本 题 巧 妙 利 用 公 式 : a s i n   0 +b c o s   0一  

 ̄ / n 。 十b : s i n ( 0 +  )将 问题 转 化 为不 等 式 问题 求 

点 评  此 题设计 精 巧 , 可 以从多 角度 研究 , 思  维 分析切 口较 宽 , 解 法 也 较 多. 然而 , 根 据 题 中条  件 的结 构特 征 , 利 用 三 角换 元思 想 解 题 可 谓 别 具 


解, 其解法 自然 流 畅 , 令 人 耳 目一新 , 解 题 过 程 充 
分体 现 了数学 思维 的“ 通法 自然 化” .  
三、 解 最 大 值 和 最 小 值 问 题 

格.  

例 4 ( 2 0 1 3年江 西 省高 中数 学竞 赛 第 6题 )  

例 6 ( 2 0 1 3年 全 国高 中数 学联赛 题 )若 实数  , Y满 足z一4   — 2、  - = 二   , 求  的最 大值 和最 
小值.  

求 函数 _ , 、 (  )一 、   二百+ 、 / / 再
小值 .   解 

的 最大值 和最 

因为 3 : c 一6 ≥0 , 3 一  ≥ 0 , 所 以 2≤ 
0.  

解  由条件得  一 4 √ 歹 +2  

知   ≥ 
— 

≤3 . 故可设  一 2 +s i n 。   ,  ∈ [ o , 要] . 因此 
(  )一  ̄ / 3 ( 2 +s i n 。   ) 一6 + ̄ / 3 —2 一s i n 。 0  

又 z一 (   )  + ( 、  =  ) ! , 所 以 可 令 

4 7c o s   0 , 、   =  一 4  ̄s i n  , 0 ∈E 0 ,  ] , 则 条件 变 
为 

一 、  


+、  = 
O 

一  ̄- s i n   0 +C O S   0  
一 4√ jc o s   0+ 2√  s i n   0   ① 

2 s i n (  +  ) .  

而   b   ≤   +   b   ≤  , 这时喜≤s Z   i n ( 0 +   b   ) ≤  
1 , 所以 1 ≤厂 (  ) ≤2 , 从 而知  (  ) 的最 大值 为 2 ,  
最 小值 为 1 .   即  

当   一 0时 , ① 成立.  

当  >0 时, ① 式 可变 为 ̄ /  一 4 c o s  +2 s i n   0 ,  
一2   s i n ( 0 + ) ( 其中 c 。   一, /   5 , s i n  
一 

点评  本题解 题 的关键 是通 过 三角换 元将 形  如  一 、  面 ±、   的无 理 函数转 化为 三 


即 詈 <   < 号 ) . 所 以 , 当 s i n (   +   ) 一1 时 ,  

?

课 外 园地 ?  

数学通讯 一 — —2 O 1 5年 第 4期 ( 上 半 月)  

5 7  

取 得最 大值 2   , 此 时 z取得 最 大值 2 0 ; 当0 一 





 





又 0∈ R, r 。 >0 澈 r 2 ≥ 

, 则 

要 时,   取得最小值 2 , 此时  取得最小值 4 .  
综 上 可知 , . 2 7 的最 大值 是 2 0   的最 小值 是 4 .  
点评  本题含有两个根式 , 直 接进行代 数变形  相 当困难. 然而注意到  一  ) 。 +( , /  ̄ x - - 2 _y -) 。 , 很自  



/ - 2 s i n ( 2 0 +车)  

(   +Y   )   i   =   厄 
3 .( 2 0 1 2年湖 北省 预赛试 题 )已知 正 实数 口 , b  
满足 Ⅱ 。 +b   一 1 , 且 口 。 +  + 1一 Z / l ' ( a+b +1 ) 。 ,  

然想 到利用三角换元法 , 不仅 降低 了解题难 度而且简  捷 明快 , 别具一格 , 充 分展现 了三角换元 法在解 题 中 
的重 要作用.   综 上所述 可 知 : 上 述例 1 、 例2 、 例3 、 例5 和例 6  
都是利用两个 变量 ( s i n   0 , C O S   )或 ( s i n 。 0 , C O S 。   )  

求  的最 大 值 和最小 值.  
提示 : 令 n— C O S  , 6一 s i n   0 , 0< 0 <  , 则 
c O S 3 0+ s i n3 0+ 1  

一  
=: .


si n
. —
. . . —

 


来 换元 的 , 而例 4是 利用 一 个 变 量 来 换 元 的 , 它们  的共 同优 点是 可将 已知 条 件 中 的一 个 或 多 个 变量  代 换 为 同一个 角 的 三 角 函数 来 表 示 , 这 样 就 便 于  我们运 用 熟知 的 三 角 公 式 进 行 化 简 , 利 于迅 速 求 
得 其解 .   笔者 认为 : 在 今 后 的教 学 过 程 中 , 教 师应 注重 

( co s 0 +
— — — —

0 ) ( co s 0






co s
— — — . .   — .

0 si n     0+
— .

si n
— — . . . .




0 )+ 1
. —
— —

























. .

















 













 

( c o s   0 +  n   0 十 1 ) 。  
:  

!  . 旦 ±曼  

!  二竺  

翌   ±  
’  

( c o s   0+ s i n   0+ 1 ) 。  

令z=C O S  +s i n   , 则z一 ̄ / g s i n ( 0 +孚) ∈  
( 1 ,   ) , 且 c o s   0 s i n   0: 
( 1一  )+ 1  

引导 学生 对 这类 最 值 问 题 的 结 构 特 征 认 真 分 析 ,   要 发 展学 生 的认 识 力 , 培 养 学 生 的创 造 力 , 这 对 学  生 的全 面发展将 大有益 处.  
练 习题 :  

, 于 是 
2+ 3  


z。  

一 — —  干 广 一

一  

一  

1 . ( 2 0 1 4年浙 江 高考文 科 第 1 6题 ) 若实数 口 ,  
b , C 满 足 a+ b + C一 0 , n   +b 。 +C  = 1 , 则 a的 最 

±兰 二  : 一   二兰  一  
2 (  + 1 ) 。   2 (  + 1 )  

一  
2。  
,  

2 ( z+ 1 )  

因为 函数 , ( z )一 

一   i ̄ E ( I

)上  

大值 为 

.  
单 调递 减 , 所以 厂   ) ≤  < ,( 1 ) .  
又 ,( 1 )= 1 厂(  


提示: 由n   +b 。 +C   一 1 , 得6 。 +c 。 一 1 一a   .  

令 b一  ̄ / 1 一n 。 C O S   0 , f — Jf 一口 。 s i n   0 ( 0 为 参数 ) ,  
又 由 n+ b +C一 0 , 得 口一一 ( 6+ c ) , 代入 得 
a = 一 、

一 — 3  ̄ / 2   『 - _ 一 一 4


所 以  ∈  

/ r =   .( c o s   0 +s i n  )  
二  .s i n( O+ - 7 兀 - )
.  

(  
为 

, 丢 ) , 即  的 最 大 值 为   1 , 最 小 值  
.  





、 ,  

吐 

由 0≤ I  s i n ( 0+ 孚) l ≤ 1 ,得 Ⅱ   ≤ 
[ 一   = = -  _ ] 。 , 解得 一   ≤口 ≤  , 故 口的最 
参 考 文献 :  

E l i   于志洪 . 应 用 三 角换 元 法解 高 考 最 值 问 题.  
数 学通 讯 ( 下半 月 ) , 2 0 1 4 ( 1 ) .  

大值 为  .   ' )  
2 .( 2 0 1 3年浙 江 大学 自主招 生 试题 )若  十 

[ 2 ]   于志 洪. 代换 法 求 最 值 十 二 曲. 中学 生 理 科 
应试 , 2 0 1 3 ( 4 ) .  

2 x y—  一 7 (  , Y∈ R ) , 则  。+ Y 。的 最 小 值 

.  
— —

[ 3 ]   王耀 . 例谈 “ 三 角换 元 法 ”在 解题 中 的应 用.  
数 学通 讯 ( 下半 月) , 2 0 1 4 ( 1 1 ) .   ( 收稿 日期 : 2 0 1 5 —0 1 一O 8 )  

提示 : 令 z= r c o s   0 ,  = r s i n   0 ( 0 ∈ R, r >0 ) ,  

则 由条 件可知 r 2 C O S 。 0 +2  s i n   O c o s   0 一 ,s i n 。 0: = =  

7 ,整 理 得 

s i n ( 2 0+ 孚)= = :7 .则 r 2=  


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