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函数的概念与表示法


函数的概念和函数的表示法
考点一:由函数的概念判断是否构成函数 函数概念:设 A、B 是非空的数集,如果按照某种确定的关系 f,使对于集合 A 中的任意一个数 x,在集合 B 中都有 唯一确定的数 f(x)和它对应,那么就称 f:A→B 为从集合 A 到集合 B 的一个函数。 例 1. 下列从集合 A 到集合 B 的对应关系中,能确定 y 是 x 的函数的是( ) ①

A={x ② A={x x∈Z},B={y y∈Z},对应法则 f:x→y=
x 3

;
2

x>0,x∈R}, B={y

y∈R},对应法则 f:x→ y =3x;
2

③ A=R,B=R, 对应法则 f:x→y= x ; 变式 1. 下列图像中,是函数图像的是( y y ) y y
O

O

X

O

X

O

X

X

① ② 变式 2. 下列式子能确定 y 是 x 的函数的有( ① x ? y =2
2 2

③ )



② x ?1 ?

y ?1 ? 1

③y= x ? 2 ? 1 ? x

A、0 个 B、1 个 C、2 个 D、3 个 变式 3. 已知函数 y=f(x) ,则对于直线 x=a(a 为常数) ,以下说法正确的是( ) A. y=f(x)图像与直线 x=a 必有一个交点 B.y=f(x)图像与直线 x=a 没有交点 C.y=f(x)图像与直线 x=a 最少有一个交点 D.y=f(x)图像与直线 x=a 最多有一个交点 变式 4.对于函数 y=f(x),以下说法正确的有…( ) ①y 是 x 的函数 ②对于不同的 x,y 的值也不同 ③f(a)表示当 x=a 时函数 f(x)的值,是一个常量 ④f(x)一定可以用一个具体的式子表示出来 A.1 个 B.2 个 C.3 个 D.4 个 变式 5.设集合 M={x|0≤x≤2},N={y|0≤y≤2},那么下面的 4 个图形中,能表示集合 M 到集合 N 的函数关系的有 ( )

A.①②③④ B.①②③ C.②③ D.② 考点二:同一函数的判定 函数的三要素:定义域、对应关系、值域。 如果两个函数的定义域相同,并且对应关系完全一致,我们就称这两个函数相等。 例 2. 下列哪个函数与 y=x 相同( ) ①. y= x ②. y ?
x ???
2

③. y ?

?

x

?

2

④.y=t

⑤. y ?

3

x ;⑥. y ?
3

x

2

~1~

变式 1.下列函数中哪个与函数 y ? A. y ? x ? 2 x B. y ? ? x ? 2 x

? 2 x 相同(
3


?2 x

C. y ? ? x ? 2 x )

3

D. y ? x

2

变式 2. 下列各组函数表示相等函数的是( A. y ?
x ?9
2

x?3
0

与 y ? x?3

B. y ?

x ?1 与 y ? x ?1
2

C. y ? x (x≠0) 与 y ? 1 (x≠0) 变式 3. 下列各组中的两个函数是否为相同的函数? (1) y 1 ? (2) y 1 ?
( x ? 3 )( x ? 5 ) x?3
x ?1 x ?1
2

D. y ? 2 x ? 1 ,x∈Z 与 y ? 2 x ? 1 ,x∈Z

y2 ? x ? 5

y2 ?

( x ? 1)( x ? 1)

(3) f 1 ( x ) ? ( 2 x ? 5 )

f 2 ( x) ? 2 x ? 5

考点三:求函数的定义域 (1)当 f(x)是整式时,定义域为 R; (2)当 f(x)是分式时,定义域是使分母不为 0 的 x 取值集合; (3)当 f(x)是偶次根式时,定义域是使被开方式取非负值的 x 取值集合; (4)当 f(x)是零指数幂或负数指数幂时,定义域是使幂的底数不为 0 的 x 取值集合; (5)当 f(x)是对数式时,定义域是使真数大于 0 且底数为不等于 1 的正数的 x 取值集合; 已学函数的定义域和值域 1.一次函数 y ? ax ? b ( a ? 0 ) :定义域 R, 值域 R; 2.反比例函 y ?
k x
( k ? 0 ) :定义域 ?x | x ? 0 ? , 值域 ? y | y ? 0 ? ;
2

3.二次函数 y ? a x ? b x ? c ( a ? 0 ) :定义域 R 值域:当 a ? 0 时, ? y | y ?
? ?
2 2 ? 4 ac ? b ? 4 ac ? b ? ? ;当 a ? 0 时, ? y | y ? ? 4a 4a ? ? ?

例 3. ①函数 y ? A.

1? x ?
2

x ? 1 的定义域是(
2

) D. (-∞ ,-1 )∪( 1 ,+∞ )

? ? 1,1?

B. ( -1 , 1 )

C. [ -1 , 1 ]

1 ②函数 y= x+1+ 的定义域是(用区间表示)________. 2-x 变式 1. 求下列函数的定义域 (1) f ( x ) ?
1 x?2



(2) f ( x ) ?

3x ? 2 ;

(3) f ( x ) ?

x ?1 ?

1 2? x

.

~2~

(4) y ?

? x ? 1?

0

x ? x

1 (5)y=x+ 2 ; x -4

(6)y=

1 ; |x|-2

(7)y= x2+x+1+(x-1)0.

求复合函数的定义域 例 5. 已知函数 f( 2 x ? 1 )定义域为 ? ? 1, 3 ? , 求 f(x)的定义域

变式 1. 已知函数 f( x ? 1 )的定义域为[ 0,3 ],求 f(x)的定义域

变式 2. 已经函数 f(x)定义域为[ 0 , 4], 求 f ? x

2

? 的定义域

考点四:求函数的值域 例 6.求下列函数的值域 ① y ? 3x ? 1 , x∈{1,2 ,3,4,5 } ( 观察法 )

② y ? x ? 4 x ? 6 ,x∈ ?1, 5 ?
2

( 配方法 :形如 y ? a x ? b x ? c )
2

② y ? 2x ? ④y ?
2x x ?1

x ?1

( 换元法:形如 y ? a x ? b ? ( 分离常数法:形如 y ?
cx ? d

cx ? d

)

ax ? b
2

)

④ y ?

x ? x
2

x ?1
2

( 判别式法:形如 y ?

a 1 x ? b1 x ? c1 a 2 x ? b2 x ? c 2
2

)

~3~

变式 1. 求下列函数的值域 ①
y ? 2 x ?4 x?3
2



y ? x?

x? 1

② f ( x) ? 2 x ? 3x ? 4
2

④ f ( x ) ? 2 x ? 3 x ? 4 ( ? 1 ? x ? 2)
2



y=

2x ?1 x?3

⑥y ?

2x ? 4x ? 7
2

x ? 2x ? 3
2

考点五:求函数的解析式 例 7 . 已知 f(x)= x ? 2 x ,求 f( x ? 1 )的解析式
2

( 代入法 / 拼凑法/换元法 )

变式 1. 已知 f(x)= 2 x ? 1 , 求 f( x )的解析式
2

变式 2. 已知 f(x+1)= x ? 3 x ? 3 ,求 f(x)的解析式
2

变式 3. 已知 f ( x ? 1) ? x ? 2 x ,试求 f ( x ) 的解析式. 例 8. 若 f [ f(x)] = 4x+3,求一次函数 f(x)的解析式 ( 待定系数法 )

变式 1. 已知 f(x)是二次函数,且 f ? x ? 1 ? ? f ? x ? 1 ? ? 2 x ? 4 x ? 4 ,求 f(x).
2

~4~

变式 2.一次函数 f ( x ) 满足 f [ f ( x )] ? 4 x ? 5 ,求该函数的解析式.

变式 3.已知多项式 f ( x ) ? ax ? 7 , g ( x ) ? x ?
2

2 x ? b ,且 f ( x ) ? g ( x ) ? x ? 2 2 x ? 9 .试求 a 、 b 的值.
2 2

变式 4.已知 f(x)是二次函数,且 f(0)=2,f(x+1)-f(x)=x-1,求 f(x)的解析式.

变式 5.已知二次函数 f(x)=x -bx+c 满足 f(1+x)=f(1-x) 且 f(0)=3,求 f(x)的解析式. ,

2

变式 6.已知函数 f(x)是一次函数,且满足 3f(x+1)-2f(x-1)=2x+17,求 f(x).

例 9. 已知 f(x) ? 2 f( ? x)= x ,求函数 f(x)的解析式 ( 消去法/ 方程组法 )

变式 1. 已知 2 f(x) ? f( ? x)= x+1 ,求函数 f(x)的解析式

变式 2. 已知 2 f(x) ? f ?

?1? ? = 3x ,求函数 f(x)的解析式 ? x?

~5~

例 10. 设 对 任 意 数 x , y 均 有 f ? x ? y ? ? 2 f ( 赋值法 / 特殊值法)

? y??

x ? 2 xy ? y ? 3 x ? 3 y , 求 f ( x ) 的 解 析 式 .
2 2

变式 1. 已知对一切 x,y∈R, f ? x ? y ? ? f ? x ? ? ? 2 x ? y ? 1 ? y 都成立,且 f(0)=1,求 f(x)的解析式.

考点六:函数的求值 例 11. 已经函数 f(x)= 2 x ? x ,求 f(2)和 f(a)+f ( ? a)的值
3

变式 1. 已知 f(2x)=

1? x x

2

,求 f(2)的值

例 12. 已知函数

f ?x? ?

? 5 x ? 1?????? x ? 0 ? ,求 f(1)+f( ? 1 )的值 ? ? 3 x ? 2 ??? x ? 0 ??????? ? ?

变式 1. 已知函数

f ?x? ?

? ? f ? x ? 2 ?????? x ? ? 1 ? ,求 f [f( ? 4 )]的值 ? 2 x ? 2 ???????? 1 ? x ? 1 ? ? x ? ??????? x ? 1? ? ????? ?

变式 2. 已知函数 f ? n ?

? ????????????????????? n ??? ? ? ? ? ,求 f(5)的值 1 ? f ( n ? 2 ) ????? n ? ? ??? ?? ? 2 ????? ?

~6~

? ?x ? 2 ??????? x?( ? ? ,1] 1 例 13 . 设函数 f ? x ? ? ? ???????? ,求满足 f(x)= 的 x 值 2 ? l o g 81 x ,???? x?(1, ? ? )???? ?

? x ? ?????? x ?1 ? ???????? ,若 f(x)=2,求 x 的值 变式 1. 已知函数 f ? x ? ? ? ? ?? x ????? x ?1?????? ?

考点七:映射 例 1.判断下列对应是否是映射?

变式 1.下列各组映射是否是同一映射?

变式 2.判断下列两个对应是否是集合 A 到集合 B 的映射? (1)设 A={1,2,3,4},B={3,4,5,6,7,8,9},对应法则 f : x ? 2 x ? 1
* (2)设 A ? N , B ? { 0 ,1} ,对应法则 f : x ? x 除以 2 得的余数

(3) A ? N , B ? { 0 ,1, 2} , f : x ? x 被 3除 所 得 的 余 数 (4)设 X ? {1, 2, 3, 4} , Y ? {1,
1 1 1 , , } f : x ? x 取倒数 2 3 4

(5) A ? { x | x ? 2 , x ? N }, B ? N , f : x ? 小于 x 的最大质数

~7~

考点八:函数的表示方法: (1)解析法; (2)列表法; (3)图象法 例 1 某种笔记本每个 5 元, x ? {1,2,3,4}个笔记本的钱数记为 y 买 (元) 试写出以 x 为自变量的函数 y 的解析式, , 并画出这个函数的图像.

例 2 国内投寄信函(外埠) ,每封信函不超过 20g 付邮资 80 分,超过 20g 而不超过 40g 付邮资 160 分,依次类推, 每封 x g(0<x ? 100)的信函应付邮资为(单位:分) ,试写出以 x 为自变量的函数 y 的解析式,并画出这个函数的图像.

例 3 画出函数 y=|x|= ?

?x ?? x

x? 0 x? 0

的图象.

例 4 求下列函数的最大值、最小值与值域. ① y ? x2 ? 4x ? 1; ③ y ? x 2 ? 4 x ? 1, x ? [ 3 , 4 ] ; ③ y ? x 2 ? 4 x ? 1, x ? [ 0 ,1] ; ④ y ? x 2 ? 4 x ? 1, x ? [ 0 ,5 ]

~8~

函数的单调性与最值 增函数与减函数 单调性与单调区间 例 1 如图,是定义在闭区间[-5,5]上的函数 y ? f ( x ) 的图象,根据图象说出 y ? f ( x ) 的单调区间,以及在每一单调 区间上,函数 y ? f ( x ) 是增函数还是减函数.
y

例 2 证明函数 f ( x ) ? 3 x ? 2 在 R 上是增函数.

-5

-2

O

1

3

5 x

例 3 证明函数 f ( x ) ?

1 x

在(0,+ ? )上是减函数.

练习 1.函数 y=x +x+2 单调减区间是( A、 [ ?
1 2 , ?? )

2

)
1 2 ]

B、 (-1,+∞)

C、 ( ? ? , ?

D、 (-∞,+∞)

2.下面说法正确的选项 ( ) A.函数的单调区间可以是函数的定义域 B.函数的多个单调增区间的并集也是其单调增区间 C.具有奇偶性的函数的定义域定关于原点对称 D.关于原点对称的图象一定是奇函数的图象 3.函数 f(x)=2x2-mx+3,当 x∈ [ ? 2, ? ? ) 时,增函数,当 x∈ ? ? ? ,? 2 ? 时,是减函数, 则 f(1)等于( A.-3 B.13 C.7 D.由 m 而定的其它常数 ) )

4.如果函数 f(x)=x2+2(a-1)x+2 在区间 ( ? ? , 4 ] 上是减函数,那么实数 a 的取值范围是( A.a≥-3 B.a≤-3 C.a≤5 5. 函数 y ? ( 2 k ? 1) x ? b 在实数集上是增函数,则 A. k ? ?
1 2

D.a≥3 ( D. b ? 0 )

B. k ? ?
1 2
2

1 2

C. b ? 0

6. 已知函数 y ?

x ? 2 x 求:

(1) 当 0 ? x ? 3 时, 函数的最值; (2) 当 3 ? x ? 5 时, 函数的最值.

~9~

函数的奇偶性

观察下列函数的图象,总结各函数之间的共性.
f (x) ? x
2

f ( x ) ?| x | ? 1

f (x) ?

1 x
2

偶函数: 奇函数: 例 1.判断下列函数的奇偶性 (1) f ( x ) ? x
2

x ? [ ? 1, 2]
2

(2) f ( x ) ?

x ? x
3

x ?1

?1 2 x ? 1 ( x ? 0) ?2 ? (3) g ( x ) ? ? ? ? 1 x 2 ? 1 ( x ? 0) ? 2 ?

例 2.判断下列函数的奇偶性 (1) f ( x ) ? x
4

(2) f ( x ) ? x

5

(3) f ( x ) ? x ?

1 x

(4) f ( x ) ?

1 x
2

例 3.已知 f ( x ) 是奇函数,在(0,+∞)上是增函数. 证明: f ( x ) 在(-∞,0)上也是增函数.

~ 10 ~

练习 1.判断下列函数的奇偶性,并说明理由. ① f ( x ) ? 0, x ? [ ? 6, ? 2] ? [2, 6] ② f ( x ) ?| x ? 2 | ? | x ? 2 |

2.设 f ( x ) 在 R 上 是 奇 函 数 ,当 x >0 时, f ( x ) ? x (1 ? x ) ,试问:当 x <0 时, f ( x ) 的表达式是什么? 学案(6)反函数(一) (选讲) 复习 观图回答:

a

b

b

a

A

B

B

A

f :A? B a ? b

的意义是什么?

新课 1.试求函数 y ?
2x ? 3 x ?1

的值域.

(提示:利用分离常数法与反解法,在这里我们突出利用反解法)

2.反函数的定义:

试利用定义填写下表: 函数 y ? f ( x ) 定义域 值 域 A B ~ 11 ~ 反函数 y ? f
?1

( x)

3.试讨论原函数与其反函数的图象关系:

4.试求(1)y=2x+1

(2)y=2x+1 ( x ? ?

1 2

) 的反函数,并对比有何不同.

5.求解反函数的步骤:



求下列函数的反函数 (2) y ? (4) y ?
2x ?1 x?2
x ? 1( x ? 0 )

(1) y ? 3 x ? 1( x ? R ) (3) y ? x ? 1( x ? R )
3

练习 1.已知函数 y ? A、 y ? C、 y ?
6x ? 5 x ?1 6x ? 5 x ?1 ( x ? R 且 x ? 1) ,那么它的反函数为( ? 1?

)
? 6? ? ?5?

?x ? R 且 x

B、 y ? D、 y ?

x?5 x?6 x?6 x?5

?x ? R 且 x ?x ? R 且 x

x ?1 ? 5? ? x ? R且 x ? ? ? 6x ? 5 ? 6?

ì x 2 ( x < 0) ? ? ? 2.函数 y = í 1 的反函数是( ?x(x 0) ? ? 2 ?
? A、 y = ? í ? ? ? ì - 2 x(x 0)

)

x (x > 0)

? B、 y = ? í

ì - 2 x(x ?? ?

0)

x ( x > 0)

~ 12 ~

ì 1 ? ?x ( x 0) ? C、 y = ? 2 í ? ? x (x > 0) ? ? ?

ì 1 ? ?x ( x 0) ? D、 y = ? 2 í ? ?x (x > 0) ? ? ?

3.已知点(a,b)在 y=f(x)的图像上,则下列各点中位于其反函数图像上的点是( A、 ( a , f
?1



( a ))

B、 ? f
2

?1

?b ?, b ?
?1

C、 ? f

?1

? a ?, a ?
) D、 3
3x ? 1 x? 2

D、 ?b , f

?1

?b ? ?

4.若函数 f ( x ) ? x ? 1( x ? ? 1) ,则 f A、 5 5.函数 y ? B、 ?
ax ? b x?c

( 4 ) 的值为(

5

C、15

( x ? R 且 x ? ? c ) 的反函数为 y ?

,求 a ,b,c 的值

6.已知 f

?1

( x) ? 2

x ? 3, x ? 1 ,求 f(x)

学案(7)反函数(二) (选讲) 目标: 1.了解互为反函数的函数图象间的关系的定理及其证明; 2.会利用互为反函数的函数图象间的关系解决有关问题. 复习: 1.反函数的定义: 2.互为反函数的两个函数 y ? f ( x ) 与 y ? f
?1

( x ) 间的关系:

函数 y ? f ( x ) 定义域 值 域 A B

反函数 y ? f B A

?1

( x)

3.反函数的求法:一反解、二互换、三标明; 4. 原函数与其反函数的图象关于 y=x 对称. 新课: 例 1.求函数 y ? x ( x ? 0 ) 的反函数,并利用对称关系作出其反函数的图象.
2

~ 13 ~

例 2.求函数 y ?

5x ? 8 3x ? 2

的值域.

例 3 已知 f ( x ) =

1 1? x
2

(x<-1),求 f

?1

(?

1 3

) .

例 4 若点 A(1,2)既在函数 f ( x ) = ax ? b 的图象上,又在 f ( x ) 的反函数的图象上,求 a ,b 的值. 例 5 若 f ( x ? 1) ? x ? 2 x ( x ? 0 ) ,试求反函数 y ? f
?1

(x) .

练习: 1.求下列函数的反函数: (1) y ?
2

x ? 3(x ? ? 3) ;
2

(2)y= x -6x+12(x≤3); (3)y= ? x ? 2 (x≤-2). 2. 已知函数 y= a x+2 的反函数是 y=3x+b,求 a ,b 的值.

3.函数 f(x) ?

16 ? 9 x

2

是否有反函数?

;当 x ? ? 0 , ? 时,反函数为 3
? ?

?

4?

,定义域为



当 x ? ??
?

?

? , 0 ? 时,反函数为 3 ? 4
?1

,定义域为



4.设 f(x)的反函数为 f

(x) , f

?1

( x ) ? 3 x ? 2 ,则 f

?1

(3) ?

,f(3)=
?1

5.若点(1,2)既在函数 f ( x ) ?

ax ? b 的图象上,又在函数 f(x)的反函数 f
?1

( x ) 的图象上,则 a =

,b=

6. f(x)在 ?0 , ?? ? 上为递增函数,则 f

(1) 与 f

?1

( 3 ) 的大小关系是

解答题 7.函数 y=f(x)的图象是过点(2,1)的直线,其反函数的图象经过点(-2,-1),求函数 f(x)

学案(8)函数图象变换 目标 ~ 14 ~

根据函数解析式作出它们的图象,并且能根据图象分析函数的性质;同时了解图象的简单变换(平移变换和对称 变换). 新课 1.根据所给定义域,画出函数 y ? x ? 2 x ? 2 的图象,并确定其最值.
2

(1) x ? R

(2) x ? (? 1, 2 ]

( 3 ) x ? (? 1, 2 ] 且 x?Z

2 2.函数 y ? ( x ? 1) ?2 和 y ? ( x ?

1 2

) ? 1 的图象分别是由 y ? x 函数的图象经过如何变化得到的.
2

2

练习 1.已知二次函数 y=x +4x+1,不求值比较 f(-3)和 f(5)的大小关系.
2

2.方程 x -2 a x+4=0 的两根均大于 1,求实数 a 的取值范围.

2

3.已知二次函数 f(x)=x +x+ a ( a >0),若 f(m)<0,则 f(m+1)的值是( (A)正数 (B)负数
2

2



(C)零

(D)符号与 a 有关

4.不等式( a -2)x +2( a -2)x-4<0 对 x ? R 恒成立,则 a 的取值范围是________.

5.已知二次函数 y=x +(3 a +6)x+2 是偶函数,则 a 的取值范围是_______.

2

6.二次函数 y= a x +bx+c 满足 f(4)=f(1) ,那么

2





~ 15 ~

(A)f(2)>f(3) (C)f(2)=f(3)

(B)f(2)<f(3) (D)f(2)与 f(3)的大小关系不能确定

7.已知二次函数 y=2x +4( a -3)x+5 在区间(-∞,3)上是减函数,则 a 的取值范围是_______.

2

8.若二次函数 y=x -3x-4 的定义域为[0,m],值域为[- (A)[0,4] (B)[
2

2

25 4 3 2

,-4],则 m 的取值范围是( ,+∞]



3 2

,4] (C)[

3 2

,3]

(D)[

9.设二次函数 y= a x +bx+c,对任意的实数 t 都有 f(2+t)=f(2—t)成立,在函数值 f(2) 、f(1) 、f(-1) 、 f(5)中,最小的一个不可能是( (A)f(2) (B)f(1)
2

) (C)f(-1) (D)f(5) )

10.已知函数 y= a x+b 和 y= a x +bx+c,那么它们的图象是(

(A)

(B)

(C)

(D)

函数的应用 例 1 如图,一动点 P 自边长为 1 的正方形 ABCD 的顶点出发,沿正方形的边界运动一周,再回到 A 点.若点 P 运动的 路程为 x,点 P 到顶点 A 的距离为 y.求 A、P 两点间的距离 y 与点 P 的路程式 x 之间的函数关系式.

D

P

C

P

A ~ 16 ~

P

B

例 2 在底边 BC=60,高 AD=40 的△ABC 中作内接矩形 MNPQ。 设矩形的面积为 S,MN=x ,写出 S 与此同时 x 之间的 函数关系式,并求其定义域和值域。 N B

A M C P D Q

例 3 某房地产公司要在荒地 ABCD(如图)上划出一块长方形的地面修建一座公寓楼。问如何设计才能使公寓楼地面的 面积最大,并求出最大的面积。

E 60m A 练习 1.有一块梯形木板,上、下底长分别为 2m、 G

100m

D 80m

N B 70m

M C 3m,高为 2.5m,应当如何

安排与底边平行的锯线,才能使锯下的矩形木条的面积最大?这个最大面积是多少?

2.已知等腰梯形的周长是 60cm,腰与下底的夹角为 60 ? ,一腰长为 x,写出梯形面积 y 与 x 的函数关系,并求当 x 取何值时,梯形面积最大,最大值为多少???????????

3.某旅行社组织到北京参观,共需 6 天,每人往返机票、食宿、门票等费用共需 3200 元,如果把每人的收费标 准定为 4600 元,只有 20 人参加旅游团.高于 4600 元,没有人参加。如果每人收费标准从 4600 元每降低 100 元,参加 旅游团人数就增加 10 人。 试问: 每人收费标准定为多少时, 该?旅行社所获利润最大?此时参加旅游团的人数是多少?

~ 17 ~


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