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四川省宜宾市2014-2015学年高一下学期协同提升责任区期末联合测试数学试题


2015 年春期高中教育质量协同提升责任区期末联合测 试
高 2014 级

数学试题
本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,第Ⅰ卷 1 至 2 页,第Ⅱ卷 3 至 4 页,满分 150 分,考试时间 120 分钟. 考试结束,将本试卷和答题卡一并交回.

第Ⅰ卷
注意事项: 1.答题前,考生在答

题卷上务必将自己的姓名、准考证号填写清楚,并贴好条形码; 请认真核准条形码上的准考证号、姓名和科目. 2.每小题选出答案后,用 2B 铅笔把答题卷上对应题目的答案标号涂黑,如需改动, 用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号,在试题卷上作答无效 . ......... 3.第Ⅰ卷共 12 个小题,共 60 分 一、选择题:共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有一 项是符合题目要求的. 1.已知集合 A ? {x | ( x ? 1)( x ? 3) ? 0} , B ? {x | 2 ? x ? 4} ,则 A ? B ? (A) {x | 2 ? x ? 3} (C) {x | 3 ? x ? 4} (B) {x | 1 ? x ? 3} (D) {x | 1 ? x ? 4}

2.已知等差数列 ?a n ? 中,若 a2 ? 1,a6 ? 13, 则公差 d = (A)
10

(B) 7

(C) 6

(D) 3

3.设 b ? 0 ? a , d ? c ? 0 ,则下列各不等式中恒成立的是 (A) ac ? bd (C) a ? c ? b ? d (B)

a b ? c d

(D) a ? c ? b ? d

4.与直线 3x ? 4 y ? 5 ? 0 关于 y 轴对称的直线方程是 (A) 3x ? 4 y ? 5 ? 0 (C) 3x ? 4 y ? 5 ? 0 (B) 3x ? 4 y ? 5 ? 0 (D) 3x ? 4 y ? 5 ? 0

5.圆 ( x ? 1) 2 ? ( y ? 4) 2 ? 25 被直线 4 x ? 3 y ? 4 ? 0 截得的弦长是

(A) 3

(B) 4

(C) 6

(D) 8

6.如图,在山顶 C 测得山下塔顶 A 和塔底 B 的俯角分别为 30°和 60°,已知塔高 AB 为
20m ,

则山高 CD 为 (A) 30m (C)
40 3 m 3

C
(B) 20 3m (D) 40m

) 30° )60° A

?x ? 1 ? 7.已知实数 x , y 满足 ? x ? y ? 1 ? 0 ,则 t ? 2 x ? y 的最小值是 ?2 x ? y ? 2 ? 0 ?
(A) 1 (C) 4 (B) 2 (D) 10

D

B

8.关于实数 x 的不等式 ? x 2 ? bx ? c ? 0 的解集是 {x | x ? ?3或x ? 2} , 则关于 x 的不等式 cx ? bx ? 1 ? 0 的解集是
2

1 1 , ) (B) ( ?2,3) 2 3 1 1 (C) ( ?? ,? ) ? ( ,?? ) (D) ( ??,?2) ? (3,??) 2 3 9.若直线 l1:x ? ?1? m? y ? 2 ? m 与 l2:mx ? 2 y ? ?8 平行,则实数 m 的值为
(A) ( ? (A) m ? 1 或 ? 2 (C) m ? ?2 (B) m ? 1 (D) m ? ?

2 3

10.若定义域为 R 的奇函数 f ( x ) 满足 f ( x ? 2) ? f ( x) ,且在 ? ?3, ?2? 上单调递减,则

3 1 (A) f ( ) ? f ( ) 4 2 3 1 (C) f ( ) ? f ( ) 4 2

3 1 (B) f ( ) ? f ( ) 4 2 3 1 (D) f ( ) 与 f ( ) 的大小不确定 4 2
2 2

11.若直线 ax ? by ? 1 ? 0 (其中 a ? 0 且 b ? 0 )平分圆 x ? y ? 4x ? 2 y ?1 ? 0 的周长, 则

1 2 ? 的最小值为 a b (A) 16 (B) 8

(C) 4

(D) 2

| PB |2 ? | PD |2 1 12.已知矩形 ABCD , 点 P 满足 AP ? ? AC , ? ? [ ,1] ,则 的最大值是 4 | PA |2

(A) 1

(B) 2

(C) 5

(D) 10

第Ⅱ卷
注意事项: 1.答题前,考生先在答题卷上将自己的姓名、准考证号填写清楚,然后贴好条形码; 请认真核准条形码上的准考证号、姓名和科目. 2.第Ⅱ卷共 2 页,请在答题卷上各题的答题区域内作答,在试题卷上作答无效 . ......... 3.第Ⅱ卷共 l0 个小题,共 90 分. 二、填空题:本大题共 4 个小题,每小题 5 分,共 20 分.请把答案直接填在答题卡对应题 中横线上.(注意 : 在试题卷上作答无效 ) .. ......... 13.过点 A(1,2) ,且倾斜角为 45°的直线的方程是 ▲ . 14.在等差数列 {an } 中,若 a2 ? a5 ? a8 ? 15 ,则数列 {an } 的前 9 项和 S9 ? ▲ .

15.已知点 A(1,1) , B(3,2) ,若直线 l :mx ? y ? 1 ? 0 与线段 AB 相交,则实数 m 的取值范围为 ▲ .

? a ? e x,x ? 0 16. 已 知 函 数 f ( x) ? ? 其中 e 为自然对数的底数,若关于 x 的方程 , ?? ln x,x ? 0
f ( f ( x)) ? 0 有且只有一个实数根,则实数 a 的取值范围是 ▲ .
三、解答题:本大题共 6 小题,共 70 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 17.(本小题满分 10 分)(注意 : 在试题卷上作答无效 ) .. ......... 在锐角 ?ABC 中,角 A 、 B 、 C 的对边分别为 a、b、c ,且 2b sin A ? 3a .

(I) 求角 B 的大小;

(II) 若 b ? 6,a ? c ? 8 ,求 ?ABC 的面积.

18.(本小题满分 12 分)(注意 : 在试题卷上作答无效 ) .. ......... 已知函数 f ( x) ? 3 sin2 x ? 2 cos2 x ? 3 .

(I) 求 f ( x) 的最小正周期;

(II) 求 f ( x) 在 [0, ] 上的最值.
2

?

19.(本小题满分 12 分)(注意 : 在试题卷上作答无效 ) .. ......... 在平面直角坐标系 xOy 中,已知 a ? (2,1) , | b |?
5 . 2

(I) 若 b ∥ a ,求 b 的坐标;

(II) 若 a ? b 与 2a ? 5b 垂直,求 a 与 b 的夹角 ? 的大小.

20.(本小题满分 12 分)(注意 : 在试题卷上作答无效 ) .. ......... 在平面直角坐标系 xOy 中,已知直线 y ? x 与圆心在第二象限的圆 C 相切于原点 O , 且圆 C 与圆 C ?: x 2 ? y 2 ? 2 x ? 2 y ? 6 ? 0 的面积相等.

(I) 求圆 C 的标准方程;

(II) 试探究圆 C 上是否存在异于原点的点 Q ,使点 Q 到定点 F (4,0) 的距离等于线段 OF 的
长?若存在,求出点 Q 的坐标;若不存在,请说明理由.

21.(本小题满分 12 分)(注意 : 在试题卷上作答无效 ) .. ......... 已知定义在 R 上的函数 f ( x ) ,对任意 x , y ? R 都有 f ( x ? y ) ? f ( x ) ? f ( y ) ,且 f ( x ) 是 R 上 的增函数.

(I) 求证:函数 f ( x ) 是 R 上的奇函数;

(II) 若不等式 f (k ? 2 x ) ? f (2 x ? 4 x ? 2) ? 0 对任意 x ? R 恒成立,求实数 k 的取值范围.

22.(本小题满分 12 分)(注意 : 在试题卷上作答无效 ) .. ......... 已知数列 {a n } 的前 n 项和 S n 满足 Sn ?

3 1 an ? ,数列 {bn } 满足 bn ? 2 l o g 3 a n ? 1 ,其中 2 2

n ? N* .

(I) 求数列 {an } 和 {bn } 的通项公式;

(II) 设 c n ?
值范围.

bn ,数列 {cn } 的前 n 项和为 Tn ,若 Tn ? c 2 ? 2c 对 n ? N ? 恒成立,求实数 c 的取 an

2015 年春期高中教育质量协同提升责任区期末联合测试 数学试题参考答案及评分意见
说明: 一、本解答给出了一种解法供参考,如果考生的解法与本解答不同,可比照评分意见制 订相应的评分细则. 二、对计算题,当考生的解答在某一步出现错误时,如果后继部分的解答未改变该题的 内容和难度, 可视影响的程度决定后继部分的给分, 但不得超过该部分正确解答应得分数的 一半,如果后继部分的解答有较严重的错误,就不再给分. 三、解答右端所注分数,表示考生正确做到这一步应得的累加分数. 四、只给整数分数,选择题和填空题不给中间分. 一、选择题(每小题 5 分,共 60 分) 题号 答案 1 A 2 D 3 C 4 A 5 C 6 A 7 B 8 C 9 B 10 A 11 B 12 D

二、填空题(每小题 5 分,共 20 分) 13. x ? y ? 1 ? 0 ; 14.45;

0) ? (0, 1) 15. [1,2] ; 16. (??,

三、解答题(共 70 分). 17.解:(Ⅰ)由 2b sin A ? 3a 以及正弦定理 又因为 B 为锐角,? B ?
3 a b ,得 sin B ? , ? 2 sin A sin B

?
3
--------------------5 分

(II)由余弦定理b 2 ? a 2 ? c 2 ? 2ac cos B, ? a 2 ? c 2 ? ac =36, 28 ? a ? c ? 8 ? ac ? , 3 1 7 3 ? S?ABC ? ac sin B ? . 2 3
-------------------10 分

18.解:(I) f ( x) ? 3 sin 2 x ? cos 2 x ? 4 ? 2( ? 2(sin 2 x cos
2?

?

? cos 2 x sin ) ? 4 ? 2sin(2 x ? ) ? 4 6 6 6
--------------------4 分 --------------------6 分

?

3 1 sin 2 x ? cos 2 x) ? 4 2 2

?

?T ?

?

??

(??) ? 0 ? x ?

?
2

?

?
6

? 2x ?

?
6

?

7? 1 ? ?? ? sin(2 x ? ) ? 1? 3 ? f ( x) ? 6 6 2 6

? ?? ?当x ? ?0, ? 时,f ( x) min ? 3, f ( x) max ? 6. ? 2?
------------------12 分

? 1 ? ? ? 5 , | b |? | a | ,又? b // a 2 2 ? ? ? 1? 1 1 1 ? b ? ? a ? ?(1, ) ,? b ? (1, ) 或 b ? ( ?1, ? ) . 2 2 2 2 ? ? ? ? ? ? ? ? (2)? a ? b 与 2a ? 5b 垂直, ?(a ? b) ? (2a ? 5b) ? 0 ? ? ? ? ? ? 5 ? 2 | a |2 ?3a ? b ? 5 | b |2 ? 0,? a ? b ? 4 ? ? a ?b 1 ? cos? ? ? ? ? | a || b | 2 ?? ?[0,? ] ? ?? ? 3
19.解: (1)?| a |? 5 , | b |?

?

--------------6 分

--------------10 分

--------------------12 分

20.解: (I)圆x2 ? y 2 ? 2x ? 2 y ? 6 ? 0的方程可化为( x ?1)2 ? ( y ?1)2 ? 8,
--------------------2 分

圆C与圆x 2 ? y 2 ? 2 x ? 2 y ? 6 ? 0的面积相等 ? 两圆的半径相等 ?圆C的半径为2 2. 设圆C的圆心为C (a,b),则圆C的方程为( x ? a) 2 ? ( y ? b) 2 ? 8, ? 直线y ? x与圆C相切于原点O, ?a 2 ? b 2 ? 8 ? a ? 2 ?a ? ?2 ? ?点O在圆C上,且OC垂直于直线y ? x,于是有 ? b ?? 或? . ? ?1 ?b ? ?2 ? b ? 2 ? ? a ?a ? ?2 由于点C (a,b)在第二象限,故a ? 0,b ? 0, ?? ?圆C的方程为( x ? 2) 2 ? ( y ? 2) 2 ? 8. b ? 2 ?
--------------------6 分
? ( x ? 4) 2 ? y 2 ? 16 (II)假设存在点Q满足题意,设Q( x,y ),则有 ? , 2 2 ?( x ? 2) ? ( y ? 2) ? 8

--------------------8 分

4 ? x? ? ?x ? 0 ? 5 解得 ? 或? (舍) ? y ? 12 ? y ? 0 ? 5 ? 4 12 ? 存在点Q( , ),使点Q到定点F (4,的距离等于线段 0) OF的长. 5 5
--------------------12 分 21. (I) 证明:? f ( x ? y) ? f ( x) ? f ( y)

? f (0 ? 0) ? f (0) ? f (0) ? f (0) ? 0

将y ? ? x代入f ( x ? y) ? f ( x) ? f ( y)得,
f ( x ? x) ? f ( x) ? f ( ? x) ? 0
? f ( ? x) ? ? f ( x),? f ( x)为奇函数.

------------6 分

(II) 解: ?由(I)知f ( x)在R上是奇函数,又是增函数

? f (k ? 2x ) ? ? f (2x ? 4x ? 2) ? f (?2x ? 4x ? 2) 对 任意x ? R恒成立.
k ? 2x ? ?2x ? 4x ? 2 对 任意x ? R恒成立.

22 x ? (1 ? k ) ? 2x ? 2 ? 0对任意x ? R恒成立令 . t ? 2x ? 0, . ?t 2 ? (1 ? k )t ? 2 ? 0对任意t ? 0恒成立
令f (t ) ? t 2 ? (1 ? k )t ? 2,其对称轴为x ?
------------8 分

1? k 1? k ,当 ? 0即k ? ?1时,f (0) ? f (t ) min ? 2 ? 0. 2 2



1? k ? 0即k ? ?1时,对任意t ? 0, f (t ) ? 0, 解得 ? 1 ? k ? ?1 ? 2 2 2 综上所述,当k ? (??, ? 1 ? 2 2)时,f (k ? 2 x ) ? f (2 x ? 4 x ? 2) ? 0对任意x ? R恒成立.
------------12 分

2 2 ? 1恒成立,令t ? 2 x ? 0,则g (t ) ? t ? ? 1 ? 2 2 ? 1 x 2 t 1 当且仅当t ? 2即x ? 时取等号, ? k ? 2 2 ? 1. 2 方法二:即k ? 2 x ?

?k ? (??, ?1? 2 2)时,f (k ? 2x ) ? f (2x ? 4x ? 2) ? 0对任意x ? R恒成立.
------------12 分

3 1 an ? (n ? N * ) ① 2 2 3 1 ?当n ? 1, S1 ? a1 ? ,? a1 ? 1 2 2 3 1 当 n ? 2, ? S n ?1 ? an ?1 ? ② 2 2 3 3 ①-②:? an ? an ? an ?1 ,即: an ? 3an?1 (n ? 2) 2 2
22.解: (I) ? Sn ? 又? a1 ? 1 ?

------------1 分

------------4 分

a n ?1 ? 3 对 n ? N ? 都成立,所以 ?an ? 是等比数列, an
-------------5 分 --------------6 分

? an ? 3n?1 ( n ? N ? )

bn ? 2log3 an ?1 =2log3 3n?1 +1=2n ?1 (n ? N ? )
2n ? 1 3n ?1 1 3 5 2n ? 1 ? Tn ? 0 ? 1 ? 2 ? ? ? n ?1 3 3 3 3 1 1 3 5 2n ? 3 2n ? 1 ? Tn ? 1 ? 2 ? 3 ? ? ? n ?1 ? n 3 3 3 3 3 3

(II) cn ?

① ②

--------------7 分

1 1 (1 ? n ?1 ) 2 1 1 1 1 2n ? 1 2n ? 1 3 ① -②:? Tn ? 0 ? 2( 1 ? 2 ? ? ? n ?1 ) ? ? 1? 2 ? 3 ? n n 1 3 3 3 3 3 3 3 1? 3
?Tn ? 3 ? ? n ?1 3n?1
--------------10 分

n ?1 ? ? 0 ,?Tn ? 3 对 n ? N 都成立 n ?1 3

? 3 ? c 2 ? 2c ? c ? 3或c ? ?1

? 实数 c 的取值范围为 (??, ?1] ? [3, ??) .

---------------12 分


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