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1.7.1


1.7.1 定积分在几何中 的应用

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学习目标 1.能说出定积分的几何意 义; 2.学会利用定积分求平面图形 的面积; 3.加深定积分基本定理及性质 的应用. 重点难点 重点:利用定积分求简单平面图 形的面积; 难点:利用定积分求较为复杂的图形 的面积.

复习
前面,我们运用分割→近似代替→求和→取极限 的过程,求出了一些曲边梯形(由函数 y ? f ( x ) ( f ( x ) ≥ 0 ) 的图象和直线 x ? a , x ? b , x 轴围成的 平面图形)的面积. 并把它们浓缩成了一个结果:定积分( ? f ( x )dx )
a b

微积分基本定理(牛顿-莱布尼茨公式)

?

b

a

f ( x )dx ? F ( x ) ? F (b) ? F (a )
b a

我们知道定积分 ? f ( x )dx 的几何意义:
a

b

它是介于 x 轴、函数 f ( x ) 的图象及两条直线 x ? a , x ? b 之间的各部分面积的代数和 .( 在 x 轴 上方的面积取正号,在 x 轴下方的面积取负号)

?

b

a

f ( x )dx ? S1 ? S 2 ? S 3
S1 S2

S3

思考:试用定积分表示下面各平面图形的面积值: 图1.曲边梯形 y y ? f ( x) 图 2.如图 y

y ? f2 ( x) y ? f1 ( x )

A1 ? ? f ( x )dx
a

o

a
b

b

x

A2 ? ? [ f 2 ( x ) ? f1 ( x )]dx
a

o

a

b

b

x

图 y3.如图
0

a

b

图4.如图 y y ? f2 ( x)

x
0

a
b x
b

y ? f ( x)

A3 ? ?? f ( x )dx
a

b

A4 ? ? [ f 2 ( x ) ? f1 ( x )]dx
a

y ? f1 ( x )

类型1.求由一条曲线y=f(x)和直线
x=a,x=b(a<b)及x轴所围成平面图形的面积

S

例1

计算由曲线 y ? 2 x ,直线 y ? x ? 4以及 x 轴所
y ? 2x

围成的图形的面积.

解:

两曲线的交点
S1

? ? y ? 2x ? (0,0), (8, 4). ? ? ?y ? x ? 4 直线与x轴交点为(4,0)

S2 y ? x?4

S ? S1 ? S2 ? ?

4

2 2 3 1 2 40 8 2 8 ? x |0 ?( x ? 4 x ) |4 ? 3 2 3

??

? (?
8 0

4

0

2 xdx ? ? ( x ? 4)dx
4

2 xdx ? ?

0

2 xdx ? [?
8

8

4 8

2 xdx ) ? ? ( x ? 4)dx
4

4

2 xdx ? ? ( x ? 4)dx]
8

8

4

方法小结
求在直角坐标系下平面图形的面积步骤: 1. 作图象; 2. 求交点的横坐标,定出积分上、下限;

3. 确定被积函数,用定积分表示所求的面积,

特别注意分清被积函数的上、下位置;
4. 用牛顿-莱布尼茨公式求定积分.

练习1. 求抛物线y=x2-1,直线x=2,y=0所围成的 图形的面积。
解:如图:由x2-1=0得到抛物线与x轴 的交点坐标是(-1,0),(1,0).所求面积 如图阴影所示:
所以:

y

S ? ? ( x ? 1)dx ?? ( x 2 ? 1)dx
2 1 ?1

2

1

x x 8 ? ( ? x) ? ( ? x) ? 3 3 3 1 ?1

3

2

3

1

法2:s ? ?

8

0

2 2 ? x | ?8 3 2 2 40 ? ? 16 2 ? 8 ? 3 3 4 1 2 法3:s ? ? [( 4 ? y ) ? y ]dy 0 2 1 2 1 3 4 ? ( 4 y ? y ? y ) |0 2 6 1 2 1 3 40 ? 4? 4 ? ? 4 ? ? 4 ? 2 6 3

1 2 xdx ? ? 4 ? (8 ? 4) 2
3 2 8 0

1 2 x? y 2

x ? 4? y

练习 2
2 计算由曲线 y ? 2 x 和直线 y ? x ? 4所围成的图形的面积 解: 两曲线的交点

? y2 ? 2 x ? ( 2,?2), (8,4). ? ?y ? x?4 S ? 2 S1 ? S2

? 2?

2

0

2 xdx ? ? ( 2 x ? x ? 4)dx
2

8

y ? 2x y ? x ? 4 x ? 4? y S1 S2 S1
y2 ? 2 x

x?

1 2 y 2

1 2 1 2 1 3 4 法 2:s ? ? [( 4 ? y ) ? y ]dy ? ( 4 y ? y ? y ) |?2 ? 18 ?2 2 2 6
4

3 16 64 26 2 2 3 2 2 1 2 2 8 ? 2? x 2 |0 ?( x 2 ? x ? 4 x ) |2 ? ? ? ? 18 3 3 3 3 3 2

类型2:由两条曲线y=f(x)和y=g(x),直线 x=a,x=b(a<b)所围成平面图形的面积S
y ? f ( x)
y ? g ( x)

y

y ? f ( x)

o

a
y ? g ( x)

b x
(2)

(1)

总结: 当 x∈[a, b]有 f(x)>g(x)时, 由直线 x=a, x=b(a≠b) 和曲线 y=f(x),y=g(x)围成的平面图形的面积 S=

?

f ? x ? ? g ? x ?? dx ? ? ? . a

b

例 2 计算由两条抛物线 y ? x 和 y ? x 所围成的
2 2

图形的面积. ? ?y ? x
解:

? x ? 0及x ? 1 ? 2 ? ?y ? x 两曲线的交点 O(0, 0) B(1,1)

y ?x
C

y2

S ? S曲梯形OABC - S曲梯形OABD
??
1 0

B

xdx ? ? x dx
2
1

1

2 y ? x D

2 3 x 2 1 1 2 ? x ? ? ? ? . 3 3 0 3 3 3 0 1 3 1 2 3 x 1 2 2 或S ? ? ( x - x )dx ? ( x ? ) ? . 0 3 3 0 3

0 3 1

o

A

x

练习 3:计算由曲线 y ? x 3 ? 6 x 和 y ? x 2 所围成的图形的面积.
? y ? x3 ? 6x ? (0,0), ( ?2,4), ( 3,9). ? 2 ?y ? x 0
解: 两曲线的交点

y ? x2

A1 ? ?

A2 ? ? ( x ? x ? 6 x)dx
2 3 0

?2 3

( x ? 6 x ? x )dx
3 2

A1
A2
y ? x3 ? 6x
3

于是所求面积
0 3

A ? A1 ? A2
2 3

253 A ? ?? 2 ( x ? 6 x ? x )dx? ?0 ( x ? x ? 6 x )dx ? . 12 说明:注意各积分区间上被积函数的形式.
2

注:

求两曲线围成的平面图形的面积的一般步骤: (1)作出示意图;(弄清相对位置关系) (2)求交点坐标;(确定积分的上限,下限) (3)确定积分变量及被积函数; (4)列式求解.

课本P58页练习
求下列曲线所围成的图形的面积:
(1)y=x2,y=2x+3;

(2)y=ex,y=e,x=0.

32 (1) S ? ? ((2 x ? 3) ? x )dx ? ?1 3
3 2

(2)S ? ? (e ? e x )dx ? 1
0

1

课堂小结
求在直角坐标系下平面图形的面积步骤: 1. 作图象; 2. 求交点的横坐标,定出积分上、下限;

3. 确定被积函数,用定积分表示所求的面积,

特别注意分清被积函数的上、下位置;
4. 用牛顿-莱布尼茨公式求定积分.



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