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高中数学知识点总结(6)


高中数学知识点总结
60. 三类角的定义及求法 (1)异面直线所成的角θ,0°<θ≤90°

(2)直线与平面所成的角θ,0°≤θ≤90°

θ= 0 o 时,b∥α或b ? α

( 3)二面角:二面角α ? l ? β的平面角θ, 0 o < θ ≤ 180 o

(三垂线定理法:A∈α作或证 AB⊥β于 B,作 BO⊥棱于 O,连 AO,则 AO⊥棱 l, ∴∠AOB 为所求。) 三类角的求法: ①找出或作出有关的角。 ②证明其符合定义,并指出所求作的角。 ③计算大小(解直角三角形,或用余弦定理)。 [练习] (1)如图,OA 为α的斜线 OB 为其在α内射影,OC 为α内过 O 点任一直线。

证明: cos γ = cos θ· cos β

A

α O γ θ β C D B

(θ为线面成角,∠AOC = γ,∠BOC = β)
(2)如图,正四棱柱 ABCD—A1B1C1D1 中对角线 BD1=8,BD1 与侧面 B1BCC1 所成的 为 30°。 ①求 BD1 和底面 ABCD 所成的角; ②求异面直线 BD1 和 AD 所成的角; ③求二面角 C1—BD1—B1 的大小。 D1 A1 B1 H G D A B C C1

3 6 (① arcsin ;② 60 o ;③ arcsin ) 4 3
(3)如图 ABCD 为菱形,∠DAB=60°,PD⊥面 ABCD,且 PD=AD,求面 PAB 与 面 PCD 所成的锐二面角的大小。 P F

D

C

A

E

B

(∵AB∥DC, 为面 PAB 与面 PCD 的公共点, PF∥AB, PF 为面 PCD 与面 PAB P 作 则 的交线……)

61. 空间有几种距离?如何求距离?

点与点,点与线,点与面,线与线,线与面,面与面间距离。 将空间距离转化为两点的距离, 构造三角形, 解三角形求线段的长 (如: 三垂线定理法, 或者用等积转化法)。 如:正方形 ABCD—A1B1C1D1 中,棱长为 a,则: (1)点 C 到面 AB1C1 的距离为___________; (2)点 B 到面 ACB1 的距离为____________; (3)直线 A1D1 到面 AB1C1 的距离为____________; (4)面 AB1C 与面 A1DC1 的距离为____________; (5)点 B 到直线 A1C1 的距离为_____________。 D A B C

D1 A1 B1

C1

62. 你是否准确理解正棱柱、正棱锥的定义并掌握它们的性质? 正棱柱——底面为正多边形的直棱柱 正棱锥——底面是正多边形,顶点在底面的射影是底面的中心。

正棱锥的计算集中在四个直角三角形中:

Rt?SOB,Rt?SOE,Rt?BOE和Rt?SBE
它们各包含哪些元素?

S 正棱锥侧 = V锥 =

1 C·h' (C——底面周长,h' 为斜高) 2

1 底面积×高 3

63. 球有哪些性质?

(1)球心和截面圆心的连线垂直于截面r = R 2 ? d 2
(2)球面上两点的距离是经过这两点的大圆的劣弧长。为此,要找球心角! (3)如图,θ为纬度角,它是线面成角;α为经度角,它是面面成角。

( 4 )S 球 = 4 πR 2 ,V球 =

4 πR 3 3

(5)球内接长方体的对角线是球的直径。正四面体的外接球半径 R 与内切球半径 r 之 比为 R:r=3:1。

如:一正四面体的棱长均为 2 ,四个顶点都在同一球面上,则此球的表面
积为( )

A. 3π

B. 4 π

C. 3 3π

D. 6π

答案:A 64. 熟记下列公式了吗?

(1)l 直线的倾斜角α ∈[0,π ),k = tan α =

y 2 ? y1 ? π ? ? α ≠ ,x 1 ≠ x 2 ? ? ? x 2 ? x1 2


P1 ( x 1 ,y 1 ),P2 ( x 2 ,y 2 )是l 上两点,直线l 的方向向量 a = (1,k )
(2)直线方程:

点斜式:y ? y 0 = k( x ? x 0 ) (k存在)

斜截式:y = kx + b
截距式: x y + =1 a b

一般式:Ax + By + C = 0 (A、B不同时为零)
( 3)点P( x 0 ,y 0 )到直线l :Ax + By + C = 0的距离 d =
( 4 )l1 到l2 的到角公式: tan θ = k 2 ? k1 1 ? k1k 2

Ax 0 + By 0 + C A 2 + B2

l1 与l2 的夹角公式: tan θ =

k 2 ? k1 1 ? k1k 2

65. 如何判断两直线平行、垂直?

A 1 B 2 = A 2 B1 ? ? ? l1 ∥l2 A 1C 2 ≠ A 2 C1 ?

k 1 = k 2 ? l1 ∥l 2 (反之不一定成立) A 1A 2 + B1 B 2 = 0 ? l1 ⊥l2
k 1 ·k 2 = ?1 ? l1 ⊥l2
66. 怎样判断直线 l 与圆 C 的位置关系? 圆心到直线的距离与圆的半径比较。 直线与圆相交时,注意利用圆的“垂径定理”。 67. 怎样判断直线与圆锥曲线的位置?

联立方程组 ? 关于x(或y)的一元二次方程 ? “?” ? > 0 ? 相交;? = 0 ? 相切;? < 0 ? 相离
68. 分清圆锥曲线的定义

?椭圆 ? PF1 + PF2 = 2a, 2a > 2c = F1 F2 ? ? 第一定义 ?双曲线 ? PF1 ? PF2 = 2a, 2a < 2c = F1 F2 ? ?抛物线 ? PF = PK ?
第二定义:e = PF PK = c a

0 < e < 1 ? 椭圆;e > 1 ? 双曲线;e = 1 ? 抛物线
y b O F1 F2 a x

a2 x= c

x2 y2 + = 1 (a > b > 0) a 2 b2

(a

2

= b2 + c2

)

x2 y2 ? = 1 (a > 0,b > 0) a2 b2

(c

2

= a 2 + b2

)
e>1 P F e=1 0<e<1

k

69. 与双曲线

x2 y2 x2 y2 ? 2 = 1有相同焦点的双曲线系为 2 ? 2 = λ (λ ≠ 0) a2 b a b

70. 在圆锥曲线与直线联立求解时,消元后得到的方程,要注意其二次项系数是否为零? △≥0 的限制。(求交点,弦长,中点,斜率,对称存在性问题都在△≥0 下进行。)

弦长公式 P1 P2 =

(1 + k )[(x
2

1

+ x 2 ) ? 4x1 x 2
2

]

1? 2 ? = ?1 + 2 ? (y1 + y 2 ) ? 4 y 1 y 2 ? ? k
71. 会用定义求圆锥曲线的焦半径吗? 如: y

[

]

P(x0,y0) K

F1

O

F2

x

l

x2 y2 ? =1 a2 b2

PF2

? a2 ? = e, PF2 = e? x 0 ? ? = ex 0 ? a PK c? ?

PF1 = ex 0 + a
y A P2

O P1

F

x

B

y 2 = 2 px( p > 0)
通径是抛物线的所有焦点弦中最短者;以焦点弦为直径的圆与准线相切。 72. 有关中点弦问题可考虑用“代点法”。

如:椭圆mx 2 + ny 2 = 1 与直线 y = 1 ? x 交于M、N两点,原点与MN中点连
2 m ,则 的值为 2 n

线的斜率为

答案:

m 2 = n 2

73. 如何求解“对称”问题? (1)证明曲线 C:F(x,y)=0 关于点 M(a,b)成中心对称,设 A(x,y)为曲线 C 上任意一点,设 A'(x',y')为 A 关于点 M 的对称点。

(由a =

x + x' y + y' ,b = ? x ' = 2 a ? x, y ' = 2 b ? y) 2 2

只要证明A ' (2a ? x, 2 b ? y)也在曲线C上,即f ( x') = y'
?AA ' ⊥l ( 2 )点A、A ' 关于直线l 对称 ? ? ?AA ' 中点在 l 上 ?k AA ' ·k l = ?1 ?? ?AA ' 中点坐标满足 l 方程
?x = r cos θ 74. 圆x 2 + y 2 = r 2 的参数方程为 ? (θ为参数) ?y = r sin θ

椭圆

?x = a cos θ x2 y2 + 2 = 1的参数方程为 ? (θ为参数) 2 a b ?y = b sin θ

75. 求轨迹方程的常用方法有哪些?注意讨论范围。 (直接法、定义法、转移法、参数法) 76. 对线性规划问题: 作出可行域, 作出以目标函数为截距的直线, 在可行域内平移直线, 求出目标函数的最值。

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