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福建省2013届福州八中高三毕业班模拟考数学理科试卷


福州八中 2012—2013 学年高三毕业班模拟考

数学(理)试题
考试时间:120 分钟
参考公式: 样本数据 x1 ,x2 , … ,xn 的标准差

试卷满分:150 分

锥体体积公式

s=

1 ? ( x1 ? x )2 + ( x2 ? x ) 2 + … + ( xn ? x ) 2 ? ? ? n

V=

1 Sh 3

其中 x 为样本平均数 柱体体积公式

其中 S 为底面面积,h 为高 球的表面积、体积公式

V=Sh
其中 S 为底面面积,h 为高

4 S = 4 πR 2 , V = πR 3 3
其中 R 为球的半径 第Ⅰ卷 (选择题 共 50 分)

一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符 合题意要求的. 1. 已知集合 A = { x | x ≤ 2} , B = { x | x( x ? 3) < 0} ,则 A ∩ B = A . { x | 0 < x ≤ 2} C. { x | x ≤ 2 ,或 x > 3} 2. 在复平面内,复数 z = A .第一象限 C.第三象限
2

B . { x | x < 0} D. { x | x < 0 ,或 x ≥ 2}

1 ? 2i 对应的点位于 1- i
B .第二象限 D.第四象限

3. 已知数列 {a n } 的前 n 项和 Sn = n ,则 a5 等于 A . 25 B . 16 C. 11 D. 9

4. 一个几何体的三视图如图所示,其中俯视图是一个菱形, 则该几 何体的体积为 A. 2 B. 2 2 正视图 1 侧视图

3 3 3 2

3 4 3

C.

D.

俯视图

1

5. 函数 f ( x ) = ? A. 4 6. 已知不等式 A . k < 16

? x + 1,
2

x ≥ 0, 的图象和函数 g ( x) = e x 的图象的交点个数是 x < 0 x + 2 x + 1 , ?
B. 3 C. 2 D. 1

1 9 k + > 对任意正数 x 、 y 恒成立,则实数 k 的取值范围是 x y x+ y
B . k > 16 C. k > 12 D. k < 12

7. 已知 a 为常数,则使得 a > A. a > 0 B. a < 0



e 1

1 dx 成立的一个充分而不必要条件是 x
C. a > e D. a < e

8. 已知 O 为坐标原点,直线 y = x + a 与圆 x 2 + y 2 = 4 分别交于 实数 a 的值为 A .1 B. 2 C. ± 1

A, B 两点.若 OA ? OB = ?2 ,则

D. ± 2

9. 三个学校分别有 1 名、2 名、3 名学生获奖,这 6 名学生要排成一排合影,则同校学生排在一起的 概率是 A.

1 30

B.

10. 设 向量 a = (a1 , a 2 ) , b = (b1 , b2 ) , 定义 一 运算 : a ? b = ( a1 , a2 ) ? ( b1 , b2 ) = ( a1 b ,已知 1, a 2b 2)

?

1 15

C.

?

1 10

D.

?

?

1 5

?? 1 ? ???? ?? ? m = ( , 2) , n = ( x1 , sin x1 ) 。点 Q 在 y = f ( x) 的图像上运动,且满足 OQ = m ? n (其中 O 为坐标原 2
点) ,则 y = f ( x) 的最大值及最小正周期分别是 A.

1 ,π 2
第Ⅱ卷

B . 2, π

C.

1 , 4π 2

D. 2, 4π

(非选择题共 100 分) 开始

二、填空题:本大题共 5 小题,每小题 4 分,共 20 分. 把答案填在答题卡相应位置. 11. 已知 i , j 分别是平面内互相垂直的两个单位向量, 设向量

输入整数 x 是

ai + bj 与 i , j 的 夹 角 分 别 为 α , β , 则

x >1


cos 2 α + cos 2 β 的值等于________.
12. 已知程序框图如图所示,执行相应程序,输出 y 的 值为 1,则输入的整数 x 的值等于_____________.

y = e x+ 1

y = x2 ? 2x + 1

输出 y
2

结束

? y ≥ 1, ? 13. 若直线 y = kx + 1等分不等式组 ? x ≤ 2, 表示的平面区域的面积,则实数 k 的值为_____________. ? y ≤ 4 x + 1, ?
14.

( 2 ? x ) 展开式中不含 . . x 项的系数的和为_______.
3

8

15. 若对于定义在 R 上的函数 f (x) , 其图象是连续不断的, 且存在常数 λ ( λ ∈ R)使得 f (x + λ ) + λ f (x) = 0 对任意实数 x 都成立,则称 f (x) 是一个“ λ —伴随函数”. 有下列关于 “ λ —伴随函数”的结论: ①f (x) =0 是常数函数中唯一个“ λ —伴随函数”; ②f (x) = x 不是“ λ —伴随函数” ; ③f(x) = x2 是一个“ λ —伴随函数”; ④“

1 —伴随函数”至少有一个零点. 2

其中不正确 . . . . 的序号是________________(填上所有不 . 正确 . . 的结论序号) 三、解答题:本大题共 6 小题,共 80 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 16.(本小题满分 13 分) 若直线 y = m (m > 0) 是函数 f ( x ) = 且切点横坐标依次成公差为 π 的等差数列. (Ⅰ)求 ω 和 m 的值; (Ⅱ)在 ? ABC 中, a , b, c 分别是 A, B , C 的对边.若 (

3 cos 2 ω x ? sin ω x cos ω x ?

3 并 ( ω > 0) 的图象的一条切线, 2

A , 0) 是函数 f ( x ) 图象的一个对称中心,且 2

a = 4 ,求 b + c 的最大值.

17.(本小题满分 13 分) 某市为了了解今年高中毕业生的体能状况, 从本市某校高中毕 业班中抽取一个班进行铅球测试, 成绩在 8.0 米(精确到 0.1 米)以上 的为合格. 把所得数据进行整理后,分成 6 组画出频率分布直方图 的一部分(如图), 已知从左到右前 5 个小组的频率分别为 0.04, 0.10, 0.14,0.28,0.30.第 6 小组的频数是 7. (I) 求这次铅球测试成绩合格的人数; (II) 用此次测试结果估计全市毕业生的情况.若从今年的高中毕业生中随机抽取两名, 记 X 表示两人中成 绩不合格 . . . 的人数,求 X 的分布列及数学期望;
3

(III) 经过多次测试后,甲成绩在 8~10 米之间,乙成绩在 9.5~10.5 米之间,现甲、乙各投掷一次, 求甲比乙投掷远的概率.

18.(本小题满分 13 分) 如图,在三棱柱 ABC ? A1 B1 C1 中,侧棱 AA1 ⊥ 底面 A1 B1C1 ,

∠BAC = 900 , AB = AC = AA1 = 1 , D 是棱 CC1 的中点, P 是 AD
的延长线与 A1C1 的延长线的交点. (Ⅰ)求证: PB1 // 平面 A1 BD ; (Ⅱ)求二面角 A ? A1 D ? B 的平面角的余弦值; (Ⅲ)在直线 B1 P 上是否存在一点 Q ,使得 DQ ⊥ 平面 A1 BD ,若存在,求出 Q 点坐标,若不存在 请说明理由.

19.(本小题满分 13 分) 已知椭圆 C :

x2 y2 3 + 2 = 1 ( a > b > 0) 的离 心率 e = ,原点到过点 A( a, 0) , B(0, ?b) 的直线的距离是 2 a b 2

4 5 . 5
(Ⅰ)求椭圆 C 的方程; (Ⅱ)若椭圆 C 上一动点 P ( x0 , y0 ) 关于直线 y = 2 x 的对称点为 P1 ( x1 , y1 ) ,求 x12 + y12 的取值范围. (Ⅲ)如果直线 的值.

y = kx + 1(k ≠ 0) 交椭圆 C 于不同的两点 E , F ,且 E , F 都在以 B 为圆心的圆上,求 k

20.(本小题满分 13 分) 已知函数 f ( x ) =

4x ? a 在区间 [ m , n ] 上为增函数, 1+ x2
4

(Ⅰ)若 m=0, n =1 时,求实数 a 的取值范围; (Ⅱ)若 f ( m ) f (n ) = ?4 。则当 f ( n ) ? f (m ) 取最小值时, (ⅰ)求实数 a 的值; (ⅱ)若 P( x1 , y1 ), Q( x2 , y2 ) ( a < x1 < x2 < n) 是 f ( x ) 图象上的两点,且存在实数 x0 ∈ ( a, n ) 使得

f '( x0 ) =

f ( x2 ) ? f ( x1 ) ,证明: x1 < x0 < x2 . x2 ? x1

21. 本 题 有 ( 1 ) 、 (2) 、 (3)三个 选答题,每 题 7 分,请 考生任选 2 题做答 ,满分 14 分.如果多做,则按所做的前两题记分.作答时,先用 2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑, 并将所选题号填入括号中. (本小题满分 21 分,有(1) 、 (2) 、 (3)三个小题,每题 7 分,) (1) (本小题满分 7 分)选修 4-2:矩阵与变换 已知矩阵 M = ? ?2

?2 a? ,其中 a ∈ R ,若点 P(1, ?2) 在矩阵 M 的变换下得到点 P′(?4, 0) . 1? ?

(Ⅰ)求实数 a 的值; (Ⅱ)求矩阵 M 的特征值及其对应的特征向量. (2) (本小题满分 7 分)选修 4-4:坐标系与参数方程 以直角坐标系的原点 O 为极点, x 轴的正半轴为极轴.已知点 P 的直角坐标为 (1,?5) ,点 M 的极 坐标为( 4,

π π ) .若直线 l 过点 P ,且倾斜角为 ,圆 C 以 M 为圆心,半径为 4 . 2 3

(Ⅰ)求直线 l 的参数方程和圆 C 的极坐标方程; (Ⅱ)试判定直线 l 和圆 C 的位置关系. (3) (本小题满分 7 分)选修 4-5:不等式选讲 已知实数 x, y, z 满足 x 2 + y 2 + z 2 = 1 . (Ⅰ)求 x + 2 y + 2 z 的取值范围; (Ⅱ)若不等式 | a ? 3 | +

a ≥ x + 2 y + 2 z 对一切实数 x, y, z 恒成立,求实数 a 的取值范围. 2

5

福州八中 2012—2013 学年高三毕业班模拟考 数学(理)试题参考答案
ADDAC ACDCB

1.解析: B = { x | 0 < x < 3} , A ∩ B = { x | 0 < x ≤ 2},选 A . 2.解析: z =

(1 ? 2i) (1 ? 2i) (1 + i) 3 1 = = ? i ,对应的点在第四象限,选 D. (1 - i) (1 - i)( 1 + i) 2 2

3.解析: a5 = S5 ? S 4 = 25 ?16 = 9 ,选 D. 4.解析:选 A . 5.解析:如图,由函数

f (x) 和 g(x) 的图象可得交点个数 2 个,选 C .
1 9 1 9 y 9x + ) 恒成立,又 ( x + y )( + ) = 10 + + ≥ 16 ,当且仅当 y = 3 x 时等 x y x y x y

6.解析:依题意 k < ( x + y )(

号成立,所以 k < 16 ,选 A. 7.解析:解 a >



e

1

e1 1 dx 得 a > 1 ,可知使得 a > ∫ dx 成立的一个充分而不必要条件是 a > e ,选 C. 1 x x

8.解析:方法 1,设 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ) ,将直线方程代入圆的方程得

2 x 2 + 2 ax + a2 ? 4 = 0 ,则 x1 + x2 = ? a, x1 x2 =

a2 ? 4 , 2

OA ? OB = x 1x 2 + y1y 2 = x1x2 + ( x1 + a) ( x 2 +a) = 2x1 x2 + a( x1 + x2 ) + a 2
= a2 ? 4 ? a2 + a2 = a2 ? 4 = ?2 ,即 a2 = 2 ,即 a = ± 2 ,选 D.
方法 2, OA ? OB 于半径的一半,即

= ?2 ? 2 ? 2cos∠ AOB = -2 ,即 ∠AOB = 120 ? ,问题等价于圆心到直线的距离等
a
2 = 1 ,故 a = ± 2 ,选 D.

9.解析:

A22 ? A33 ? A33 72 1 = = 选 C. 6 A6 720 10
???? ?? ?
? 1 ? y = 2 sin 2 x, ∴T = π , 最大值为2 ,选 B.

x = x1 10.解析: OQ = m ? n = ( 1 x1 , 2 sin x1 ) ? ? ? 2
2

? ? y = 2 sin x1

11.解析:因为 cos α =

a a +b
2 2

, cos α =

b a +b
6
2 2

,所以 cos 2 α + cos 2 β = 1 ,填 1.

12.解析:当 x > 1 时,由 x 2 ? 2 x + 1 = 1,解得 x = 2 ;当 x ≤ 1 时,由 e x +1 = 1 ,解得 = ?1,所以填 ? 1或

2.
13.解析:作出可行域,可知当直线过中点(2,5)时,面积相等。所以 K=2.
3 14.解析:令 x = 1 ,可得所有项的系数和为 1,又含 x 3 项为 C86 2 2 ( ? x ) 6 = 112 x 3 ,则不含 . . x 项的系数

的和为 ? 111,故填 ? 111. 15.解析:①③ 16.解析: 本小题主要考查三角函数的化简、 三角函数图象和性质、 三角变换、 两角和差公式和正弦定理等, 考查运算求解能力,满分 13 分. (Ⅰ) f(x)= 3 ×

1 + cos 2ω x 1 3 π ? sin 2ω x ? = cos(2ω x + ) ,……3 分 2 2 2 6
…………4 分

由 f(x)的图象与直线 y = m (m > 0) 相切,得 m = 1 . 切点横坐标依次成公差为 π 的等差数列,所以周期 T=

2π =π , 所以 ω = 1 , … 6 分 2ω π π π π (Ⅱ)由(Ⅰ)知 f(x)=cos(2x + ) , 令 2 x + = + 2kπ , 得 x = + kπ ,k ∈Z ,7 分 6 6 2 6 A 点 ( , 0) 是函数 f ( x ) 图象的一个对称中心,又 A 是⊿ABC 内角, 2 A π π ∴ = , A= .……9 分 2 6 3
a=4,由余弦定理得 a 2 = b 2 + c 2 ? 2bc cos A = (b + c )2 ? 3bc ,

即(b + c ) 2 ? 3bc = 16 ,又 bc ≤ (
2 ∴ (b + c) -3bc ≥

b +c 2 ) , 2

(b + c ) 2 ,∴ (b + c ) ≤ 8……12 分 4

当且仅当 b=c=a=4 时(b+c)max =8 ……13 分 17.解析:解:(I)第 6 小组的频率为 1-(0.04+0.10+0.14+0.28+0.30)=0.14, ∴此次测试总人数为

7 = 50 (人). 0.14
……4 分

∴第 4、5、6 组成绩均合格,人数为(0.28+0.30+0.14)×50=36(人). (II) X =0,1,2, 此次测试中成绩不合格的概率为

14 7 7 ,∴ X ~ B(2, ) . = 50 25 25

P ( X = 0) = ( P ( X = 2) = (

18 2 324 , 7 18 252 , ) = P ( X = 1) = C 1 )( ) = 2( 25 625 25 25 625 7 2 49 . ) = 25 625 …………………………………7 分
7

所求分布列为

X P E( X ) = 2 ×
7 14 = 25 25

0
324 625

1
252 625

2
49 625

……………………9 分

(III)设甲、乙各投掷一次的成绩分别为 x 、 y 米,则基本事件满足的区域为 ?8≤x≤10 ,事件 A “甲比乙投掷远的概率”满足 ? ?9.5≤y≤10.5 的区域为 x > y ,如图所示. 1 1 1 × × ∴由几何概型 P ( A) = 2 2 2 = 1 . 1× 2 16

y
10.5 9.5

D A
8 9

F

C E B
10

x

……………13 分

18.解析:解析:本小题主要考查直线与平面平行,二面角等基础知识;考查空间想象能力,运算能力和推 理论证能力;考查数形结合思想,化归与转化思想等.满分 13 分. (Ⅰ)证明:连接 AB1 ,设 AB1 ∩ A1 B = M ,连接 MD , 因为 CD = C1 D , ∠ADC = ∠ PDC1 , 所以 Rt ?ACD ? Rt ?PC1 D ,所以 AD = DP . 又因为 AM = MB1 ,所以 MD // PB1 , 又 MD ? 平面 A1 BD , PB1 ? 平面 A1 BD ,所以 PB1 // 平面 A1 BD . ……4 分

(Ⅱ)如图,以 A1 为原点, A1 B1 、 A1C1 、 A1 A 所在直线分别为 x , y , z 轴建立空间直角坐标系,则由已知 得 A1 ( 0,0,0) , B1 (1,0,0) , C1 (0,1,0) , B (1,0,1) , D (0,1, ) , P(0,2,0) ,设平面 A1 BD 的一个法向量为

1 2

n = ( x, y, z ) ,
? n ? A1 B = x + z = 0, ? 取 z = ?2 ,得 n = (2,1,?2) ; 1 n ? A1 D = y + z = 0, ? ? 2

则?

又 m = A1 B1 = (1,0,0) 为平面 AA1 D 的一个法向量, 所以 cos < m , n >=

m?n 2 = , | m || n | 3
2 . 3
8

故二面角 A ? A1 D ? B 的平面角的余弦值为

……8 分

(Ⅲ)设存在 Q ,使得 DQ ⊥ 平面 A1 BD ,且 B1 Q = λ B1 P = λ ( ?1,2,0) = (?λ ,2λ ,0) , 则 DQ = DB1 + B1 Q = (1 ? λ, ?1 + 2λ ,? ) ,由 DQ ⊥ 平面 A1 BD 知, DQ 也是平面 A1 BD 的法向量,

1 2

1 ? 1 1 ? λ ? 1 + 2λ 1 这样 n = (2,1,?2) 与 DQ = (1 ? λ, ?1 + 2λ ,? ) 共线,于是有 = = 2 = 成立,但此方程 2 2 1 ?2 4
关于λ无解. 故在直线 B1 P 上不存在一点 Q ,使得 DQ ⊥ 平面 A1 BD . ……13 分

19.解析:解: (Ⅰ)因为

c 3 2 = , a ? b 2 = c 2 , 所以 a = 2b . a 2 x y ab 4 5 ,解得 a = 4 , b = 2 . ? = 1 的距离 d = = 2 2 a b 5 a +b x2 y 2 + = 1. 16 4
……………4 分

因为原点到直线 AB :

故所求椭圆 C 的方程为

(Ⅱ)因为点 P ( x0 , y 0 ) 关于直线 y = 2 x 的对称点为 P1 ( x1 , y1 ) ,
× 2 = ? 1, 所以 ? ? x0 ? x1 ? y0 ? y1

? ? y0 + y1 = 2 × x0 + x1 . ? ? 2 2

解得 x1 =

4 y0 ? 3 x0 3 y0 + 4 x0 2 2 2 2 , y1 = . 所以 x1 + y1 = x0 + y0 . 5 5

高三数学(理)模拟考试卷答案 第 3 页 共 6 页

高三数学(理

x2 y 2 3 x2 2 2 2 2 因为点 P ( x0 , y 0 ) 在椭圆 C : + = 1上, 所以 x1 + y1 = x0 + y0 =4+ 0 . 4 16 4
因为 ? 4 ≤ x0 ≤ 4 , 所以 4 ≤ x12 + y12 ≤ 16 .所以 x12 + y12 的取值范围为 [4, 16 ] . ………8 分

? y = kx +1, ? (Ⅲ)由题意 ? x 2 y 2 消去 y ,整理得 (1 + 4k 2 ) x 2 + 8kx ? 12 = 0 . 可知 ? > 0 . =1 ? + ? 16 4
设 E ( x2 , y2 ) , F ( x3 , y3 ) , EF 的中点是 M ( xM , y M ) , 则 xM =

x2 + x3 ?4k 1 , y = kxM + 1 = . = 2 1 + 4k 2 M 1 + 4k 2 yM + 2 1 =? . xM k
所以 xM + kyM + 2k = 0 . 又因为 k ≠ 0 ,

所以 k BM = 即

?4k k + + 2k = 0 . 2 1 + 4k 1 + 4k 2 1 2 .所以 k = ± 8 4

所以 k 2 =

……………13 分
9

20.解析:解: f ′ ( x ) =

4 (1 + x 2 ) ? 2 x ( 4 x ? a )

(1 + x )
2

2

=

?2 ( 2 x 2 ? ax ? 2 )

(1 + x )
2

2

, ………………2 分

(Ⅰ)若 m =0, n =1 时, f ′ ( x ) ≥ 0 在 [ 0,1] 上恒成立,

2 在 [0,1]上恒成立, x 2 2 2 令 y = 2 x ? ,∵ y ' = 2 + 2 > 0 , ∴ y = 2 x ? 在 ( 0,1] 单调递增, x x x
即 2 x 2 ? ax ? 2 ≤ 0, 即 a ≥ 2 x ?

2? ? ∴ a ≥ ? 2 x ? ? = 0 .………………5 分 x ?max ?
(Ⅱ) (ⅰ) 因为 f ( n ) ? f (m ) = f (n ) + ? ? ? f (m ) ? ? ≥ 2 f (n ) ? ?? f (m ) ? ? =4, 当且仅当 f ( n ) = ? f ( m ) = 2 时等号成立。 ……………………………7 分:

4n ? a 2 = 2 ,有 ? a = 2 ( n ? 1) ≥ 0 ,得 a ≤ 0 ; 2 1+ n 4m ? a 2 由 f (m) = = ?2 ,有 a = 2 ( m + 1) ≥ 0 ,得 a ≥ 0 ; 2 1+ m
由 f (n ) = 故 f ( n ) ? f (m ) 取得最小值时, a = 0 , n = 1 。 ………………9 分 (ⅱ)此时, f ′ ( x0 ) =
2 4 (1 ? x0 )

(1 + x )
2 0

2



4 (1 ? x1 x2 ) f ( x2 ) ? f ( x1 ) , = x2 ? x1 (1 + x12 )(1 + x22 )

由 f '( x0 ) =

2 f ( x2 ) ? f ( x1 ) 1 ? x0 1 ? x1 x2 知, = , ………10 分 2 2 2 2 x2 ? x1 1 + (1 + x0 ) ( x1 )(1 + x2 ) 2 1 ? x0

欲证 x1 < x0 < x2 ,先比较
2 1 ? x0 2 0 2

(1 + x )
2 0 2 1

2



1 ? x12

(1 + x )
2 1 2 2

2

的大小,

(1 + x ) (1 + x ) (1 + x )(1 + x ) (1 + x ) ( x ? x ) (2x + x ? x x ) ( x ? x ) ? ?x ( 2 ? x x ) + x ? ? = = (1 + x ) (1 + x ) (1 + x ) (1 + x )
2 1 2 2 1 2 1 2 1 2 2 1 2 1 2 1 1 2 2 2 1 2 2 2 2 1 2 2 2

?

1 ? x12

=

1 ? x1 x2

?

1 ? x12

因为 0 < x1 < x2 < 1 ,所以 0 < x1 x2 < 1,有 x1 ( 2 ? x1 x2 ) + x2 > 0 , 于是 ( x1 ? x2 ) ? ? x1 ( 2 ? x1 x2 ) + x2 ? ? < 0 ,即
2 0 2 1 2 1 2 1 ? x0 2 0 2

(1 + x ) (1 + x ) ( x ? x )( 3 + x + x ? x x ) , 1? x 1? x 另一方面, ? = (1 + x ) (1 + x ) (1 + x ) (1 + x )
2 1 2 0 2 1 2 0 2 1 2 0 2 0 2 2 1 2 2 0 2 2 1 2

?

2 1 ? x1 2

< 0 ,…12 分

10

2 2 2 2 2 2 2 因为 0 < x12 x0 < 1 ,所以 3 + x1 + x0 ? x1 x0 > 0 ,从而 x1 ? x0 < 0 ,即 x1 < x0 。

同理可证 x0 < x2 ,因此 x1 < x0 < x2 . ……………14 分

21.(1) (本小题满分 7 分)选修 4-2:矩阵与变换 解析:本小题主要考查矩阵与变换、 矩阵的特征值与特征向量等基础知识,考查运算求解能力.满分 7 分.

(Ⅰ)由 ?

? 2 a ? ? 1 ? ? ?4 ? ? ? ? = ? ? , 所以 2 ? 2 a = ?4 ? a = 3 . ---------3 分 ? 2 1 ? ? ?2 ? ? 0 ? ? 2 3? ,则矩阵 M 的特征多项式为 1? ?

(Ⅱ)由(Ⅰ)知 M = ? ?2

f (λ ) =

λ ? 2 ?3 = (λ ? 2)(λ ?1) ? 6 = λ 2 ? 3λ ? 4 ----------------------5 分 ?2 λ ? 1

令 f (λ ) = 0 ,得矩阵 M 的特征值为 ?1 与 4. (5 分)

当 λ = ?1 时, ?

? (λ ? 2) x ? 3y = 0 ? x+ y = 0 ? ?2 x + (λ ? 1) y = 0 ?1? ? ; --------------------6 分 ? ?1?

所以矩阵 M 的属于特征值 ?1 的一个特征向量为 ?

当 λ = 4 时, ?

? (λ ? 2) x ? 3y = 0 ? 2x ? 3y = 0 ? ?2 x + (λ ? 1) y = 0 ? 3? ? ?
-------------------7 分

所以矩阵 M 的属于特征值 4 的一个特征向量为 ? ? . 2 (2) (本小题满分 7 分)选修 4-4:坐标系与参数方程

解析:本小题主要考查圆的参数方程、直线与圆的位置关系等基础知识,考查运算求解能力.满分 7 分.

1 ? x =1+ t ? 2 ? , (t 为参数)---------2 分 (Ⅰ)直线 l 的参数方程为 ? ? y = ?5 + 3 t ? ? 2
圆 C 的极坐标方程为 ρ = 8 sin θ . (Ⅱ)因为 M ( 4, ---------4 分
3 x ? y ? 5 ? 3 = 0 ,圆心到 l 的距

π ) 对应的直角坐标为(0,4)直线 l 化为普通方程为 2
11

离d =

| 0 ? 4 ? 5? 3 | 9 + 3 = > 4 = r ,所以直线 l 与圆 C 相.……7 分 2 3 +1

(3) (本小题满分 7 分)选修 4-5:不等式选讲 解析:本小题主要考查绝对值不等式、柯西不等式等基础知识,考查运算求解能力.满分 7 分. (Ⅰ)由柯西不等式 9 = (12 + 22 + 22 ) ? (x 2 + y 2 + z 2 ) ≥ (1? x + 2? y + 2? z ) 2 , 即 ? 3 ≤ x + 2 y + 2z ≤ 3 ,

当且仅当 ? ?1

?x

y z 1 2 = > 0, 即x = ,y= z= 时, x + 2 y + 2 z 取得最大值 3. 2 2 5 5 ? x 2 + y 2 + z 2 = 1, ?
=

?x y z 1 2 当且仅当 ? 1 = 2 = 2 < 0, 即 x = ? ,y= z=? 时, x + 2 y + 2 z 取得最小值 ? 3 , 所以 x + 2 y + 2 z ? ? x 2 + y 2 + z 2 = 1, ?

5

5

的取值范围是 [ ?3,3] . (Ⅱ)由(Ⅰ)得,不等式 | a ? 3 | + 当且仅当 | a ? 3 | +

a ≥ x + 2 y + 2 z 对一切实数 x, y, z 恒成立, 2

a ≥ 3 成立, 2

?a < 3, ?a ≥ 3, ? ? 即? a 或 ? 3a 解得 a ≤ 0 ,或 a ≥ 4 ,所以实数 a 的取值范围是 (?∞,0] ∪ [4,+∞) . ?? + 3 ≥ 3, ? ? 3 ≥ 3, ? 2 ?2
---------------- (7 分)

12


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