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2012届高考数学第一轮复习强化训练 10.2《排列组合》新人教版选修2-3


10.2 排列组合
【考纲要求】 1、理解排列、组合的概念. 2、能利用计数原理推导排列数公式、组合数公式. 3、能解决简单的实际问题. 【基础知识】 一、排列 1、排列的定义:从 n 个不同元素中,任取 m ( m ? n )个元素(这里的被取元素各不相 同)按照一定的顺序排成一列,叫做从 n 个不同元素中取出 m 个元素的一个排列。 2、不同的排列的定义:元素和顺序

至少有一个不同. 3、相同的排列的定义:元素和顺序都相同的排列. 4、排列数的定义:从 n 个不同元素中,任取 m ( m ? n )个元素的所有排列的个数叫做从
m n 个元素中取出 m 元素的排列数,用符号 An 表示.

m 5、排列数公式 : An = n(n ? 1) ? (n ? m ? 1) =

n! ( n , m ∈ N ? ,且 m ? n ). (n ? m)!

n An ? n(n ? 1)(n ? 2) ??? 3 ? 2 ?1 ? n ! (叫做 n 的阶乘)

规定 0!? 1 二、组合 1、组合的定义:从 n 个不同元素中,任取 m ( m ? n )个元素,并成一组,叫做从 n 个 不同元素中取出 m 个元素的一个组合.
m 2、组合数:从 n 个不同的元素中取出 m ( m ? n )个元素的所有组合的个数,用符号 C n 表示. 3、组合数公式:

C

m n =

m An n(n ? 1) ? (n ? m ? 1) n! = = ( n ∈ N ? , m ? N ,且 m ? n ) m Am 1? 2 ? ? ? m m!(n ? m)! ?

0 规定 Cn ? 1 , 0!? 1

这里两个公式前者多用于数字计算,后者多用于证明恒等式及合并组合数简化计算,注 意公式的逆用,即由

n! m = Cn m!(n ? m)! ? m n m m m 4、组合数性质:(1) C n = C n ? m ;(2) C n + C n ?1 = C n ?1

5、要弄清排列和组合的区别和联系:有序排列,无序组合。 三、排列组合的综合问题 1、排列组合问题的解题步骤 仔细审题 ? 编程 ? 列式 ? 计算 2、编程的一般方法 一般问题直接法、相邻问题捆绑法、不相邻问题插空法、特殊对象优先法、等概率问 题缩倍法、至少问题间接法、复杂问题分类法、小数问题列举法。 3、解排列组合问题,要排组分清(有序排列,无序组合),加乘有序 (分类加法,分步 乘法)
用心 爱心 专心 -1-

【例题精讲】 例 1 从 5 名男生、3 名女生中选 5 人担任 5 门不同学科的课代表,分别求符合下列条件 的方法数; (1)女生甲担任语文课代表; (2)男生乙必须是课代表,但不担任英语课代表; (3)3 名男课代表,2 名女课代表,男生乙不任英语课代表. 分析:本题是先组合后排列问题,特殊情况可优先考虑. 4 解析:(1)女生甲担任语文课代表,再选四人分别担任其他四门学科课代表,方法数有 C7 4 A4=840 种. 4 (2)先选出 4 人,有 C7种方法,连同乙在内,5 人担任 5 门不同学科的课代表,乙不担任 1 4 4 1 4 英语课代表,有 A4·A4种方法,所以方法数为 C7·A4·A4=3360 种. (3)分两类,乙担任课代表,乙不担代课任表. 2 2 第一类:乙担任课代表,先选出 2 名男生 2 名女生,有 C4C3种方法,连同乙在内,5 人担 1 4 2 2 1 4 任 5 门不同学科的课代表,乙不担任英语课代表,有 A4A4种方法,方法数为 C4C3·A4A4种; 3 2 5 第二类:乙不担任课代表,有 C4C3A5种方法. 2 2 1 4 3 2 5 根据分类计数原理,共有 C4C3A4A4+C4C3A5=3168 种不同方法. 例 2 在 11 名工人中,有 5 人只能当钳工,4 人只能当车工,另外 2 人能当钳 工也能当车工。现从 11 人中选出 4 人当钳工,4 人当车工,问共有多少种不同的选法? 分析:采用加法原理首先要做到分类不重不漏,如何做到这一点?分类的标准必须前 后统一。 解:以两个全能的工人为分类的对象,考虑以他们当中有几个去当钳工为分类 标准。 第一类:这两个人都去当钳工,有 35 种; 第二类:这两人有一个去当钳工,有 75 种; 第三类:这两人都不去当钳工,有 75 种。 因而共有 185 种。

10.2 排列组合强化训练 【基础精练】 x x-2 1.不等式 A8<6A8 的解集为 A.[2,8] B.[2,6] C.(7,12) ( )

D.{8}
2

2.从-3,-2,-1,0,1,2,3,4 这 8 个数中任选 3 个不同的数组成二次函数 y=ax +bx +c 的系数 a,b,c,则可确定坐标原点在抛物线内部的抛物线有 A.72 条 B.96 条 C.128 条 D.144 条 ( )

3.将 A、B、C、D、E 排成一列,要求 A、B、C 在排列中顺序为“A、B、C”或“C、B、A”(可 以不相邻),这样的排列数有 A.12 种 B.20 种
用心 爱心 专心

( C.40 种

)

D.60 种
-2-

4.某班班会准备从甲、乙等 7 名学生中选派 4 名学生发言,要求甲、乙两人至少有一人参 加.当甲乙同时参加时,他们两人的发言不能相邻.那么不同的发言顺序的种数为 ( ) B.520 C.600 D.720

A. 360

4 5.已知函数 f(x)= -1 的定义域为[a,b],其中 a、b∈Z,且 a<b.若函数 f(x)的值 |x|+2 域为[0,1],则满足条件的整数对(a,b)共有 ( ) B.5 个 C.6 个 D.8 个

A.2 个

6.有 4 个标号为 1,2,3,4 的红球和 4 个标号为 1,2,3,4 的白球,从这 8 个球中任取 4 个球 排成一排.若取出的 4 个球的数字之和为 10,则不同的排法种数是 ( ) B.396 C.432 D.480

A.384

7.将 4 名大学生分配到 3 个乡镇去当村官,每个乡镇至少一名,则不同的分配方案有 ________种(用数字作答). 8.某班一天上午有 4 节课,每节都需要安排一名教师去上 课,现从 A,B,C,D,E,F 6 名教师中安排 4 人分别上一节课,第一节课只能从 A、B 两人中安排一人, 第四节课只能从 A、 两人中安排一人, C 则不同的安排方案共有________ 种. 9.在△AOB 的边 OA 上有 5 个点,边 OB 上有 6 个点,加上 O 点共 12 个点,以这 12 个点为 顶点的三角形有________个. 10.有编号分别为 1、2、3、4 的四个盒子和四个小球,把小球全部放入盒子.问: (1)共有多少种放法? (2)恰有一个空盒,有多少种放法? (3)恰有 2 个盒子内不放球,有多少种放法?

11.按下列要求分配 6 本不同的书,各有多少种不同的分配方式? (1)分成三份,1 份 1 本,1 份 2 本,1 份 3 本; (2)甲、乙、丙三人中,一人得 1 本,一人得 2 本,一人得 3 本; (3)平均分成三份,每份 2 本.

【拓展提高】 1.(1)以 AB 为直径的半圆上,除 A、B 两点外,另有 6 个点,又因为 AB 上另有 4 个点, 共 12 个点,以这 12 个点为顶点共能组成多少个四边形?

用心 爱心 专心

-3-

(2)在角 A 的一边上有五个点(不含 A), 另一边上有四个点(不含 A), 由这十个点(含

A)可构成多少个三角形?
(3)设有等距离的 3 条平行线和另外等距离的 4 条平行线相交,试问以这些交点为 顶点的三角形的个数是多少?

【基础精练参考答案】 8! 8! 1.D【解析】: <6× , (8-x)! (10-x)! ∴x -19x+84<0, ∴7<x<12,又 x≤8,x-2≥0,∴7<x≤8 即 x=8. 2.D【解析】:当 a>0 时,坐标原点在抛物线内部?f(0)=c<0; 当 a<0 时,坐标原点在抛物线内部?f(0)=c>0, 所以坐标原点在抛物线内部?ac<0 故满足条件的抛物线共有 3×4×6×A2=144 条. 3.C【解析】:五个字母排成一列,①先从中选三个位置给 A、B、C 且 A、B、C 有两种站 法即 C5×2,②然后让 D、E 排在剩余两个位置上有 A2种排法;由分步乘法原理所求排 列数为 C5×2×A2=40. 4.C【解析】:若甲乙同时参加,可以先从剩余的 5 人中选出 2 人,先排此两人,再 将甲乙两人插入其中即可,则共有 C5A2A3种不同的发言顺序;若甲乙两人只有一人参 加,则共有 C2C5A4种不同的发言顺序,综上可得不同的发言顺序为 C5A2A3+C2C5A4=600 种.
1 3 4 2 2 2 1 3 4 2 2 2 3 2 3 2 2 2

? 4 ?x?2 ? 5.B[【解析】:函数 f(x)= ? ? 4 ??x ? 2 ?

? 1, x ? 0 ,
是 R 上的偶函数,当 x∈[0,2]时,

? 1, x ? 0,

f(x)∈ [0,1],则定义域区间可以取[-2,2],[-2,0],[-2,1],[-1,2],[0,2],
共有 5 个. 6.C【解析】:若取出的球的标号为 1,2,3,4,则共有 C2C2C2C2A4=384 种不同的排法; 若取出的球的标号为 1,1,4,4,则共有 A4=24 种不同的排法;若取出的球的标号为 2,2,3,3 则共有 A4=24 种不同的排法; 由此可得取出的 4 个球数字之和为 10 的不同排法 种数是 384+24+24=432. 7.36【解析】:选出两人看成整体,再排列,共有 C4A3=36. 8.36【解析】:由于教师 A 在第一节与第四节课中都涉及,为此应分开处理较好,第 一节课教师 A 上,则第四节课必由教师 C 上,此时有 A4=12 种,如果第一节由教师 B 上, 则第四节应由教师 A、C 中一人上,此时有 A2A4=24,故共有 36 种不同的排法.
1 2 2 2 3 4 4 1 1 1 1 4

用心 爱心 专心

-4-

9.165【解析】:C12-C6-C7=165. 10.【解析】:(1)1 号小球可放入任意一个盒子内,有 4 种放法.同理,2、3、4 号 小球也各有 4 种放法,故共有 4 =256 种放法. (2)恰有一个空盒,则这 4 个盒子中只有 3 个盒子内有小球,且小球数只能是 1、1、 2.先从 4 个小球中任选 2 个放在一起,有 C4种方法,然后与其余 2 个小球看成三组,分 别放入 4 个盒子中的 3 个盒子中,有 A4种放法.由分步计数原理,知共有 C4A4=144 种不 同的放法. (3)恰有 2 个盒子内不放球,也就是把 4 个小球只放入 2 个盒子内,有两类放法: ①一个盒子内放 1 个球,另一个盒子内放 3 个球.先把小球分为两组,一组 1 个,另 一组 3 个,有 C4种分法,再放到 2 个盒子内,有 A4种放法,共有 C4A4种方法; ②2 个盒子内各放 2 个小球.先从 4 个盒子中选出 2 个盒子,有 C4种选法,然后把 4 个小球平均分成 2 组,每组 2 个,放入 2 个盒子内,也有 C4种选法,共有 C4C4种方法.由 分类计数原理知共有 C4A4+C4C4=84 种不同的放法. 11.【解析】:(1)无序不均匀分组问题.先选 1 本有 C6种选法;再从余下的 5 本中选 2 本有 C5种选法;最后余下 3 本全选有 C3种方法,故共有 C6C5C3=60 种. (2)有序不均匀分组问题.由于甲、乙、丙是不同的三人,在第(1)题基础上,还应考 虑再分配,共有 C6C5C3A3=360 种. (3)无序均匀分组问题.先分三步,则应是 C6C4C2种方法,但是这里出现了重复.不 妨记 6 本书为 A、B、C、D、E、F,若第一步取了 AB,第二步取了 CD,第三步取了 EF, 记该种分法为(AB,CD,EF),则 C6C4C2种分法中还有(AB,EF,CD)、(CD, AB,EF)、(CD,
2 2 2 2 2 2 1 2 3 3 2 3 1 2 3 1 1 2 2 2 2 2 2 2 1 2 1 2 3 2 3 2 4

3

3

3

EF,AB)、(EF,CD,AB)、(EF,AB,CD),共 A3种情况,而这 A3种情况仅是 AB、CD、EF 3 3
的顺序不同,因此只能作为一种分法,故分配方式有 C6C4C2 3 =15 种. A3
2 2 2

【拓展提高参考答案】

用心 爱心 专心

-5-

所以共有 C12-(C4×3+C3×4+4)=200 个.

3

3

3

用心 爱心 专心

-6-


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