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14竞赛辅导─不等式(三)


竞赛辅导─不等式(三)
引入

思考一

思考二

思考三

课外思考

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竞赛辅导─不等式(三)
运用不等式解决最值(尤其是含多个变量)问题, 这是一种常用方法.特别是条件最值问题,通常运用 平均值不等式、柯西不等式、排序不等式及幂平

均不 等式等,但要注意取等号的条件能否满足.

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思考一

a b 1.已知 x ? (0,1) , a , b 为给定的正实数,则 ? x 1? x 的最小值为( A ) 1 a?b 2 2 (A) ( a ? b ) (B) ( a ? b ) (C) a ? b (D) 2 2 2.(2000 希望杯高二第 2 试)已知 x, y, z ? R? ,且 y z 1 2 3 ) ? ? ? 1 ,则 x ? ? 的最小值是( D 2 3 x y z

(A)5 (B)6 (C)8 (D)9 1思路: 构造重要不等式;构造均值不等式;换元法.
3

重要不等式运用

练习: 1.(1997 希望杯高二第 1 试)如果 a ? b ? c ? 1 ,那么 3a ? 1 ? 3b ? 1 ? 3c ? 1 的最大值是_______. 3 2 2.求函数 y ? sin3 x sin 3 x 的最大值.

1 4

1思路: 构造重要不等式尝试, 尝试时抓取等号的条件.

4

思考二 1.如果 x ? 0, y ? 0, z ? 0 且 x 2 ? y 2 ? z 2 ? 1 , 3 z x y 3 3 xy ? yz ? zx 的最小值. ⑴求 的最小值;⑵ ? ? xy yz zx z x y 2.(第 36IMO 试题)设 a, b, c 为正实数,且满足 abc ? 1 , 1 1 1 3 求 3 的最小值. ? 3 ? 3 a (b ? c ) b (a ? c ) c (a ? b) 2 3.已知 a , b, c, d , e 是满足 a ? b ? c ? d ? e ? 8 ,

16 2 2 2 2 2 a ? b ? c ? d ? e ? 16 的实数解,试求 e 最大值. 5
5

1思路: 重要不等式尝试;平方法尝试; 换元法尝试.

思考三: 设 ai ? R? (i ? 1, 2, 3,?, n) ( n 是常数),且 ? ai ? 1 ,
i ?1 n

an a1 a2 ? ??? 求 S? 的 1 ? a2 ? ? ? an 1 ? a1 ? a3 ? ? ? an 1 ? a1 ? ? ? an?1 最小值. n
变一下:

2n ? 1
n i ?1

设 ai ? R? (i ? 1, 2, 3,?, n) ( n 是常数),且 ? ai ? 1 ,

2 a12 a22 n ? ??? 求S? 的最小值. 1 ? a2 ? ? ? an 1 ? a1 ? a3 ? ? ? an 1 ? a1 ? ? ? an?1

1 2n ? 1 a

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思考四

思考五

思考四: 已知若干个正整数之和为 2007 ,求其积的最大值.

∵ 2007 ? 669 ? 3 669 ∴最大值为 3

7

思考五: 求 S ? sin2 ?1 ? sin2 ?2 ? ? ? sin2 ?n 的最大值, 其中 0 ≤?i ≤ ? , ?1 ? ?2 ? ? ? ?n ? ? , n ? N .
*

9 4
提示:可用圆内接多边形来考虑.

8

课外思考: 1.(教程 P299 3)已知 x , y 都在区间 ( ?2, 2) 内,且 xy ? ?1 , 12 4 9 则函数 ? ? 的最小值是____. ? 2 2 5 4? x 9? y 2.(教程 P299 9)设 n 为自然数, a , b 为正实数,且满足条件
1 1 a ? b ? 2 ,则 ? 的最小值是______. n n 1? a 1? b 3.( 2004 年全国高中数学联赛四川省初赛)0<a、b、c<1 1 1 1 ? ? 满足条件 ab+bc+ca=1, 则 的最小值 1? a 1? b 1? c 是____. 3(3 ? 3)

1

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