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福建省宁德市2012年5月高三毕业班质量检查(文数,全word版)


2012 年宁德市普通高中毕业班第二次质量检查

数学(文科)试卷
本试卷分第 I 卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分.本卷满分 150 分,考试时 间 120 分钟. 注意事项: 注意事项 1.答题前,考生先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 2.考生作答时,将答案答在答题卡上.请按照题号在各题的答题区域(黑色线框) 内作答,超出答题区域书写的答案无效.在草稿纸、试题卷上答题无效. 3. 选择题答案使用 2B 铅笔填涂, 如需改动, 用橡皮擦干净后, 再选涂其他答案标号; 非选择题答案使用 0.5 毫米的黑色中性(签字)笔或碳素笔书写,字体工整、笔迹清楚. 4.保持答题卡卡面清楚,不折叠、不破损.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回. 参考公式: 参考公式: 样本数据 x1 , x2 , L , xn 的标准差
s=
1? 2 2 2 ( x1 ? x ) + ( x2 ? x ) + L + ( xn ? x ) ? ? n?

锥体体积公式
1 V = Sh 3

其中 x 为样本平均数 柱体体积公式
V = Sh

其中 S 为底面面积, h 为高 球的表面积、体积公式
S = 4πR 2 , V =

4 3 πR 3

其中 S 为底面面积, h 为高

其中 R 为球的半径

第 I 卷(选择题 共 60 分)
一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的. 1.已知全集 U = R , 集合 A = {1, 2,3} , B = {3, 4,5} ,下图中阴影部分所表示的集合为 A. {3} 则实数 m 的值为 A. 0 或 ?1 B. 0 C. ?1 D. 1 3. a = 1 ”是“直线 ax + y + 1 = 0 与 ax ? y = 0 互相垂直”的 “ A.充分而不必要条件 C.充要条件 B.必要而不充分条件 D.既不充分也不必要条件 文科数学试题 第 1 页 共 10 页 B. {1, 2} C. {4,5} D. {1, 2,3, 4,5}
A B

2.复数 z = (m 2 + m) + mi ( m ∈ R , i 为虚数单位)是纯虚数,

4.右图中几何体为正方体的一部分,则以下图形不可能是该几何体三视 ... 图之一的是

正视 A. 5.已知函数 f ( x) = ? A. ?2 B.
3

C.

D.

?? x x ≤ 0, ? 若 f (a) = 8 ,则 a = 2 ? x + 2 x x > 0, ?

B. 2

C. ±2

D. 2 或 ?4
开始 s=0,n=1 n= n +1 是

6.已知 m, n 是不重合的直线, α , β 是不重合的平面,则下列命题正确的是 A.若 m ? α , n // α ,则 m // n B.若 m // α , m // β ,则 α // β C.若 m ⊥ α , m ⊥ β ,则 α // β D.若 α I β = n, m // n ,则 m // α 且 m // β 7.阅读如图所示的程序框图,运行相应的程序 则输出的结果是 A. ? 3 C. B. 0
3 D. 3 3 8.在区间 [1, 6] 上随机取一实数 x ,使得 2 x ∈ [2, 4] 的概率为

n ≤ 5?
否 输出 s 结束

s=s+ tan

nπ 3

1 1 1 B. C. 6 5 3 9.函数 f ( x) = x ? sin x( x ∈ R ) 的部分图像可能是

A.

D.

2 5

A.

B.

C.

D.

? y ≤ 2, ? 10.设二元一次不等式组 ? x ≤ 1, 所表示的平面区域为 M ,O 为坐标原点, P ∈ M , ? 2 x + y ? 2 ≥ 0, ?

则 OP 的取值范围是 A. [
2 5 , 5] 5

B. [1, 5]

C . [2, 5]

D. [

2 5 , 2] 5

文科数学试题 第 2 页 共 10 页

11. 已知函数 f ( x) = A sin(ω x + ? )(ω > 0, ? < ) ,y= f (x) 的部分图像如右图,则 f ( ) = A. ? 3 C. ?
3 2
π 2 B. ?1

π 2

D. ?

1 2
π , 3

12. 已知 A, B 为单位圆 O 上的点,点 P 在劣弧 AB 上(不包括端点),且 ∠AOB =
uuu r uuu r uuu r OP = xOA + yOB ,则下列结论不恒成立的是 ....

A. x 2 + y 2 ≥

2 3

B. x + y ≤

2 3 3

C. +

1 x

1 ≤2 3 y

D. xy ≤

1 3

第Ⅱ卷(非选择题 共 90 分)
二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 4 分,共 16 分.把答案填写在答题卡的相应位置. 13.已知平面向量 a = ( x,,b = (2, 2) ,若 a // b ,则实数 x 的值为 1) ? 14.为调查学生的身高与饮食习惯的关系,某中学将 高三同学的身高(单位:厘米)数据绘制成频率分布 直方图(如图).现采用分层抽样的方法从中选取 40 名进行调查,则身高在 [160,170] 内的学生中应选取的 人数为 .
x2 y 2 ? = 1(a > 0, b > 0) 一条渐近线的距离为 2 ,则双曲 a 2 b2

.

15.若抛物线 y 2 = 8 x 的焦点到双曲线 线的离心率为 16.定义“ shx = .

e ?e 2
x

?x

, x ∈ R ”为双曲正弦函数, chx = “

e x + e? x , x ∈ R ”为双曲 2

余弦函数,它们与正、余弦函数有某些类似的性质,如: sh( x + y ) = shx ? chy + chx ? shy 、
(chx) 2 ? (shx)2 = 1 等.请你再写出一个类似的性质: ch( x + y ) =

.

文科数学试题 第 3 页 共 10 页

三、解答题:本大题共 6 小题,共 74 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17. (本小题满分 12 分) 已知等差数列 {an } 中, a2 = 3 , a4 + a6 = 18 . (Ⅰ)求数列 {an } 的通项公式; (Ⅱ)若数列 {bn } 满足: bn +1 = 2bn ,并且 b1 = a5 ,试求数列 {bn } 的前 n 项和 Sn .

18. (本小题满分 12 分)
?ABC 中,已知 BC = 3 , ∠A =
π ,设 ∠B = x , ?ABC 的周长为 f ( x) . 3

(Ⅰ)求 f ( x) 的表达式; (Ⅱ)当 x 为何值时 f ( x) 最大,并求出 f ( x) 的最大值.

19. (本小题满分 12 分) 某游艇制造厂研发了一种新游艇,今年前 5 个月的产量如下: 月份 x 游艇数 y (艘) 1 2 2 3 3 5 4 7 5 8

? ? (Ⅰ)设 y 关于 x 的回归直线方程为 y = bx + a .现根据表中数据已经正确计算出了 b 的

值为 1.6 ,试求 a 的值,并估计该厂 6 月份的产量(计算结果精确到 1). (Ⅱ)质检部门发现该厂 1 月份生产的游艇存在质量问题,要求厂家召回;现有一旅游 公司曾向该厂购买了今年前两个月生产的游艇 2 艘,求该旅游公司有游艇被召回的概 .... 率.

20. (本小题满分 12 分) 如图,三棱柱 ABC ? A1 B1C1 中, AA1 ⊥ 平面 ABC , D 、 E 分别为 A1 B1 、 AA1 的中点,点 F C1 1 在棱 AB 上,且 AF = AB . 4 (Ⅰ)求证: EF // 平面 BDC1 ; (Ⅱ)在棱 AC 上是否存在一个点 G ,使得平面 EFG 将 三棱柱分割成的两部分体积之比为 1 : 15,若存在,指出 点 G 的位置;若不存在,说明理由.
A E C A1 D B1

F

B

文科数学试题 第 4 页 共 10 页

21. (本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) = ax ? 2a ? 1) ln x + b . ( (Ⅰ)若 f ( x) 在点( (1, f (1)) )处的切线方程为 y = x ,求实数 a、b 的值;
1 时,研究 f ( x) 的单调性; 2 1 (Ⅲ)当 a = 1 时, f ( x) 在区间 ( , e) 上恰有一个零点,求实数 b 的取值范围. e

(Ⅱ)当 a >

22. (本小题满分 14 分) 平面直角坐标系中,已知圆 O : x 2 + y 2 = 1 过椭圆 Γ : 上顶点. (Ⅰ) 求椭圆 Γ 的方程; (Ⅱ)设 A 为圆 O 上任意一点,连结 OA 并延长到 B ,使 OB = 2 ,过点 B 作 x 轴的 垂线 l ,再过点 A 作 l 的垂线,垂足为 C ,求证:点 C 在椭圆 Γ 上; (Ⅲ)过点 F 的直线交椭圆于 M , N 两点,过点 M 作直线 x = 2 的垂线,垂足为 P ,试 问直线 PN 是否恒过定点,若是,求出定点的坐标;若不是,说明理由.
y

x2 y2 + = 1(a > b > 0) 的右焦点 F 和 a 2 b2

O

F

x

文科数学试题 第 5 页 共 10 页

2012 年宁德市普通高中毕业班质量检查

数学(文科) 数学(文科)试题参考答案及评分标准
说明: 一、本解答指出了每题要考察的主要知识和能力,并给出了一种或几种解法供参考, 如果考生的解法与本解法不同,可根据试题的主要考察内容比照评分标准指定相应的 评分细则。 二、对计算题,当考生的解答在某一部分解答未改变该题的内容和难度,可视影响的 程度决定后继部分的给分,但不得超过该部分正确解答应给分数的一半;如果后继部 分的解答有较严重的错误,就不再给分。 三、解答右端所注分数,表示考生正确做到这一步应得的累加分数。 四、只给整数分数,选择题和填空题不给中间分。 一、选择题:本题考查基础知识和基本运算 本题考查基础知识和基本运算.本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分. 本题考查基础知识和基本运算 1.B 2.C 3.A 4.D 5.C 6.C 7.B 8.B 9.C 10.A 11.B 12.C 二、填空题:本题考查基础知识和基本运算 本题考查基础知识和基本运算.本大题共 4 小题,每小题 4 分,共 16 分. 本题考查基础知识和基本运算 14. 14 ; 15. 2 ; 16. chx ? chy + shx ? shy . 13. ?1 ; 三、解答题:本大题共 6 小题,共 74 分. 17. 本题主要考等差数列、等比数列等基础知识;考查推理论证与运算求解能力;考查函 本题主要考等差数列、等比数列等基础知识;考查推理论证与运算求解能力; 数与方程思想, 数与方程思想,满分 12 分. 解: (I)设数列 {an } 的公差为 d ,根据题意得:
? a1 + d = 3, ? ? 2a1 + 8d = 18,

…………………………2 分

解得: ?

? a1 = 1 , ……………………………………4 分 ?d = 2

∴ {an } 的通项公式为 an = 2n ? 1

……………………6 分 ……………………8 分

(Ⅱ) Q bn +1 = 2bn , b1 = a5 = 9
∴ Sn=

∴ {bn } 是首项为 9 公比为 2 的等比数列………………10 分
9 × (1 ? 2n ) = 9 × 2n ? 9 ………………………12 分 1? 2

18.本题主要考查两角和与差的三角函数公式,三角函数的图象与性质,解三角形等基础 本题主要考查两角和与差的三角函数公式,三角函数的图象与性质, 本题主要考查两角和与差的三角函数公式 知识;考查运算求解能力,考查函数方程思想、数形结合思想. 知识;考查运算求解能力,考查函数方程思想、数形结合思想.满分 12 分. 解: (I) ?ABC 中,根据正弦定理得:
a sin B = 2 3 sin x ……………………………………………2 分 sin A a sin C π c= = 2 3 sin( x + ) …………………………………4 分 sin A 3 π 2π ∴ f ( x) = 2 3 sin( x + ) + 2 3 sin x + 3 ,其中 x ∈ (0, ) ………………6 分 3 3 π (Ⅱ)Q f ( x) = 2 3 sin( x + ) + 2 3 sin x +3 3 b=

= 3 3 sin x + 3cos x +3
π = 6 sin( x + ) + 3 6

………………………………………8 分 …………………………………………10 分

文科数学试题 第 6 页 共 10 页

3 6 6 6 π π π ∴ 当 x + = 即 x = 时, f ( x) 有最大值 9 6 2 3

2π π π 5π 由 x ∈ (0, ) x + ∈ ( , ) 得

……………………………………12 分

19.本题主要考查概率、统计等基础知识,考查数据处理能力、抽象概括能力、运算求解 本题主要考查概率、统计等基础知识,考查数据处理能力、抽象概括能力、 本题主要考查概率 能力以及应用意识 考查或然与必然思想、化归与转化思想. 以及应用意识, 能力以及应用意识,考查或然与必然思想、化归与转化思想.满分 12 分. 解: (Ⅰ) x =
1+ 2 + 3 + 4 + 5 2 +3+ 5+ 7 +8 =3,y = = 5 ………………2 分 5 5 ? ? Q 回归直线 y = bx + a 过点 ( x , y ) , ∴ a = y ? bx = 5 ? 1.6 × 3 = 0.2 …………………………………3 分 ? ? ∴ y = 1.6 x + 0.2

? ? 当 x = 6 时, y = 1.6 × 6 + 0.2 = 9.8 ≈ 10 ∴ 估计该厂 6 月份的产量为 10 艘.……………………………5 分 (Ⅱ)解法一: 设一月份生产的 2 艘游艇为 a1 , a2 ,二月份生产的 3 艘游艇为 b1 ,b2 , b3 , 旅游公司向该厂购买了一、二月份生产的两艘游艇的所有可能结果有: {a1 , a2 } ,{a1 , b1} ,{a1 , b2 } ,{a1 , b3 } ,{a2 , b1} , {a2 , b2 } , {a2 , b3 } , {b1 , b2 } , {b1 , b3 } , {b2 , b3 }

共 10 种 ………………………………………9 分 其中 2 艘游艇全为二月份生产的结果有 {b1 , b2 } , {b1 , b3 } , {b2 , b3 } 共 3 种……10 分

∴ 两艘游艇全部为二月份生产的概率为 P =

3 10 7 10

∴ 两艘游艇中至少一艘为一月份生产的概率为 1 ? P =
即该旅游公司有游艇被召回的概率为
7 10

……………………………12 分

解法二: 设一月份生产的 2 艘游艇为 a1 , a2 ,二月份生产的 3 艘游艇为 b1 ,b2 , b3 旅游公司向该厂购买了一、二月份生产的两艘游艇的所有可能结果有: {a1 , a2 } , {a1 , b1} , {a1 , b2 } , {a1 , b3 } , {a2 , b1} , {a2 , b2 } , {a2 , b3 } , {b1 , b2 } ,

{b1 , b3 } , {b2 , b3 } 共 10 种

…………………………………………9 分

其中,两艘游艇中至少一艘为一月份生产的结果有: {a1 , a2 } , {a1 , b1} , {a1 , b2 } , {a1 , b3 } , {a2 , b1} , {a2 , b2 } , {a2 , b3 } 共 7 种……10 分

∴ 两艘游艇中至少一艘为一月份生产的概率为 P =
即该旅游公司有游艇被召回的概率为

7 10

7 .………………………………12 分 10

20. 本题主要考查空间线与线、线与面的位置关系、体积的计算等基础知识;考察空间想 本题主要考查空间线与线、线与面的位置关系、体积的计算等基础知识; 象能力、运算求解能力及推理论证能力, 象能力、运算求解能力及推理论证能力,满分 12 分. (I)证明:取 AB 的中点 M,Q AF =
1 AB ∴ F 为 AM 的中点, 4

又Q E 为 AA1 的中点,∴ EF // A1 M ………………1 分 在三棱柱 ABC ? A1 B1C1 中, D, M 分别为 A1 B1 , AB 的中点, 文科数学试题 第 7 页 共 10 页

∴ A1 D // BM , A1 D = BM , ∴ A1 DBM 为平行四边形,∴ A1 M // BD …………………2 分
∴ EF // BD, …………………………………………3 分 Q BD ? 平面 BC1 D , EF ? 平面 BC1 D ………………4 分
A1 D

C1

B1

……………………………5 分 (II)设 AC 上存在一点 G ,使得平面 EFG 将三棱柱分割成两 部分的体积之比为 1︰15, 则 VE ? AFG : VABC ? A B C = 1:16 ……………………………6 分
1 1 1

∴ EF // 平面 BC1 D

E C G M B

1 1 × AF ? AG sin ∠GAF ? AE VE ? AFG Q =3 2 A F 1 VABC ? A1 B1C1 AB ? AC ? sin ∠CAB ? A1 A 2 1 1 1 AG 1 AG = × × × = ? …………………9 分 3 4 2 AC 24 AC 1 AG 1 AG 3 3 ∴ ? = ,∴ = ,∴ AG = AC > AC …………………11 分 2 AC 2 24 AC 16 所以符合要求的点 G 不存在.………………………12 分

21.本题主要考查函数、导数、不等式等基本知识;考查运算求解能力、推理论证能力; 本题主要考查函数、导数、不等式等基本知识;考查运算求解能力、推理论证能力; 本题主要考查函数 考查化归转化思想、函数方程的思想、分类整合思想、数形结合思想. 考查化归转化思想、函数方程的思想、分类整合思想、数形结合思想.满分 12 分. 解: (Ⅰ) f '( x) = a ?
2a ? 1 ax ? (2a ? 1) = …………………1 分 x x ? f '(1) = 1 ? a = 1 依题意, ? ………………………………2 分 ? f (1) = a + b = 1

解得: ?

?a = 0 ?b = 1

……………………………………3 分

(Ⅱ) f ( x) 的定义域为 0, +∞) ……………………4 分 (
2a ? 1 ax ? (2a ? 1) = x x (2a ? 1) ] a[ x ? 1 a 当 a > 时, f '( x) = , 2 x 2a ? 1 令 f '( x) = 0 得, x = >0, ………………………………5 分 a f ( x) 及 f '( x) 的值变化情况如下表: f '( x) = a ?
x

(0,

2a ? 1 ) a

2a ? 1 a 0

(

2a ? 1 , +∞) a
+

f '( x) f ( x)

?


极小值



故 f ( x) 在 (0,

2a ? 1 2a ? 1 ) 为减函数,在 ( , +∞) 为增函数. a a

………………………7 分

文科数学试题 第 8 页 共 10 页

(Ⅲ)当 a = 1 时, f ( x) = x ? ln x + b ,由(Ⅱ)知, f ( x) 在 (0,1) 为减函数,在 (1, +∞) 为 增函数,∴ f ( x) 的最小值为 f (1) = 1 + b . ………………………………8 分
1 1 Q f ( ) = + 1 + b , f ( e) = e ? 1 + b e e 1 1 1 ∴ f ( ) ? f (e) = + 1 ? e + 1 = 2 + ? e < 0 e e e 1 ………………………………………………………9 分 即: f ( ) < f (e) e 1 Q f ( x) 在区间 ( , e) 上恰有一个零点 e ? f (e ) > 0 ?e ? 1 + b > 0 ? ? 即: 1 + b = 0或 ? 1 ………………………………11 分 ∴ f (1) = 0或 ? 1 f( )≤0 ? e ?e +1+ b ≤ 0 ? ?

解得: b = ?1 或 1- e < b ≤ -1-

1 e

………………12 分

22.本题主要考查直线、圆、椭圆等基础知识及直线与椭圆的位置关系;考查运算求解能 本题主要考查直线、 本题主要考查直线 椭圆等基础知识及直线与椭圆的位置关系; 推理论证能力;考查函数与方程思想 特殊与一般的思想、分类整合思想、 函数与方程思想、 力、推理论证能力;考查函数与方程思想、特殊与一般的思想、分类整合思想、化归 与转化思想. 与转化思想.满分 14 分. y l (I)解:依题意得,椭圆的右焦点为(1,0) ,上顶点为(0,1) 2 所以 c = b = 1 ,∴ a = 2 …………………………2 分 B
x2 + y 2 = 1 .……………………3 分 2 (II)解法一:设 A( x1 , y1 ), B ( x2 , y2 ) ,则 C ( x2 , y1 ) ∴ 所求椭圆的方程为
C A

∴ x12 + y12 = 1, x2 2 + y2 2 = 2 , uuu uuu r r Q OA // OB ,∴ x1 y2 ? x2 y1 = 0 ,…………………5 分 ∴ x2 2 y12 = x12 y2 2 = (1 ? y12 )(2 ? x2 2 ) = 2 ? x2 2 ? 2 y12 + y12 x2 2 ,

O

F

x

x2 2 + y12 = 1 ,即点 C 在椭圆上.…………………8 分 2 解法二:设 A( x1 , y1 ), B ( x2 , y2 ) ,则 C ( x2 , y1 ) ∴ x2 2 + 2 y12 = 2 ,∴

当直线 OA 斜率不存在时,点 C 的坐标为 (0,1) ,∴ 点 C 在椭圆 Γ 上.…………4 分 当直线 OA 斜率存在时,设直线 OA 的方程为 y = kx .
? y = kx, 得 x 2 + k 2 x 2 = 1 ,…………………………5 分 ? 2 x + y 2 = 1, ? 1 k2 ∴ x12 = 2 , y12 = 2 , k +1 k +1 2 同理可求 x2 2 = 2 ,……………………………7 分 k +1 x2 1 k2 1+ k2 ∴ 2 + y12 = 2 + 2 = 2 =1, 2 k +1 k +1 k +1 ∴ 点 C 在椭圆 Γ 上.………………………………8 分

(Ⅲ)设直线 PN 恒过定点 Q , M ( x1 , y1 ), N ( x2 , y2 ) ,则 P(2, y1 ) 文科数学试题 第 9 页 共 10 页

当直线 MN 的斜率为 0 时, y1 = y2 = 0 ,∴ 直线 PN 的方程为 y = 0 , 当直线 MN 的斜率不存在时, x1 = x2 = 1 ,
x12 2 2 2 2 + y12 = 1 解得 y1 = ± ,取 M (1, ) ,则 N (1, ? ) , P(2, ) 2 2 2 2 2 2 直线 PN 的方程为 y + = 2( x ? 1) , 2 ? y = 0, 3 ? 3 ? ?x = , 由? 得? 2 即 Q( ,0) .……………10 分 2 2 = 2( x ? 1), ? y = 0, ?y + ? ? 2
y x=2

M F

P

O

x

N

以下证明直线 PN 恒过点 Q( ,0) .
3 2 ⅱ)当直线 MN 的斜率存在时,设直线 MN 的方程为 y = k ( x ? 1) ? y = k ( x ? 1), ? 得 (1 + 2k 2 ) x 2 ? 4k 2 x + 2k 2 ? 2 = 0 , ∴ ? x2 + y 2 = 1, ? ?2
∴ x1 + x2 = 4k 2 2k 2 ? 2 , x1 x2 = 2 2 2k + 1 2k + 1

3 2

ⅰ)当直线 MN 的斜率不存在时,由上得,直线 PN 过点 Q( ,0)

………………………12 分

y y2 3 3 ,∴ 要证直线 PN 过定点 Q( ,0) ,只需证 1 = 3 3 2 2 2? x2 ? 2 2 3 即证 2k ( x1 ? 1)( x2 ? ) = k ( x2 ? 1) ,即证 2 x1 x2 ? 3( x1 + x2 ) + 2 = 0 .……① 2 2k 2 ? 2 4k 2 ?4 ? 8k 2 Q 2 x1 x2 ? 3( x1 + x2 ) + 2 = 2 × 2 ? 3× 2 +2= +2=0 2k + 1 2k + 1 2k 2 + 1 3 ∴ ①式成立,∴ 直线 PN 过定点 Q( ,0) 2 3 综上ⅰ)、ⅱ)所述,直线 PN 恒过定点 Q( ,0) .……………………14 分 2

Q x2 ≠

文科数学试题 第 10 页 共 10 页


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