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【红对勾】人教A版高中数学选修2-1单元综合测试一


单元综合测试一
时间:120 分钟 第Ⅰ卷(选择题,共 60 分)
题号 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

分值:150 分

一、选择题(每小题 5 分,共 60 分) 1.下列语句不是命题的有( )

① x2-3=0;②与一条直线相交的两直线平行吗?;③ 3+ 1 =

5;④ 5x-3>6. A.①③④ C.①②④ 答案:C 2.命题“若 A?B,则 A=B”与其逆命题、否命题、逆否命题 这四个命题中,真命题的个数是( A.0 B.2 C.3 D.4 解析:可设 A={1,2},B={1,2,3},满足 A?B,但 A≠B,故原 命题为假命题,从而逆否命题为假命题.易知否命题、逆命题为真. 答案:B 3.给定空间中的直线 l 及平面 α,条件“直线 l 与平面 α 内两条 相交直线都垂直”是“直线 l 与平面 α 垂直”的( A.充分非必要条件 B.必要非充分条件 C.充要条件 D.既非充分又非必要条件 ) ) B.①②③ D.②③④

解析: 直线 l 与平面 α 内两相交直线垂直?直线 l 与平面 α 垂直,

故选 C. 答案:C 4.已知 p:若 a∈A,则 b∈B,那么命题綈 p 是( A.若 a∈A,则 b?B B.若 a?A,则 b?B C.若 b?B,则 a?A D.若 b∈B,则 a∈A )

解析:命题“若 p,则 q”的否定形式是“若 p,则綈 q”. 答案:A 5.命题“p 且 q”与命题“p 或 q”都是假命题,则下列判断正 确的是( )

A.命题“非 p”与“非 q”真假不同 B.命题“非 p”与“非 q”至多有一个是假命题 C.命题“非 p”与“q”真假相同 D.命题“非 p 且非 q”是真命题 解析:p 且 q 是假命题?p 和 q 中至少有一个为假,则非 p 和非 q 至少有一个是真命题. p 或 q 是假命题?p 和 q 都是假命题, 则非 p 和非 q 都是真命题. 答案:D 6.已知 a,b 为任意非零向量,有下列命题: ①|a|=|b|;②(a)2=(b)2;③(a)2=a· b,其中可以作为 a=b 的必 要非充分条件的命题是( A.① C.②③ B.①② D.①②③ )

解析:由向量的运算即可判断. 答案:D 7.已知 A 和 B 两个命题,如果 A 是 B 的充分不必要条件,那 么“綈 A”是“綈 B”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件

C.充要条件

D.既不充分也不必要条件

解析: 由于“A?B, A?/ B”等价于“綈 A?綈 B, 綈 A?/ 綈 B”, 故“綈 A”是“綈 B”的必要不充分条件. 答案:B 8.若向量 a=(x,3)(x∈R),则“x=4”是“|a|=5”的( A.充分而不必要条件 C.充要条件 B.必要而不充分条件 D.既不充分也不必要条件 )

解析:由“x=4”,得 a=(4,3),故|a|=5;反之,由|a|=5,得 x=± 4.所以“x=4”是“|a|=5”的充分而不必要条件. 答案:A 9.下列全称命题中,正确的是( )

A.?x,y∈{锐角},sin(x+y)>sinx+siny B.?x,y∈{锐角},sin(x+y)>cosx+cosy C.?x,y∈{锐角},cos(x+y)<sinx+cosy D.?x,y∈{锐角},cos(x-y)<cosx+siny 解析:由于 cos(x-y)=cosxcosy+sinxsiny,而当 x,y∈{锐角} 时,0<cosy<1,0<sinx<1, 所以 cos(x-y)=cosxcosy+sinxsiny<cosx+siny, 故选项 D 正确. 答案:D 10.以下判断正确的是( )

A.命题“负数的平方是正数”不是全称命题 B.命题“?x∈Z,x3>x2”的否定是“?x∈Z,x3<x2” π C.“φ= ”是“函数 y=sin(x+φ)为偶函数”的充要条件 2 D. “b=0”是“关于 x 的二次函数 f(x)=ax2+bx+c 是偶函数” 的充要条件
2 解析:A 为全称命题;B 中否定应为?x0∈Z,x3 0≤x0;C 中应为

充分不必要条件. 答案:D 11.已知命题 p:函数 f(x)=log0.5(3-x)的定义域为(-∞,3); k 命题 q:若 k<0,则函数 h(x)=x在(0,+∞)上是减函数,对以上两 个命题,下列结论中正确的是( )

A.命题“p 且 q”为真 B.命题“p 或綈 q”为假 C.命题“p 或 q”为假 D.命题“綈 p”且“綈 q”为假 解析:由题意知 p 真,q 假.再进行判断. 答案:D 12.已知向量 a=(x,y),b=(cosα,sinα),其中 x,y,α∈R, 若|a|=4|b|,则 a· b<λ2 成立的一个必要不充分条件是( A.λ>3 或 λ<-3 B.λ>1 或 λ<-1 )

C.-3<λ<3 D.-1<λ<1 解析: 由已知 |b| = 1 ,∴ |a| = 4|b| = 4. 又∵ a· b = xcosα + ysinα = x2+y2sin(α+φ)=4sin(α+φ)≤4,由于 a· b<λ2 成立,则 λ2>4,解得 λ>2 或 λ<-2,这是 a· b<λ2 成立的充要条件,因此 a· b<λ2 成立的一个 必要不充分的条件是 λ>1 或 λ<-1.故选 B. 答案:B 第Ⅱ卷(非选择题,共 90 分) 二、填空题(每小题 5 分,共 20 分) 13.“对顶角相等”的否定为________,否命题为________. 解析:“对顶角相等”的否定为“对顶角不相等 ”,否命题为 “若两个角不是对顶角,则它们不相等”. 答案:对顶角不相等 若两个角不是对顶角,则它们不相等

14.令 p(x):ax2+2x+1>0,如果对?x∈R,p(x)是真命题,则 a 的取值范围是________. 解析:由已知?x∈R,ax2+2x+1>0 恒成立.显然 a=0 不合题
?a>0 意,所以? ?a>1. ?Δ=4-4a<0

答案:a>1 15 . 试 写 出 一 个 能 成 为 (a - 2)2(a - 1)>0 的 必 要 不 充 分 条 件 ________. 解析:(a-2)2(a-1)>0 的解集记为 B={a|a>1 且 a≠2},所找的 记为集合 A,则 B A. 答案:a>1(不惟一) 16.给定下列结论: ①已知命题 p:?x∈R,tanx=1;命题 q:?x∈R,x2-x+1>0. 则命题“p∧綈 q”是假命题; ②已知直线 l1:ax+3y-1=0,l2:x+by+1=0,则 l1⊥l2 的充 a 要条件是b=-3; 1 1 ③若 sin(α+β)= ,sin(α-β)= ,则 tanα=5tanβ; 2 3 1 ④圆 x2+y2+4x-2y+1=0 与直线 y= x,所得弦长为 2. 2 其中正确命题的序号为________(把你认为正确的命题序号都填 上). 解析:对于①易知 p 真,q 真,故命题 p∧綈 q 假,①正确;对 于②l1 与 l2 垂直的充要条件应为 a+3b=0; 对于③利用两角和与差的 4 5 正弦公式展示整理即得;对于④可求得弦长为 ,④错. 5 答案:①③ 三、解答题(写出必要的计算步骤,只写最后结果不得分,共 70 分) 17.(10 分)已知命题 p:?非零向量 a、b、c,若 a· (b-c)=0,

则 b=c.写出其否定和否命题,并说明真假. 解:綈 p:?非零向量 a、b、c,若 a· (b-c)=0,使 b≠c.綈 p 为真命题. 否命题:?非零向量 a、b、c,若 a· (b-c)≠0,则 b≠c.否命题 为真命题. 18.(12 分)给定两个命题 P:对任意实数 x 都有 ax2+ax+1>0 恒成立;Q:关于 x 的方程 x2-x+a=0 有实数根.如果 P∧Q 为假 命题,P∨Q 为真命题,求实数 a 的取值范围. 解:命题 P:对任意实数 x 都有 ax2+ax+1>0 恒成立,则“a= 0”,或“a>0 且 a2-4a<0”.解得 0≤a<4. 命题 Q: 关于 x 的方程 x2-x+a=0 有实数根, 则 Δ=1-4a≥0, 1 得 a≤ . 4 因为 P∧Q 为假命题,P∨Q 为真命题,则 P,Q 有且仅有一个 为真命题,

?a<0或a≥4 故綈 P∧Q 为真命题, 或 P∧綈 Q 为真命题, 则? 1 ?a≤4 ?0≤a<4 ? 1 ?a>4.
1 解得 a<0 或 <a<4. 4



1 所以实数 a 的取值范围是(-∞,0)∪( ,4). 4 19.(12 分)求证:一元二次方程 ax2+2x+1=0(a≠0)有一个正 根和一个负根的充分不必要条件是 a<-1. 证明:一元二次方程 ax2+2x+1=0(a≠0)有一个正根和一个负 根的充要条件是:Δ=4-4a>0?a<1,并且 a<0,从而 a<0. 有一个正根和一个负根的充分不必要条件应该是 {a|a<0}的真子 集,a<-1 符合题意.所以结论得证.

2 ? ?x -4x+3<0, 20.(12 分)已知 p:2x -9x+a<0,q:? 2 且綈 p ?x -6x+8<0, ? 2

是綈 q 的充分条件,求实数 a 的取值范围. 2 ? ? ?x -4x+3<0, ?1<x<3, 解:由? 2 得? 即 2<x<3.∴q:2<x<3. ?x -6x+8<0, ?2<x<4, ? ? 设 A={x|2x2-9x+a<0},B={x|2<x<3}, ∵綈 p?綈 q, ∴q?p.∴B?A.∴2<x<3 包含于集合 A, 即 2<x<3 满足不等式 2x2-9x+a<0.∴2<x<3 满足不等式 a<9x-2x2. 9 81 81 9 81 ∵当 2<x<3 时, 9x-2x2=-2(x2- x+ - )=-2(x- )2+ 2 16 16 4 8 81 ∈(9, ], 8 即 9<9x-2x2≤ 81 ,∴a≤9. 8

21.(12 分)给出命题 p:“在平面直角坐标系 xOy 中,已知点 → 与OQ → P(2cosx+1,2cos2x+2)和 Q(cosx,-1),?x∈[0,π],向量OP 不垂直.”试判断该命题的真假,并证明. → 和OQ → 不垂直, 解: 命题 p 是假命题, 证明如下: 由OP 得 cosx(2cosx +1)-(2cos2x+2)≠0,变形得:2cos2x-cosx≠0,所以 cosx≠0 或 1 π π 1 π π cosx≠ .而当 x∈[0,π]时,cos =0,cos = ,故存在 x= 或 x= , 2 2 3 2 2 3 → ⊥OQ → 成立,因而 p 是假命题. 使向量OP 22.(12 分)已知 ab≠0,求证:a+b=1 的充要条件是 a3+b3+ ab-a2-b2=0. 证明:必要性:∵a+b=1,∴b=1-a, ∴a3+b3+ab-a2-b2 =a3+(1-a)3+a(1-a)-a2-(1-a)2

=a3+1-3a+3a2-a3+a-a2-a2-1+2a-a2=0. 充分性:∵ a3+ b3+ ab- a2- b2= 0,即 (a+ b)(a2- ab+ b2)- (a2 -ab+b2)=0, ∴(a2-ab+b2)(a+b-1)=0, 又 ab≠0,即 a≠0 且 b≠0, b 2 3b2 ∴a -ab+b =(a- ) + ≠0,只有 a+b=1. 2 4
2 2

综上可知,当 ab≠0 时,a+b=1 的充要条件是 a3+b3+ab-a2 -b2=0.


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