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2015年全国各地数学竞赛预赛卷 (8)


2015 年全国高中数学联赛吉林省预赛
一、选择题:本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目 要求的.

? 1 x ?( ) , x ? 1 1.已知函数 f ( x) ? ? 4 ,则 f [ f (?1)] 等于 ?log 1 x, x ? 1 ? 2
A.2 B. ?2 C. 2

.“实数 a, b, c, d 依次成等差数列”是“ a ? d ? b ? c ”成立的 A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充要条件 3.若方程 f ( x) ? 2 在 (??, 0) 内有解,则函数 y ? f ( x) 的图象可能是

1 4

D. ?

1 2

D.既不充分又不必邀条件

? ? ? ? ? ? 4.已知向量 a, b 的夹角为 60? ,且 | a |? 1,| a ? 2b |? 13 ,则 | b | 等于 3 A. 2 B. C. 2 2 D.2 2 5.已知函数 f ( x) ? x | x | ,若对任意的 x ? 1 都有 f ( x ? m) ? mf ( x) ? 0 恒成立,则实数 m 的取值范围
是 A. (??, ?1)
3

A.

B.

C.

D.

B. (??, ?1]

C. (??, ?2)

D. (??, ?2]

6.若函数 f ( x) ? 4 x ? 3x 在 (a, a ? 2) 上存在最大值,则实数 a 的取值范围是 A. ( ?

5 , ?1) 2

B. ( ?

5 , ?1] 2

C. ( ?

5 1 ,? ) 2 2

D. (? , ? ]

5 2

1 2

二、本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分,请将答案填在题后的横线上. 7. 已知四棱锥 S ? ABCD 的底面是边长为 2 的正方形 , SD ? 平面 ABCD , 且 SD ? AB , 则四棱锥 S ? ABCD 的外接球的表面积是 8.设数列 {an } 的前 n 项和为 Sn ,且 Sn ? 4an ? 3(n ? N * ) ,则数列 {an } 的通项公式是 9.已知函数 f ( x ) ? sin(? x ? 区间 [0,

?

?
2

2

) sin(? x ?

?

4

)(? ? 0) 的最小正周期为 ? ,则 f ( x) 在

] 上的值域为

10. 如图 , 在四棱锥 E ? ABCD中 , 底面 ABCD 是正方形 , AE ? 平面 CDE , 已知 ? F 与二面角 AE ? DE ? 3, F 为 线 段 DE 上 的 一 点 , 二 面 角 E ? B C

F ? BC ? D 的大小相等,则 DF 的长为 11.从 0,1, 2,? ,9 这 10 个数字值取出三个不同的数字组成四位数(其中的一个数字 用两次),如 5224,则这样的四位数共有 个

? ?ax ? 2 y ? 8 ? 0 ? ? ? ? 12.非空集合 A ? ?( x, y ) | ? x ? y ? 1 ? 0 ? ,当 ( x, y) ? A 时,目标函数 z ? y ? x 既 ? ? ? ?2 x ? ay ? 2 ? 0? ?
存在最大值又存在最小值,则实数 a 的取值范围是

三、解答题:本大题共 4 小题,共 90 分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 13(本小题满分 15 分) 在 ?ABC 中,角 A, B, C 的对边长分别为 a, b, c ,已知 c ? 2, C ? (Ⅰ)求 ?ABC 的周长的最大值; (Ⅱ)若 2sin 2 A ? sin(2 B ? C ) ? sin C ,求 ?ABC 的面积.

?

3

.

14(本小题满分 25 分) 已知椭圆 G :

x2 ? y 2 ? 1 ,直线 l 交椭圆 G 于 A, B 两点,且 | AB |? 2 ,判断直线 l 与圆 x2 ? y 2 ? 1的位 4

置关系,并给出证明.

15(本小题满分 25 分) 已知不等式 ln x ? a (1 ? ) ? 0 对任意的 x ? 1 均成立,求实数 a 的取值范围.

1 x

16(本小题满分 25 分) 已知集合 A ? {x ? N |1 ? x ? 2014} ,设实数 ?1 , ?2 , ?3 , x1 , x2 , x3 满足: (1) ?1 , ?2 , ?3 ?{?1,0,1} 且不全为 0; (2) x1 , x2 , x3 ? A (3)若 xi ? x j ,则 ?i ? j ? ?1(1 ? i, j ? 3) 如果所有形如 x1 x2 x3 和 ?1 x1 ? ?2 x2 ? ?3 x3 的数均不是 2014 的倍数,那么称 A 为“好集”,求“好集” A 所 含元素个数的最大值.


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