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不等式选讲练习


不等式选讲 1.已知 a ? 0, b ? 0 ,且 h ? min?a,

2 b ? ? 求证: h ? 2 2 ? 2 ? a ?b ?

2.已知 a,b,c 是正数,求证: a b c

2 a 2b 2 c

? a b ? c b c ? a c a ?b

3.已知

a,b,c 是正数,证明: (1) (ab ? a ? b ? 1)(ab ? ac ? bc ? c2 ) ? 16abc (2) 2(a3 ? b3 ? c3 ) ? a2 (b ? c) ? b2 (a ? c) ? c2 (a ? b)

4.已知 f ( x) ? 1 ? x 2 ,a ? b ,求证: f (a) ? f (b) ? a ? b

5.已知 0 ? x ? 1, a ? 0, a ? 1 ,试比较 loga (1 ? x) 与 loga (1 ? x) 的大小,并说明理由。

6.设 0 ? a, b, c ? 1,证明: (1 ? a)b,(1 ? b)c,(1 ? c)a 不能都大于

1 。 4

7.用放缩法证明: (1) (2) 1 ?

1 1 1 1 1 ? ? 2? 2? 2? 2 n ?1 2 3 4

?

1 n ?1 ? (n=2,3,4,……) n2 n

1 1 ? ? 2 3

1 ? 2 n (n ? N ? ) n

8.已知 a,b 是实数,求证:

a?b 1? a ? b

?

a 1? a

?

b 1? b

9.已知 a,b,c 是互不相等的正数,求证:

2 2 2 9 ? ? ? a?b b?c c?a a?b?c

10.已知 2 x ? 3 y ? 4 z ? 10 ,求 x2 ? y 2 ? z 2 的最小值。

11.设 x1 , x2 ,?, xn ? R? ,且 x1 ? x2 ? ? ? xn ? 1 ,求证:

x12 x2 ? 2 ? 1 ? x1 1 ? x2

?

2 xn 1 ? 1 ? xn n ? 1

12.用数学归纳法证明: x2n?1 ? y 2n?1 能被 x ? y 整除.(n 为正整数)

13. 证明:贝努利不等式:如果 x 是实数,且 x ? ?1, x ? 0 , n 为大于 1 的自然数,那么有

(1 ? x) n ? 1 ? nx

14. 证 明 : 对 大 于

2

的 一 切 正 整 数

n , 下 列 不 等 式 都 成 立

1 1 1? 2 ?1 ? 2 ? 3 ? ? ? n?? ?1 ? ? ? ? ? ? ? n ? n ? 1 ? 2 3 n?

15.(1)不等式 2 ? n 对哪些正整数 n 成立?证明你的结论;
n 4

? 1? (2)求满足不等式 ?1 ? ? ? n 的正整数 n 的范围? ? n?

n

16.用数学归纳法证明:对于任意大于 1 的正整数 n,不等式

1 1 1 n ?1 ? 2 ??? 2 ? 都成立。 2 n 2 3 n

n n n 17.若 a,b,c 三个正数成等差数列,公差 d ? 0 ,自然数 n ? 2 ,求证: a ? c ? 2b

18. 证 明 : 当 an ? 1? 2 ? 2 ? 3 ? ? ? n(n ? 1) ( n 为 正 整 数 ) 时 , 不 等 式 对 一 切 正 整 数

n

n(n ? 1) (n ? 1) 2 ? an ? 都成立。 2 2

19.已知 a ? b ? c ,求证:

1 1 1 ? ? ?0 a?b b?c c?a

因为 a ? b ? 2ab ,所以
2 2

ab 1 b 1 ? ,即 a ? 2 ? . 2 2 a ?b 2 a ?b 2 b b b } ? a , 0 ? h ? min{a, 2 }? 2 由于 0 ? h ? min{a, 2 2 2 a ?b a ?b a ? b2
2

所以 h ? a ?
2

b 1 2 ? ,从而 h ? 2 a ?b 2 2
2

因为 a, b, c 是正数,不妨设 a ? b ? c ? 0 ,

a b c 则 ( ) a ?b ? 1 , ( )b ? c ? 1 , ( ) c ? a ? 1 b c a
因为 ab?cbc ?a ca ?b ? 0 ,且

a 2 ab 2b c 2 c a b c ? a 2 a ? b ? c b 2 b ? c ? a c 2 c ? a ? b ? ( ) a ?b ( )b ? c ( ) c ? a ? 1 b ? c c ? a a ?b a b c b c a

所以 a 2 ab2bc 2c ? ab?cbc ?a ca ?b (1)因为 (ab ? a ? b ? 1)(ab ? ac ? bc ? c2 ) ? (a ? 1)(b ? 1)(a ? c)(b ? c)

? 2 a ? 2 b ? 2 a c ? 2 b c? 1 6 a b c
所以 (ab ? a ? b ? 1)(ab ? ac ? bc ? c2 ) ? 16abc (2)因为 (a3 ? b3 ) ? (a ? b)ab ? (a ? b)(a2 ? ab ? b2 ) ? (a ? b)ab
2 ? (a ? b) (a ? 2a b? 2 b ) ? ( a? b )(a ?2 b )? 0

所以 a3 ? b3 ? (a ? b)ab , b3 ? c3 ? (b ? c)bc , c3 ? a3 ? (c ? a)ca 所以 2(a3 ? b3 ? c3 ) ? a2 (b ? c) ? b2 (a ? c) ? c2 (a ? b) 要证明 f (a) ? f (b) ? a ? b ,即 1 ? a ? 1 ? b ? a ? b ,即
2 2

a 2 ? b2 1 ? a 2 ? 1 ? b2

? a ?b

因为 a ? b ,所以只需证 a ? b ? 1 ? a 2 ? 1 ? b 2 ∵ a ? b ? a ? b ? 1 ? a 2 ? 1 ? b2 ∴ a ? b ? 1 ? a 2 ? 1 ? b 2 ,从而原不等式成立.

log a (1 ? x) ? log a (1 ? x) ? [(log a (1 ? x) ? log a (1 ? x)][(log a (1 ? x) ? log a (1 ? x)]

2

2

?log ?1x 2 a (

1? x ) al o g 1? x

又因为 0 ? x ? 1 ,所以 0 ? 1 ? x 2 ? 1 , 0 ? 所以 log a (1 ? x 2 ) log a
2

1? x ?0 1? x
2

1? x ? 1. 1? x

所以 log a (1 ? x) ? log a (1 ? x) ? 0 ,即 log a (1 ? x) ? log a (1 ? x) 从而 loga (1 ? x) ? loga (1 ? x) 因为 0 ? a, b, c ? 1,根据基本不等式 0 ? (1 ? a)a ? (

2

2

(1 ? a) ? a 2 1 ) ? 2 4 ( 1? b ) ?b 2 1 (1 ? c) ? c 2 1 0? (1 ? b b)? ( ? ) , 0 ? (1 ? c)c ? ( ) ? 2 4 2 4 1 所以 (1 ? a)a ? (1 ? b)b ? (1 ? c)c ? ( )3 4 1 1 假设 (1 ? a)b,(1 ? b)c,(1 ? c)a 都大于 ,则 (1 ? a)b ? (1 ? b)c ? (1 ? c)a ? ( )3 4 4 1 3 1 这与 (1 ? a)a ? (1 ? b)b ? (1 ? c)c ? ( ) 矛盾. 所以 (1 ? a)b,(1 ? b)c,(1 ? c)a 不能都大于 . 4 4

一方面,

1 1 1 ? ? ? 22 32 42

?

1 1 1 1 ? ? ? ? 2 n 2 ? 3 3? 4 4 ? 5
?(

?

1 n(n ? 1)

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ? ) ? ( ? ) ? ( ? ) ? ?( ? ) ? ? 2 3 3 4 4 5 n n? 1 2n ? 1

另一方面,

1 1 1 ? ? ? 22 32 42

?

1 1 1 1 ? ? ? ? 2 n 1? 2 2 ? 3 3 ? 4

?

1 (n ? 1)n

1 1 1 1 1 1 1 n 1? 1 ? ( 1? ) ? ( ? ) ? ( ? ) ? ? ( ? ) ?1 ? ? 2 2 3 3 4 n ? 1n n n 1 1 1 1 1 1 n ?1 ? ? ? ? ? 2? 所以, ? 2 n ? 1 22 32 42 n n
当 n ? 1 时,不等式 1 ?

1 1 ? ? 2 3

1 ? 2 n 显然成立,即 1 ? 2 1 . n

当 n ? 2 时,因为 n ? n ? 1 ? 2 n 所以

1 2 ? ? 2( n ? n ? 1) n n ? n ?1



1 ? 2 n ? 2 n ?1 n

所以

1 1 1 1 ? 2 2 ?2 1, ?2 3?2 2 , ? 2 4 ? 2 3 ,……, ? 2 n ? 2 n ?1 2 3 4 n

所以 1 ?

1 1 ? ? 2 3

1 1 ? ? (2 2 ? 2 1) ? (2 3 ? 2 2) ? n 2

? (2 n ? 2 n ? 1) ? 2 n

2 2 2 1 1 1 ? ? ? 2( ? ? ) a?b b?c c?a a?b b?c c?a a?b b?c c?a 1 1 1 ?( ? ? )( ? ? ) a?b?c a?b?c a?b?c a?b b?c c?a

?( ?( ? (3

a?b 1 b?c 1 c?a 1 2 ? ? ? ? ? ) a?b?c a?b a?b?c b?c a?b?c c?a 1 1 1 ? ? )2 a?b?c a?b?c a?b?c 1 9 )2 ? a?b?c a?b?c

上式中等号不成立,这是由于 a, b, c 是互不相等的正数, 所以

a?b 1 b?c 1 c?a 1 : ? : ? : . a?b?c a?b a?b?c b?c a?b?c c?a 100 . 29

因为 ( x2 ? y 2 ? z 2 )(22 ? 32 ? 42 ) ? (2x ? 3 y ? 4z)2 ? 102 ? 100 ,所以 x 2 ? y 2 ? z 2 ? 当且仅当 x ?

20 30 40 100 , y ? ,z ? 时, x2 ? y 2 ? z 2 有最小值 . 29 29 29 29
2 xn ? )(n ? 1) 1 ? xn

2 x12 x2 因为 ( ? ? 1 ? x1 1 ? x2

x12 x22 ?( ? ? 1 ? x1 1 ? x2 ? ( x1 ? x2 ?
所以

xn 2 ? )[(1 ? x1 ) ? (1 ? x2 ) ? 1 ? xn

? (1 ? xn )]

? xn ) 2 ? 1

x12 x2 ? 2 ? 1 ? x1 1 ? x2

?

2 xn 1 ? 1 ? xn n ? 1

(1)当 n ? 1 时,因为 x2?1?1 ? y 2?1?1 ? x ? y 能被 x ? y 整除,所以命题成立. (2)假设当 n ? k (k ? 1) 时,命题成立,即 x2k ?1 ? y 2k ?1 能被 x ? y 整除. 当 n ? k ? 1 时, x2( k ?1)?1 ? y 2( k ?1)?1 ? x2k ?1 ? y2k ?1

? x 2 k ? 1x 2 ? y y2 k ?2 ? x 2 ( x 2k ? 1 ?y ? x 2 ( x 2k ? 1 ?y
k? 2 k? 2

1 k2 ? 2 ? y1y k? 2 2 2 1

? x 2 k ? 1x 2 ? x y2 k ?2 ? 1x y
1 )? y 1 )? y

k? 2 k? 2

y ( 1 ? x2 )

y (1 ?x ) y (? x

)

上式前后两部分都能被 x ? y 整除,所以,当 n ? k ? 1 时命题成立.

由(1) (2)知, x2n?1 ? y 2n?1 能被 x ? y 整除. (1)当 n ? 3 时,左边 ? (1 ? 2 ? 3)(1 ?

1 1 ? ) ? 11 ,右边 ? 32 ? 3 ? 1 ? 11 2 3
? k )(1 ? 1 ? 2 1 ? ) ? k 2 ? k ?1. k

所以,左边 ? 右边,命题成立. (2)假设当 n ? k (k ? 3) 时,命题成立,即 (1 ? 2 ? 当 n ? k ? 1 时,

(1 ? 2 ?

? k ? k ? 1)(1 ?

1 ? 2

?

1 1 ? ) k k ?1

1 1 1 1 1 ? ) ? (1 ? 2 ? ? k ) ? ( k ? 1)(1 ? ? ? ? ) k k ?1 2 k k ?1 1 1 1 1 1 1 1 1 ? k 2 ? k ? 1 ? k (k ? 1) ? k (1 ? ? ? ? ) ? (1 ? ? ? ? ) 2 k ?1 2 k k ?1 2 k k ?1 1 1 1 1 1 1 ? k 2 ? k ? 1 ? k (k ? 1) ? k (1 ? ) ? (1 ? ? ? ) 2 k ?1 2 2 3 4 1 3 25 ? k 2 ? k ?1? k ? k ? 2 2 12 2 2 ? k ? 3k ? 1 ? (k ? 1) ? (k ? 1) ? 1 ? (1 ? 2 ? ? k )(1 ?
所以,当 n ? k ? 1 时,命题成立. 由(1) (2)知,命题对大于 2 的一切正整数成立. 当 n ? 17 时,有 2n ? n 4 . ①当 n ? 17 时, 217 ? 131072 ? 83521 ? 174 ,命题成立. ②假设当 n ? k (k ? 17) 时,命题成立,即 2k ? k 4 当 n ? k ? 1 时, 2k ?1 ? 2 ? 2k ? 2k 4 ? k 4 ? 17k 3 ? k 4 ? 4k 3 ? 6k 2 ? 4k ? 1 ? (k ? 1)4 所以,当 n ? k ? 1 时,命题成立. 由①②知,命题对一切不小于 17 的正整数成立.

1 ? 2

1 (2)当 n ? 3 时,有 (1 ? ) n ? n . n 1 64 ? 3 ,命题成立. ①当 n ? 3 时, (1 ? )3 ? 3 27 1 ②假设当 n ? k (k ? 3) 时,命题成立,即 (1 ? ) k ? k k 1 k ?1 1 k 1 ) ? (1 ? ) (1 ? ) 当 n ? k ? 1 时, (1 ? k ?1 k ?1 k ?1

1 1 ? (1 ? ) k (1 ? ) k k ?1 1 ? k (1 ? ) k ?1 ? k ?1
所以,当 n ? k ? 1 时,命题成立. 由①②知,命题对一切不小于 3 的正整数成立. 1)当 n ? 2 时,

1 2 ?1 ? ,命题成立. 22 2 1 1 ? ? 22 32 ? 1 k ?1 ? k2 k

(2)假设当 n ? k (k ? 2) 时,命题成立,即 当 n ? k ? 1 时,

1 1 ? ? 22 32

?

1 1 k ?1 1 ? ? ? 2 2 k (k ? 1) k (k ? 1)2

?
所以,当 n ? k ? 1 时,命题成立.

k 3 ? k 2? 1 k 3 ? k 2 (k ? 1) ? 1 ? ? k (k ? 1)2 k (k ? 1)2 k ?1

由(1) (2)知,命题对任意大于 1 的正整数成立. 不妨设 a ? b ? c , a ? b ? d , c ? b ? d . (1)当 n ? 2 时, a2 ? c2 ? (b ? d )2 ? (b ? d )2 ? 2b2 ? 2d 2 ? 2b2 ,命题成立. (2)假设当 n ? k (k ? 2) 时,命题成立,即 a k ? ck ? 2bk 当 n ? k ? 1 时, a k ?1 ? ck ?1 ? a k ?1 ? ack ? ack ? ck ?1

? a( ak ? ck ) ? ck ( c? a )
k ? a( ak ? ck ) ? 2 d c k k k ? 2a b ?2 dc ? 2 ( b? d) k b ? 2 d c k ?2( b ? d )b ? 2d kb ? 2?k1 b

所以,当 n ? k ? 1 时,命题成立. 由(1) (2)知,命题对一切大于 1 的正整数成立.

1? 2 (1 ? 1) 2 ? 1? 2 ? (1)当 n ? 1 时, ,命题成立. 2 2
(2)假设当 n ? k (k ? 1) 时,命题成立,即 当 n ? k ? 1 时,

k (k ? 1) (k ? 1) 2 ? ak ? . 2 2

k (k ? 1) (k ? 1)2 ? (k ? 1)(k ? 2) ? ak ? (k ? 1)(k ? 2) ? ? (k ? 1)(k ? 2) 2 2 k (k ? 1) (k ? 1)2 2k ? 3 ? (k ? 1) ? ak ?1 ? ? 2 2 2 (k ? 1)(k ? 2) (k ? 2) 2 ? ak ?1 ? 2 2
所以,当 n ? k ? 1 时,命题成立. 由(1) (2)知,命题对一切正整数成立.


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