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上海市松江区2017届高三一模数学试卷(含答案)


上海市松江区 2017 届高三一模数学试卷
2016.12 一. 填空题(本大题共 12 题,1-6 每题 4 分,7-12 每题 5 分,共 54 分) 1. 设集合 M ? {x | x 2 ? x} , N ? {x | lg x ? 0} ,则 M ? N ? 2. 已知 a 、 b ? R , i 是虚数单位,若 a ? i ? 2 ? bi ,则 (a ? bi)2 ? 3. 已知函数 f ( x) ? a x ?1 的图像经过 (1,1) 点,则 f ?1 (3) ? 4. 不等式 x | x ? 1| ? 0 的解集为 5. 已知 a ? (sin x,cos x) , b ? (sin x,sin x) ,则函数 f ( x) ? a ? b 的最小正周期为 6. 里约奥运会游泳小组赛采用抽签方法决定运动员比赛的泳道,在由 2 名中国运动员和 6 名外国运动员组成的小组中,2 名中国运动员恰好抽在相邻泳道的概率为 7. 按下图所示的程序框图运算:若输入 x ? 17 ,则输出的 x 值是

?

?

? ?

8. 设 (1 ? x)n ? a0 ? a1x ? a2 x2 ? a3 x3 ????? an xn ,若

a2 1 ? ,则 n ? a3 3

9. 已知圆锥底面半径与球的半径都是 1cm ,如果圆锥的体积与球的体积恰好也相等,那么 这个圆锥的侧面积是 10. 设 P( x, y) 是曲线 C : 的最大值为 11. 已知函数 f ( x) ? ? 零点,则实数 k ?
2 ? ? ? x ? 4 x ? 3, 1 ? x ? 3 x ? ?2 ? 8,

cm2

x2 y2 ? ? 1 上的点, F1 (?4,0) , F2 (4,0) ,则 | PF1 | ? | PF2 | 25 9

x?3

x) ? f( x) k x? , 若 F(

在其定义域内有 3 个

12. 已知数列 {an } 满足 a1 ? 1 , a2 ? 3 ,若 | an?1 ? an | ? 2n (n ? N ) ,且 {a2 n?1} 是递增数
*

列, {a2 n } 是递减数列,则 lim

a2 n ?1 ? n ?? a 2n

二. 选择题(本大题共 4 题,每题 5 分,共 20 分) 13. 已知 a 、 b ? R ,则“ ab ? 0 ”是“ A. 充分非必要条件 C. 充要条件

b a ? ? 2 ”的( a b



B. 必要非充分条件 D. 既非充分又非必要条件

P 在截面 A1DB 上,则线段 AP 14. 如图,在棱长为 1 的正方体 ABCD ? A 1B 1C1D 1 中,点
的最小值为( A. ) B.

1 3

1 2

C.

3 3

D.

2 2

15. 若矩阵 ? 且

? a11 ? a21

a12 ? ? 满足: a11 、 a12 、 a21 、 a22 ?{0,1} , a22 ?


a11 a21

a12 ? 0 ,则这样的互不相等的矩阵共有( a22
B. 6 个 C. 8 个 D. 10 个

A. 2 个

1 1 ? 0 时,可构造函数 f ( x) ? ( ) x ? x ,由 f ( x) 在 x ? R 是减函数 2 2 2 6 3 及 f ( x) ? f (1) ,可得 x ? 1 ,用类似的方法可求得不等式 arcsin x ? arcsin x ? x ? x ? 0
16. 解不等式 ( ) ? x ?
x

1 2

的解集为( A. (0,1]

) B. (?1,1) C. (?1,1] D. (?1, 0)

三. 解答题(本大题共 5 题,共 14+14+14+16+18=76 分) 17. 如图,在正四棱锥 P ? ABCD 中, PA ? AB ? a , E 是棱 PC 的中点; (1)求证: PC ? BD ; (2)求直线 BE 与 PA 所成角的余弦值;

a ? 2x ? 1 ( a 为实数); 2x ? 1 (1)根据 a 的不同取值,讨论函数 y ? f ( x) 的奇偶性,并说明理由;
18. 已知函数 f ( x) ? (2)若对任意的 x ? 1 ,都有 1 ? f ( x) ? 3 ,求 a 的取值范围;

19. 松江天马山上的“护珠塔”因其倾斜度超过意大利的比萨斜塔而号称“世界第一斜塔”, 兴趣小组同学实施如下方案来测量塔的倾斜度和塔高,如图,记 O 点为塔基、 P 点为塔尖、 点 P 在地面上的射影为点 H ,在塔身 OP 射影所在直线上选点 A ,使仰角 ?HAP ? 45 , 过 O 点与 OA 成 120 的地面上选 B 点,使仰角 ?HBP ? 45 (点 A 、 B 、 O 都在同一水平 面上),此时测得 ?OAB ? 27 , A 与 B 之间距离为 33.6 米,试求: (1)塔高;(即线段 PH 的长,精确到 0.1 米) (2)塔的倾斜度;(即 ?OPH 的大小,精确到 0.1 )
? ? ? ? ?

20. 已知双曲线 C : 于 A 、 B 两点;

x2 y 2 ? 2 ? 1 经过点 (2,3) ,两条渐近线的夹角为 60? ,直线 l 交双曲线 2 a b

(1)求双曲线 C 的方程; (2)若 l 过原点, P 为双曲线上异于 A 、 B 的一点,且直线 PA 、 PB 的斜率 k PA 、 k PB 均 存在,求证: kPA ? kPB 为定值; (3)若 l 过双曲线的右焦点 F 1 ,是否存在 x 轴上的点 M ( m, 0) ,使得直线 l 绕点 F 1 无论怎 样转动,都有 MA ? MB ? 0 成立?若存在,求出 M 的坐标;若不存在,请说明理由;

???? ????

21. 如果一个数列从第 2 项起,每一项与它前一项的差都大于 2,则称为“ H 型数列”;

1 1 ? 3 , a2 ? , a3 ? 4 ,求实数 m 的范围; m m (2)是否存在首项为 1 的等差数列 {an } 为“ H 型数列”,其前 n 项和 Sn 满足 Sn ? n2 ? n
(1)若数列 {an } 为“ H 型数列”,且 a1 ?

(n ? N * ) ?若存在,请求出 {an } 的通项公式;若不存在,请说明理由;
(3)已知等比数列 {an } 的每一项均为正整数,且 {an } 为“ H 型数列”; 若 bn ?

an 2 an , cn ? ,当数列 {bn } 不是“ H 型数列”时, 3 (n ? 1) ? 2n ?5

试判断数列 {cn } 是否为“ H 型数列”,并说明理由;

参考答案
一. 填空题 1. {1} 7. 143 2. 3 ? 4i 8. 11 9. 3. 2 4. (0,1) ? (1, ??) 10. 10 11. (0, 5.

?

6. 12. ?

1 4 1 2

17?

3 ) 3

二. 选择题 13. B 三. 解答题 17.(1)略;(2) 14. C 15. D 16. A

3 ; 3

18.(1) a ? ?1 ,偶函数; a ? 1 ,奇函数; a ? R 且 a ? ?1 ,非奇非偶函数; (2) [2,3] ; 19.(1)18.9 米;(2)6.9°;

y2 ? 1;(2)3;(3) (?1, 0) ; 20.(1) x ? 3 1 21.(1) ( ??, 0) ? ( , ??) ;(2)不存在; 2 n?1 (3) an ? 3 ? 2 时, {cn } 不是“ H 型数列”; an ? 4n?1 时, {cn } 是“ H 型数列”;
2


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