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吉林省实验中学2015届高三上学期第三次模拟考试数学(文)试题 Word版含答案


第Ⅰ 卷(选择题)
一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分。在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的. 1.已知集合 A ? ?x | 0 ? log4 x ? 1 ?, B ? ?x | x ? 2?,则A A. ? 0, 1? B. ? 0, 2? C. ?1, 2 ?

B?
D. ?1 , 2?

2.若复 数 z 满足(3-4i)z=|4+3i |,则 z 的虚部为 A.-4 B.-

3.如果 a ? b ? 0 ,那么下列不等式成立的是 A.

4 5

C.4

D.

4 5
D. ?

1 1 ? a b

B. ab ? b

2

C. ?ab ? ?a

2

1 1 ?? a b

4. 设 a , b, c 分 别 是 ?ABC中?A, ?B, ?C 所 对 边 的 边 长 , 则 直 线 si nA ? x ? ay ? c ? 0与

bx ? sin B ? y ? sin C ? 0 的位置关系是
A.平行 B.重合 C.垂直 D.相交但不垂直

5.直线 xsinα+y+2=0 的倾斜角的取值范围是 A.[0,π) B. ? 0,

? ? ? ? 3? ? ∪ ,? ? ? 4? ? ? ? 4 ? ? ? ? ?? ? ∪ ? ,? ? ? 4? ? ?2 ?
16? 3
C. 4? D. 8?

C. ? 0,

? ?? ? 4? ?
8? 3

D. ? 0,

6.已知某几何体的三视图如图所示,其中俯视图中圆的直径为 4,该几何体的体积为 A. B.

7.已知三条不重合的直线 m, n, l 和两个不重合的平面 ? , ? ,下列命题正确的是 A.若 m / / n , n ? ? ,则 m / /? B.若 ? ? ? , ? C.若 l ? n , m ? n ,则 l / / m

? ? m ,且 n ? m ,则 n ? ?

D.若 l ? ? , m ? ? ,且 l ? m ,则 ? ? ?
第 - 1 - 页 共 11 页

8.在同一个坐标系中画出函数 y ? a x , y ? sin ax 的部分图像,其中 a ? 0 且 a ? 1 , 则下列所给图像可能正确的是

y
1 0

y
1

2?

x

0

2?

x

y
1 0

A

B

y
1

2?
C

x

0

2?
D

x

9. 若不等式 4 x 2 ? loga x ? 0 对任意 x ? (0, ) 恒成立,则实数 a 的取值范围为 A. (

1 4

开始

S=2,i=1

1 ,1) 256 1 ) 256

B. [

1 ,1) 256 1 ] 256

i≤2015?

N

Y
S? 1? S 1? S
输出S

C. (0,

D. (0,

10. 程序框图如图所示,该程序运行后 输出的 S 的值是

1 A. 3

B. ?3

1 C. ? 2

i=i+1

结束

D. 2

11.已知数列 {an } 的前 n 项和为 S n , a1 ? 1 ,当 n ≥ 2 时, an ? 2Sn?1 ? n ,则 S 2015 的值为 A.2015 B.2013 C.1008 D.1007 若对任 ? x ? 6sin ? x cos ? x ? 3cos2 ? x(? ? 0) 的最小正周期为 2? , 意 x ? R ,都有 f ( x) ?1 ? f (?) ?1 ,则 tan ? 的值为 12.若函数 f ( x) ? ? sin
2

A. ?

3 2

B. ?

2 3

C.

3 2

D.

2 3

第Ⅱ卷(非选择题)
第 - 2 - 页 共 11 页

二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分。

?x ? y ? 2 ? 0 13.若实数 x,y 满足 ? , 则 z ? x ? y 的最大值为_____ ?x ? 4 ?y ? 5 ?
14.当点 ( x, y ) 在直线 x ? 3 y ? 2 上移动时, z ? 3x ? 27 y ? 3 的最小值是 . 15. 已 知 向 量 AB 与 AC 的 夹 角 为 120 , 且 | AB |? 3 , | AC |? 2 , 若 AP ? ? AB ? AC , 且

AP ? BC ,则实数 ? 的值为__________.
16.设函数 f ( x) 与 g ( x) 是定义在同一区间 [ a, b] 上的两个函数,若对任意的 x ? [a, b] ,都有

f ( x) ? g ( x) ? k (k ? 0) ,则称 f ( x) 与 g ( x) 在 [a, b] 上是“ k 度和谐函数”,[a, b] 称为“ k 度
密切区间”.设函数 f ( x) ? ln x 与 g ( x ) ?

1 mx ? 1 在 [ , e ] 上是“ e 度和谐函数”,则 m 的取值范围 e x

是____________ 三、解答题:本大题共 6 小题,共 70 分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。 17.(本 小题满分 12 分) 已知圆 C 的圆心 C 在第一象限,且在直线 3x ? y ? 0 上, 该圆与 x 轴相切, 且被直线 x ? y ? 0 截得的弦长为 2 7 ,直线 l : kx ? y ? 2k ? 5 ? 0 与圆 C 相交. (Ⅰ )求圆 C 的标准方程; (Ⅱ )求出直线 l 所过的定点;当直线 l 被圆所截得的弦长最短时,求直线 l 的方程及最短的弦 长。

18.(本小题满分 12 分) 已知首项都是 1 的数列 {an },{bn } ( bn ? 0, n ? N * )满足 bn ?1 ?

an ?1bn . an ? 3bn

(Ⅰ )令 cn ?

an ,求数列 {cn } 的通项公式; bn

2 (Ⅱ )若数列 {bn } 是各项均为正数的等比数列,且 b3 ? 4b2 ? b6 ,求数列 {an } 的前 n 项和 Sn .

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19.(本小题满分 12 分) 已知四棱锥 P ? ABCD 中,底面 ABCD 是直角梯形, 平面 PAB ? 平面 ABCD, R、S 分别是棱 AB、PC 的中点, AD / / BC, AD ? AB, PA ? PB,

AB ? BC ? 2 AD ? 2PA ? 2,
(Ⅰ)求证:平面 PAD ? 平面 PBC ; (Ⅱ)求证: RS / / 平面 PAD (III)若点 Q 在线段 AB 上,且 CD ? 平面 PDQ, 求三 棱锥 Q ? PCD 的体积. C

D S Q A P 20.(本小题满分 12 分) 已知椭圆 C : R B

? 6 1? x2 y 2 C , ? ? 2 ? 1? a ? b ? 0 ? 的一个顶点坐标为 B(0,1) ,且点 P ? ? 2 ? ? 在 上. a b ? 2 2?

(I)求椭圆 C 的方程; (II)若直线 l : y ? kx ? m 与椭圆 C 交于 M,N 且 kOM ? kON ? 4k , 求证: m 为定值.
2

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21.(本小题满分 12 分) 已知函数 f ? x ? ? ex ? cos x, g ? x ? ? x ? sin x ,其中 e 为自然对数的底数. (Ⅰ )求曲线 y ? f ? x ? 在点 (0, f (0)) 处的切线方程;
? π ? (Ⅱ )若对任意 x ? ? ? , 0 ? , 不 等 式 f ? x ? ≥ g ? x ? ? m 恒成立,求实数 m 的取值范围; ? 2 ?
? π π? (Ⅲ )试探究当 x ? ? ? , ? 时,方程 f ( x) ? g ( x) ? 0 解的个数,并说明理由. ? 2 2?

请考生在第 22、23、24 三题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分。 22.(本小题满分 10 分)选修 4-1 :几何证明选讲 如图所示,已知 PA 与⊙O 相切,A 为切点,过点 P 的割线交圆于 B、C 两点, 弦 CD∥AP,AD、BC 相交于点 E,F 为 CE 上一点,且 DE2 = EF· EC. (Ⅰ)求证:CE· EB = EF· EP; (Ⅱ)若 CE:BE = 3:2,DE = 3,EF = 2,求 PA 的长.

23.(本小题满分 10 分)选修 4-4:坐标系与参数方程

? 3 x ? ?1 ? t ? ? 2 (t 为参数),以坐标原点为极点, x 轴的正半轴为极轴 已知直线 l 的参数方程为 ? ? y ? 3? 1t ? ? 2
建立极坐标系,圆 C 的极坐标方程为 ? ? 2cos ? . (Ⅰ)求圆 C 的直角坐标方程; (Ⅱ)设 M (?1, 3) ,直线 l 与圆 C 相交于点 A, B ,求 | MA || MB | .

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24.(本小题满分 10 分)选修 4-5:不等式选讲 设 a , b, c 都是正实数,求证: (Ⅰ) a ? b ? c ? ab ? bc ? ca (Ⅱ) (a ? b ? c)(a2 ? b2 ? c2 ) ? 9abc

第 - 6 - 页 共 11 页

18.(Ⅰ)

an?1 an ? ? 3 -------3 分, bn?1 bn

即 cn?1 ? cn ? 3, -------4 分 又 c1 ? 1 ------5 分

cn ? 3n ? 2 -----6 分
4 5 2 (Ⅱ) q ? 4q ? q , q ?

1 1 , an ? 0,? q ? 0 ? q ? --------7 分 4 2

1 bn ? ( ) n?1 -------8 分 2
第 - 7 - 页 共 11 页

1 an ? (3n ? 2) ? ( ) n ?1 -------9 分 2 1 S n ? 8 ? (3n ? 4) ? ( ) n ?1 -------12 分 2
19.(Ⅰ) 证明: 平面PAB ? 平面ABCD且相交于直线AB,

而AD ? 平面ABCD, AD ? AB ? AD ? 平面PAB, 又PB ? 平面PAB ? PB ? AD, 又PB ? PD ,AD ? PB ? 平面PAD. 故平面PAD ? 平面PBC
(Ⅱ) 取PB中点T , 连接RT、ST ,

PD ? D .
4分

PB ? 平面PBC ,

RT / / PA, ST / / BC.

且PB ? PA, PB ? BC. ? PB ? RT , PB ? ST .

又RT

ST =T , 则PB ? 平面RST .

又PB ? 平面PAD, ? 平面RST 平面PAD. 且RS ? 平面RST , 故RS // 平面PAD.
(III) 8分

CD ? 平面PDQ,? PQ ? CD.
又PQ ? AD, CD ? AD ? D,? PQ ? 平面ABCD. 1 3 则PQ ? AB,由已知AQ ? , PQ ? , 2 2 5 ? DQ ? , 又CD ? 5, CD ? QD, 2 1 5 ??CQD是面积S ? CD ? DQ ? . 2 4 1 5 3 则三棱锥P - CDQ的体积为V ? ? S ? PQ ? , 3 24 5 3 故三棱锥Q - PCD的体积为 . 24

12 分

第 - 8 - 页 共 11 页

代入并整理得 kOM ? kON

4km2 ? 2k ? ? 4k 2m 2 ? 2

可得 m2 ?

1 2
2

--------10 分
2

经验证满足 m ? 2k ? 1 …………………11 分 ∴ m2 ?

21.解: (Ⅰ)依题意得, f ? 0? ? e0 cos0 ? 1, · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 1分 · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 2分 f ? ? x ? ? ex cos x ? ex sin x, · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 3分 f ?(0) ? 1 · 所以曲线 y ? f ? x ? 在点 (0, f (0)) 处的切线方程为 y ? x ? 1 .· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 4分
? π ? (Ⅱ)等价于对任意 x ? ? ? , 0 ? , m ≤ [ f ( x) ? g ( x)]min . · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 5分 ? 2 ? ? π ? 设 h( x ) ? f ( x ) ? g ( x ) , x ? ? ? , 0 ? . ? 2 ?

1 .………………………………………………………12 分 2

则 h? ? x ? ? e x cos x ? e x sin x ? sin x ? x cos x ? e x ? x cos x ? e x ? 1 sin x

?

?

?

?

第 - 9 - 页 共 11 页

? π ? 因为 x ? ? ? , 0 ? ,所以 ex ? x cos x ≥ 0, ex ? 1 sin x ≤ 0 , ? 2 ? ? π ? 所以 h? ? x ?… · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 6分 0 ,故 h ( x ) 在 ? ? ,0? 单调递增,· ? 2 ? ? π ? ?? 因此当 x ? ? 时,函数 h ( x ) 取得最小值 h ? ? ? ? ? ;· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 7分 2 2 ? 2? π? ? ? 所以 m ≤ ? ,即实数 m 的取值范围是 ? ?? , ? ? . · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 8分 2? 2 ? π π (Ⅲ)设 H ( x) ? f ( x) ? g ( x) , x ? [? , ] . 2 2 π ? ? ? π ? ①当 x ? ? ? , 0 ? 时,由(Ⅱ)知,函数 H ( x) 在 ? ? ,0? 单调递增, ? 2 ? ? 2 ? ? π ? 故函数 H ( x) 在 ? ? ,0? 至多只有一个零点, ? 2 ? ? ? ?? ? π ? 又 H ? 0 ? ? 1 ? 0, H ? ? ? ? ? ? 0 ,而且函数 H ( x) 在 ? ? ,0? 上是连续不断的, 2 ? 2? ? 2 ? ? π ? 因此,函数 H ( x) 在 ? ? ,0? 上有且只有一个零点. · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 9分 ? 2 ? ? π? ②当 x ? ? 0, ? 时, f ( x) ? g ( x) 恒成立.证明如下: ? 4? π ? π? 设 ? ( x) ? e x ? x, x ?[0, ] ,则 ? ?( x) ? e x ? 1≥ 0 ,所以 ? ( x) 在 ?0, ? 上单调递增, 4 ? 4? ? π? 所以 x ? ? 0, ? 时, ? ( x) ? ? (0) ? 1 ,所以 e x ? x ? 0 , ? 4? ? π? 又 x ? ? 0, ? 时, cos x ≥ sin x ? 0 ,所以 e x ? cos x ? x sin x ,即 f ( x) ? g ( x) . ? 4? ? π? 故函数 H ( x) 在 ? 0, ? 上没有零点. · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 10 分 ? 4? ? π π? ? π π? ③当 x ? ? , ? 时,H ?( x) ? ex (cos x ? sin x) ? sin x ? x cos x ? 0 , 所以函数 H ( x) 在 ? , ? 上单调 4 2 ? ? ? 4 2? ? π π? 递减,故函数 H ( x) 在 ? , ? 至多只有一个零点, ? 4 2? π π 2 4 π π π ?π π? (e ? ) ? 0, H ( ) ? ? ? 0 ,而且函数 H ( x) 在 ? , ? 上是连续不断的, 又 H( ) ? 4 2 4 2 2 ?4 2? ? π π? 因此,函数 H ( x) 在 ? , ? 上有且只有一个零点. · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 11 分 ? 4 2? ? π π? 综上所述, x ? ? ? , ? 时,方程 f ( x) ? g ( x) ? 0 有两个解.· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 12 分 ? 2 2?

?

?

?

?

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24.(I)5 分

(Ⅱ)10 分

第 - 11 - 页 共 11 页


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