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第 课时 随机变量的方差和标准差


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江苏省响水中学高二数学备课组



课时 离散型随机变量的方差和标准差
主备人:郑亚军 审核人:卞云标

【预习检测】 假定 1500 件产品中有 100 件不合格品,从中抽取 15 件进行检查,求 15 件中不合 格品件数 X 的标准差。

【学习目标】 1、了解离散型随机变量的方差、标准差的意义。 2、会根据离散型随机变量的分布列求出方差或标准差。 【课前预习】 请认真阅读教材 P71-73 的相关内容,并回答下列有关问题: 问题一:引例中 X1,X2 的均值相等,如何比较甲、乙两个工人的技术? 问题二:我们知道,当样本平均值相差不大时,可以利用样本方差考察样本数据与 样本平均值的偏离程度.能否用一个类似于样本方差的量来刻画随机变量的波动程度 呢? 问题三: 一般地,若离散型随机变量 X 的概率分布如表所示:
X
P

x1 p1 p2

x2

… …

xn pn
【课题探究】 探究一: 例 1.若随机变量 X 的分布如表所示:求方差 V ( X ) 和标准差 V ( X ) .
X
P

2 则 ( xi ? ? ) (? ? E( X )) 描述了 xi (i ? 1, 2,..., n) 相对于均值 ? 的偏离程度,故

( x1 ? ?)2 p1 ? ( x2 ? ?)2 p2 ? ... ? ( xn ? ? )2 pn , (其中
pi ? 0, i ? 1, 2,..., n, p1 ? p2 ? ... ? pn ? 1 )刻画了随机变量 X 与其均值 ? 的平均偏离程
度,我们将其称为离散型随机变量 X 的方差,记为 V ( X ) 或 ? .
2

0
1? p

1
p

2.方差公式也可用公式

V ( X ) ? ? xi pi ? ? 2
2 i ?1

n

计算. 探究二: 求第 2.5.1 节例 1 中超几何分布 H (5,10,30) 的方差和标准差.

3.随机变量 X 的方差也称为 X 的概率分布的方差, X 的方差 V ( X ) 的算术平方根 称为 X 的标准差,即 ? ? V ( X ) . 思考:随机变量的方差和样本方差有何区别和联系?

没有大胆的猜想,就做出不出伟大的发现

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江苏省响水中学高二数学备课组

. 探究三: 求第 2.5.1 节例 2 中的二项分布 B(10,0.05) 的方差和标准差.

2、有同寝室的四位同学分别写一张贺年卡,先集中起来,然后每人去拿一张,记自己 拿自己写的贺年卡的人数为 X . (1)求随机变量 X 的概率分布; (2)求 X 的数学期望 和方差.

3.有甲、乙两种品牌的手表,它们日走时误差分别为 X , Y (单位: s ) ,其分布列如下:

X P
Y P

?1 0.1 ?2 0.1
[来源:学

0 0.8
?1 0.2

1 0.1 1 0.2 2 0.1

0 0.4

说明:一般地,由定义可求出超几何分布和二项分布的方差的计算公式:当
X ~ H (n, M , N ) 时, V (X ) ?

比较两种品牌手表的质量.

nM ( N ? M )( N ? n) ( ,p) , 当 X ~Bn N 2 ( N ? 1)

V ( X ) ? np(1 ? p) . 时,

我的收获:

【学习检测】
X) 1 6 ? . , (V )X 1 2 . 8 1、 设随机变量 X ~ B(n, p) , 且 E( ?

, 则n ?

,p ?



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