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二次函数图像第3课时


二次函数y=ax2+k的图像 及性质

2、二次函数 y=2x?、 的图象 与二次函数 y=x? 的图象有什么相同和 不同? 2
3.5

1 2 y? x 2

y ? 2x

2

y?x

3

2.5

>1 2 y? x 2

2

1.5

1

a>0
1 2

0.5

-2

-1

二次函数y=ax2的图象与性质
y=ax2 y 图象 开口方向 x 0 开口向上 a>0 a<0 y
0

x

开口大小 对称轴 顶点

开口向下 a的绝对值越大,开口越小 y轴 顶点是原点(0,0)

a的正负决定抛物线的什么? IaI的大小决定 什么的?

二次函数y=ax2的性质
y=ax2 图象 开口向下 开口向上 a的绝对值越大,开口越小 关于y轴对称 顶点坐标是原点(0,0) 顶点是最高点 在对称轴左侧递减 在对称轴左侧递增 在对称轴右侧递增 在对称轴右侧递减 顶点是最低点 a>0 a<0

开口 对称性 顶点

增减性

例2. 在同一直角坐标系中,画出二次函数y=x2+1和y=x2 -1的图像 x 2 3 … … -3 -2 -1 0 1 解: 先列表 然后描点画 y=x2+1 … 10 5 2 1 2 5 10 … 图,得到y= y=x2-1 … 8 3 0 -1 0 3 8 … x2+1,y=x2-1的图像. y=x2+1 y (1) 口方向、对称轴、顶点各是什么? (2)抛物线y=x2+1,y=x2-1与抛 物线y=x2有什么关系? 抛物线y=x2+1: 开口向上, 对称轴是y轴, 顶点为(0,1). 抛物线y=x2-1: 开口向上, -5 -4 -3 -2 -1 对称轴是y轴, 顶点为(0, -1). 抛物线y=x2+1,y=x2-1的开
10 9 8 7 6 5 4 3 2 1

y=x2-1

o1 2 3 4 5

x

抛物线y=x2+1,y=x2-1与抛物线y=x2的关系:

向上平移 抛物线 y=x2+1 1个单位 抛物线y=x2 向下平移 抛物线 y=x2-1 1个单位 y
抛物线y=x2
10 9 8 7 6 5 4 3 2 1

y=x2+1
y=x2

把抛物线y=2x2向上平移5个单位, 会得到那条抛物线?向下平移3.4个单 位呢? (1)得到抛物线y=2x2+5 (2)得到抛物线y=2x2-3.4

y=x2-1
x

-5 -4 -3 -2 -1 o 1 2 3 4 5

1、抛物线y=所得抛物线为 y=-

1 2

x2 -1向下平移4个单位后,
1 2

x2-5,再向上平移7个
1 2

单位后,所得抛物线为 y=-

x2+2

.

一般地,抛物线y=ax2+k有如下特点: (1)当a>0时, 开口向上; 当a<0时,开口向下; (2)对称轴是y轴; (3)顶点是(0,k).
10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 -5 -4 -3-2 -1 o 1 2 3 4 5 y
1 yy? ? x 2 ? 1 1 2

x

抛物线y=ax2+k可以由抛物线y=ax2向上或向下平移|k|得到. (k>0,向上平移;k<0向下平移.)

-5 -4 -3 -2 -1 o 1 2 3 4 5 -1 1 y ? ? x2 -2 2 -3 -4 -5 -6 -7 -8 -9 -10 1 y ? ? x2 ? 3 2

x

二次函数y=ax2+k的性质
y=ax2+k a>0 a<0

图象

开口 对称性 顶点

开口向下 开口向上 a的绝对值越大,开口越小 关于y轴对称
(0,k)

增减性

顶点是最高点 在对称轴左侧递减 在对称轴左侧递增 在对称轴右侧递增 在对称轴右侧递减

顶点是最低点

2、你能由函数y=2x2的性质,得到函数y=2x2+1的一些 性质吗? 完成填空: ﹤0 ﹥0 当x______时,函数值y随x的增大而减小;当x______时, =0 函数值y随x的增大而增大,当x______时,函数取得最 1 ______值,最______值y=______. 小 小 以上就是函数y=2x2+1的性质。
7 6

y ? 2x2 ?1

5

4

3

2

y ? 2x 2

1

练习
1 2 1.把抛物线 y ? x 向下平移2个单位,可以得 2 1 2 到抛物线 y ? x ? 2 ,再向上平移5个单位, 2 1 2 可以得到抛物线 y ? x ? 3 ; 2 2.对于函数y= –x2+1,当x <0 时,函数值y随

x的增大而增大;当x >0 时,函数值y随x的 增大而减小;当x =0 时,函数取得最 大 值, 为 1 。

3.函数y=3x2+5与y=3x2的图象的不同之处是( C)

A.对称轴

B.开口方向

C.顶点

D.形状

4.已知抛物线y=2x2–1上有两点(x1,y1 ) ,(x2,y2 )

且x1<x2<0,则y1 y2(填“<”或“>”) 1 2 y? x 5.已知抛物线 2 ,把它向下平移,得到的 抛物线与x轴交于A、B两点,与y轴交于C点, 若⊿ABC是直角三角形,那么原抛物线应向下 平移几个单位?

(1)抛物线y= ?2x2+3的顶点坐标是 是 ,在

,对称轴

侧,y随着x的增大而增 ,它是由抛物线y=

大;在

侧,y随着x的增大而减小,当x= _____

时,函数y的值最大,最大值是

?2x2线怎样平移得到的__________.
( 2)抛物线 y= x? 的顶点坐标是____,对称轴是 -5 ____,在对称轴的左侧,y随着x的 ;在对称 轴的右侧,y随着x的 ,当x=____时,函数y的 值最___,最小值是 .

做一做:
1、按下列要求求出二次函数的解析式: (1)已知抛物线y=ax2+c经过点(-3,2)(0,-1),求该抛物 线线的解析式。 (2)形状与y=-2x2+3的图象形状相同,但开口方向不同,顶 点坐标是(0,1)的抛物线解析式。 (3)对称轴是y轴,顶点纵坐标是-3,且经过(1,2)的点的 解析式,

2、在同一直角坐标系中,一次函数y=ax+c和二次函数 y=ax2+c的图象大致是如图中的( ) y
y
y

y

o

x

o

x

o

x

o

x

A

B

C

D

二次函数y=ax2+k的性质
y=ax2+k a>0 a<0

图象

开口 对称性 顶点

开口向下 开口向上 a的绝对值越大,开口越小 关于y轴对称
(0,k)

增减性

顶点是最高点 在对称轴左侧递减 在对称轴左侧递增 在对称轴右侧递增 在对称轴右侧递减

顶点是最低点


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