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直线和圆的方程


2013 届高三数学精品讲练:直线和圆的方程
一、典型例题
例 1、已知定点 P(6,4)与定直线?1:y=4x,过 P 点的直线?与?1 交于第一象限 Q 点, 与 x 轴正半轴交于点 M,求使△OQM 面积最小的直线?方程。 分析: 直线?是过点 P 的旋转直线,因此是选其斜率 k 作为参数,还是选择点 Q(还是 M)作为 参数是本题关键。 通过比较可以发

现,选 k 作为参数,运算量稍大,因此选用点参数。 设 Q(x0,4x0) ,M(m,0) ∵ Q,P,M 共线 ∴ kPQ=kPM ∴
4 ? 4x 0 6 ? x0 ? 4 6 ? m 5x 0 x0 ?1

解之得: m

?

∵ x0>0,m>0 ∴ x0-1>0 ∴
S ? OMQ ? 1 2 | OM | 4 x 0 ? 2 mx ? 10 x 0
2

0

x0 ?1

令 x0-1=t,则 t>0
S? 10 ( t ? 1) t
2

? 10 ( t ?

1 t

? 2)

≥40

当且仅当 t=1,x0=11 时,等号成立 此时 Q(11,44) ,直线?:x+y-10=0 评注:本题通过引入参数,建立了关于目标函数 S△OQM 的函数关系式,再由基本不等式 再此目标函数的最值。要学会选择适当参数,在解析几何中,斜率 k,截距 b,角度θ ,点 的坐标都是常用参数,特别是点参数。 例 2、已知△ABC 中,A(2,-1) ,B(4,3) ,C(3,-2) ,求: (1)BC 边上的高所在直线方程; (2)AB 边中垂线方程; (3)∠A 平分线所在直线方程。 分析: (1)∵ kBC=5 ∴ BC 边上的高 AD 所在直线斜率 k= ?
1 5

7

∴ AD 所在直线方程 y+1= ? 即 x+5y+3=0

1 5

(x-2)

(2)∵ AB 中点为(3,1) AB=2 ,k ∴ AB 中垂线方程为 x+2y-5=0 (3)设∠A 平分线为 AE,斜率为 k,则直线 AC 到 AE 的角等于 AE 到 AB 的角。 ∵ kAC=-1,kAB=2 ∴
k ?1 1? k
2

?

2 ? k 1 ? 2k

∴ k +6k-1=0 ∴ k=-310

(舍) ,k=-3+
10

10

∴ AE 所在直线方程为(

-3)x-y-2

10

+5=0

评注:在求角 A 平分线时,必须结合图形对斜率 k 进行取舍。一般地涉及到角平分线这 类问题时,都要对两解进行取舍。也可用轨迹思想求 AE 所在直线方程,设 P(x,y)为直线 AE 上任一点,则 P 到 AB、AC 距离相等,得 到,AB 与 AC 关于 AE 对称。 例 3、 (1)求经过点 A(5,2) ,B(3,2) ,圆心在直线 2x-y-3=0 上圆方程; (2)设圆上的点 A(2,3)关于直线 x+2y=0 的对称点仍在这个圆上,且与直线 x-y+1=0 相交的弦长为 2 分析: 研究圆的问题,既要理解代数方法,熟练运用解方程思想,又要重视几何性质及定义的 运用,以降低运算量。总之,要数形结合,拓宽解题思路。 (1)法一:从数的角度 若选用标准式:设圆心 P(x,y) ,则由|PA|=|PB|得:(x0-5) +(y0-2) =(x0-3) +(y0-2) 又 2x0-y0-3=0 两方程联立得: ?
?x 0 ? 4 ?y 0 ? 5
2 2 2 2 2

| 2x ? y ? 5 | 5

?

| x ? y ?1| 2

,化简即可。还可注意

2

,求圆方程。

,|PA|=
2

10

∴ 圆标准方程为(x-4) +(y-5) =10 若选用一般式:设圆方程 x +y +Dx+Ey+F=0,则圆心( ?
2 2

D 2

, ?

E 2



7



? 2 2 ?5 ? 2 ? 5 D ? 2 E ? F ? 0 ? 2 2 ?3 ? 2 ? 3D ? 2 E ? F ? 0 ? D E ?2 ? (? ) ? (? ) ? 3 ? 0 2 2 ?

?D ? ?8 ? 解之得: ? E ? ? 10 ? F ? 31 ?

法二:从形的角度 AB 为圆的弦,由平几知识知,圆心 P 应在 AB 中垂线 x=4 上,则由 ? 心 P(4,5) ∴ 半径 r=|PA|=
10
?2x ? y ? 3 ? 0 ?x ? 4

得圆

显然,充分利用平几知识明显降低了计算量 (2)设 A 关于直线 x+2y=0 的对称点为 A’ 由已知 AA’为圆的弦 ∴ AA’对称轴 x+2y=0 过圆心 设圆心 P(-2a,a) ,半径为 R 则 R=|PA|=(-2a-2) +(a-3) 又弦长 2
2 ? 2 R
2

2

2

? d

2

,d

?

| ?2a ? a ? 1 | 2



R

2

? 2 ?

( 3 a ? 1) 2

2

∴ 4(a+1) +(a-3) =2+ ∴ a=-7 或 a=-3 当 a=-7 时,R=
52

2

2

( 3 a ? 1) 2

2

;当 a=-3 时,R=
2 2

244
2 2

∴ 所求圆方程为(x-6) +(y+3) =52 或(x-14) +(y+7) =244 例 4、已知方程 x +y -2(m+3)x+2(1-4m )y+16m +9=0 表示一个圆, (1)求实数 m 取值范 围; (2)求圆半径 r 取值范围; (3)求圆心轨迹方程。 分析: (1)m 满足[-2(m+3)] +[2(1-4m )] -4(16m +9)>0,即 7m -6m-1<0 ∴
? 1 7 ? m ?1
2 2 2 4 2 2 2 2 4

(3)半径 r=

? 7m

2

? 6m ? 1 ?

? 7(m ?

3 7

)

2

?

16 7

7



?

1 7

? m ?1



m ?

3 7

时, r max
4 7 7

?

4 7

7

∴ 0<r≤

(3)设圆心 P(x,y) ,则 ? 消去 m 得:y=4(x-3) -1 又? ∴
1 7 20 7 ? x ? 4 ? m ?1
2

?x ? m ? 3 ?y ? 4m
2

?1

∴ 所求轨迹方程为(x-3) =
2 2

2

1 4

(y+1)(

20 7

? x ? 4



例 5、如图,过圆 O:x +y =4 与 y 轴正半轴交点 A 作此圆的切线?,M 为?上任一点,过 M 作圆 O 的另一条切线,切点为 Q,求△MAQ 垂心 P 的轨迹方程。 分析: 从寻找点 P 满足的几何条件着手,着眼于平几知识的运用。 连 OQ,则由 OQ⊥MQ,AP⊥MQ 得 OQ∥AP 同理,OA∥PQ 又 OA=OQ ∴ OAPQ 为菱形 ∴ |PA|=|OA|=2 设 P(x,y),Q(x0,y0),则 ? 又 x0 +y0 =4 ∴ x +(y-2) =4(x≠0) 评注:一般说来,当涉及到圆的切线时,总考虑过焦点的弦与切线的垂直关系;涉及到 圆的弦时,常取弦的中点,考虑圆心、弦的中点、弦的端点组成的直角三角形。
2 2 2 2

?x 0 ? x ?y 0 ? y ? 2

7

同步练习
(一)选择题 1、若直线(m -1)x-y+1-2m=0 不过第一象限,则实数 m 取值范围是 A、-1<m≤
1 2
2

B、 ?

1 2

≤m≤1

C、

1 2

<m<1
? 4

D、

1 2

≤m≤1

2、已知直线 2x+y-2=0 和 mx-y+1=0 的夹角为 A、
? 1 3

,则 m 值为 D、 或 3
3 1

或-3

B、-3 或

1 3

C、-3 或 3

3、点 P 在直线 x+y-4=0 上,O 为原点,则|OP|的最小值是 A、 2 B、
6

C、 2

2

D、

10

4、过点 A(1,4) ,且横纵截距的绝对值相等的直线共有 A、 1 条
2 2

B、2 条

C、3 条

D、4 条
0

5、圆 x +y -4x+2y+C=0 与 y 轴交于 A、B 两点,圆心为 P,若∠APB=90 ,则 C 的值是 A、 -3
2

B、3
2 2

C、 2

2

D、8

6、若圆(x-3) +(y+5) =r 上有且只有两个点到直线 4x-3y-2=0 距离等于 1,则半径 r 取 值范围是 A、 (4,6) B、[4,6) C、 (4,6]
? 2

D、[4,6]

7、将直线 x+y-1=0 绕点(1,0)顺时针旋转 x +(y-1) =R 相切,则正数 R 等于 A、
1 2
2 2 2 2 2

后,再向上平移一个单位,此时恰与圆

B、

2 2

C、1

D、

2

8、 方程 x +y +2ax-2ay=0 所表示的圆 A、关于 x 轴对称 C、关于直线 x-y=0 对称 (二)填空题 9、直线 ax+by+c=0 与直线 dx+ey+c=0 的交点为(3,-2) ,则过点(a,b)(d,e)的 , 直线方程是___________________。 10、已知{(x,y)|(m+3)x+y=3m-4}∩{(x,y)|7x+(5-m)y-8=0}=φ ,则直线(m+3)x+y= 3m+4 与坐标轴围成的三角形面积是__________________。 B、关于 y 轴对称 D、关于直线 x+y=0 对称

7

11、已知 x, y

? 3 x ? 8 y ? 15 ? 0 ? 满足 ? 5 x ? 3 y ? 6 ? 0 ? 2 x ? 5 y ? 10 ? 0 ?

, x-y 的最大值为________, 则 最小值为________。

12、过点 A(2,1) ,且在坐标轴截距相等的直线方程是_________________。 13、已知圆:(x-1) +y =1,作弦 OA,则 OA 中点的轨迹方程是__________________。
2 2

(三)解答题 14、已知 y=2x 是△ABC 中∠C 平分线所在直线方程,A(-4,2) ,B(3,1) ,求点 C 坐 标,并判断△ABC 形状。

15、已知 n 条直线:x-y+ci=0(i=1,2,…,n) ,其中 C1=

2

,C1<C2<C3<…<Cn,且每相

邻两条之间的距离顺次为 2,3,4,…,n, (1)求 Cn; (2)求 x-y+Cn=0 与坐标轴 围成的三角形面积: (3)求 x-y+Cn-1=0 与 x-y+Cn=0 与 x 轴、y 轴围成的图形面积。

16、已知与曲线 C:x +y -2x-2y+1=0 相切的直线?交 x、y 轴于 A、B 两点,O 为原点, |OA|=a,|OB|=b,a>2,b>2, (1)求证:(a-2)(b-2)=2; (2)求线段 AB 中点的轨 迹方程; (3)求△AOB 面积的最小值。

2

2

17、已知两圆 x +y =4 和 x +(y-8) =4, (1)若两圆分别在直线 y=

2

2

2

2

5 2

x+b 两侧,求 b 取

值范围; (2)求过点 A(0,5)且和两圆都没有公共点的直线的斜率 k 的范围。

18、当 0<a<2 时,直线?1:ax-2y-2a+4=0 与?2:2x+a y-2a -4=0 和坐标轴成一个四边形, 要使围成的四边形面积最小,a 应取何值?

2

2

7

参考答案
(一)1、D 2、C 3、C 10、2
2

4、C

5、A

6、A

7、B

8、D

(二)9、3x-2y+C=0 13、 ( x
? 1 2 )
2

11、6,-5

12、x+y=3 或 x-2y=0

? y

?

1 4

(x≠0)
0

(三)14、C(2,4) ,∠C=90 15、 (1) C n
?

2 n ( n ? 1) 2

(2)

n ( n ? 1) 4

2

2

(3)n

3

16、 (1)利用圆心到直线距离等于半径 (2)(x-1)(y-1)= (3) 2
2 ? 3

1 2

(x>1,y>1)

17、 (1)画图 (2)k∈( ? 18、
1 2

3≤b≤5
5 2 , 5 2



7


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