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2012优化方案高考数学(理)总复习(北师大版)第3章§3.6


§3.6 函数y=Asin(ωx+φ)的图像 及三角函数模型的简单应用

§3.6 函数y = Asin( ωx+ φ)的 图像 及三 角函 数模 型的 简单 应用

双基研习?面对高考

考点探究?挑战高考

考向瞭望?把脉高考

双基研习?面对高考

基础梳理
1. y= Asin(ωx+ φ)的有关概念 y= Asin(ωx+ φ)(A>0, ω>0, x∈ R)表示一个振动量 2π 1 振幅 , 时, A 叫作______ T= 叫作周期, f= 叫作频率 _____, ω T

初相 . ωx+ φ 叫作相位, φ 叫作_______

2.用五点法画y=Asin(ωx+φ)的图像

用五点法画y=Asin(ωx+φ)在一个周期内的简图
时,要找五个特征点.如下表所示:
x ωx+φ y=Asin(ωx + φ) - φ ω
π φ - 2ω ω ______ π 2

0 ___
0

π φ 3π φ - - ω ω _______ 2ω ω 3 π π 2 0 -A

2π φ - ω ω

2π _____
0

A

思考感悟 在上表的三行中,找五个点时,首先确定哪一行 的数据?
π 3π 提示:第二行,即先使 ωx+φ= 0, ,π, ,2π, 2 2 然后求出 x.

3.图像变换 由函数 y=sinx 的图像通过变换得到 y=Asin(ωx+ φ)(ω>0) 的图像,有两种主要途径:“先平移后伸 缩”与“先伸缩后平移.”

|φ|

A

1 ω

|φ | ω
A

课前热身
1 2 π 1.最大值为 ,周期为 π,初相是 的函数表达式可 2 3 6 能是( ) 1x π 1x π A. y= sin ( + ) B. y= 2sin ( - ) 23 6 22 6 1 π C. y= sin(3x+ ) 2 6 1 π D. y= sin(3x- ) 2 6

答案:C

π 2. (2010 年高考辽宁卷)设 ω>0, 函数 y= sin(ωx+ ) 3 4π + 2 的图像向右平移 个单位后与原图像重合, 则ω 3 的最小值是 ( ) 2 4 A. B. 3 3 3 C. 2 D. 3

答案:C

π 3.要得到函数 y= sin(2x- )的图像,可以把函数 y 4 = sin2x 的图像 ( ) π π A.向左平移 个单位 B.向右平移 个单位 8 8 π C.向左平移 个单位 4 π D.向右平移 个单位 4

答案:B

3 4π 4.(教材习题改编)函数 y= sin(2πx+ )的周期是 2 3 ________, 振幅是________, 当 x=________时, ymax =________;当 x=________时,ymin=________.
答案:1 3 2 5 k- (k∈ Z) 12 3 2 11 k- (k∈Z) 12 3 - 2

5.(2009年高考辽宁卷)已知函数f(x)=sin(ωx+
φ)(ω>0)的图像如图所示,则ω=________.
3 答案: 2

考点探究?挑战高考

考点突破

五点法作图
用“五点法”作正、余弦函数的图像要抓住四点: ①化为正弦型 y=Asin(ωx+φ)或余弦型 y=Acos(ωx 2π +φ);②周期 T= ;③振幅 A(A>0)?最大值 A 和 |ω| 最小值-A;④列出一个周期的五个特殊点.

例1

(2011 年亳州质检)用五点法作图画出函数

x x y= 3sin + cos 的图像. 2 2

【思路点拨】

先化简解析式,然后找出与x相

对应的五个点,描点连线即得所求作的图像.

x 【解】 (1)列表:将函数解析式化简为 y=2sin( + 2 π ),列表如下: 6

π 2π 5π 8π (2)描点:描出点(- , 0)、 ( , 2)、 ( , 0)、( , 3 3 3 3 11π - 2)、 ( ,0). 3 (3)连线:用平滑的曲线将这五个点连接起来,最后 将其向两端伸展,得到图像如图所示.

【误区警示】 (1)列表时是先令相位角 ωx+φ 分别 π 3π 为 0、 、π、 、2π,从而得到 x 相应的值,而不 2 2 是令 x 为这五个值; (2)在连线时必须用光滑曲线连 接,而不是折线.

函数y=Asin(ωx+φ)的图像的变换 规律 图像变换包括相位变换、振幅变换、周期变换, 应分清变换顺序. (1)平移变换

①沿x轴平移,按“左加右减”法则;
②沿y轴平移,按“上加下减”法则.

(2)伸缩变换 ①沿 x 轴伸缩时, 横坐标 x 伸长 (0<ω<1)或缩短 (ω>1) 1 为原来的 倍 (纵坐标 y 不变 ); ω ②沿 y 轴伸缩时, 纵坐标 y 伸长 (A>1)或缩短(0<A<1) 为原来的 A 倍 (横坐标 x 不变 ).

例2

π 函数 y=3sin(2x+ )的图像可由 y=sinx 的 3

图像经过怎样的变换而得到?

【思路点拨】

要看清由谁变换得到谁.

【误区警示】 变换法作函数 y= Asin(ωx+ φ)的图 像时,“先平移,后伸缩”,平移 |φ|个单位,“先 φ 伸缩,后平移”,应平移 | |个单位,原因在于相位 ω 变换和周期变换都是对变量 x 而言的.因此在用这 样的变换法作图像时一定要注意平移的先后顺序, 否则会出现错误.

互动探究 1

π 如何将例 2 中函数 y=3sin(2x+ )的图 3

像经过变换得到 y=sinx 的图像?

π 解: 把 y= 3sin(2x+ )上所有点的纵坐标缩短为原来 3 1 π 的 倍 (横坐标不变),得到 y= sin(2x+ )的图像;再 3 3 π 将 y= sin(2x+ )的图像上所有点的横坐标伸长到原 3 π 来的 2 倍 (纵坐标不变 ),得到 y= sin(x+ )的图像; 3 π π 再将 y= sin(x + ) 的图像上所有点向右平移 个单 3 3 位,即可得到 y= sinx 的图像.

求三角函数解析式
由图像求解析式,实质是逆用五点法作图的过程 ,特别是求初相φ时,必须弄清五个点的横坐标 是如何确定的.

例3 (2010 年高考重庆卷 )已知函数 y=sin(ωx+

π φ)(ω>0,|φ|< )的部分图像如图所示,则( 2
π A. ω= 1, φ= 6 π B. ω= 1, φ=- 6 π C. ω=2, φ= 6 π D. ω=2, φ=- 6

)

【思路点拨】
定φ.

由周期确定ω,由图像过的点确

2π 7π π 【解析】 法一:依题意,得 T= = 4( - )=π, 12 3 ω π ∴ ω=2,又∵图像过点 ( , 1), 3 π 2π π ∴ sin(2× + φ)= 1,∴ φ+ =2kπ+ , (k∈ Z), 3 3 2 π π 又∵ |φ|< ∴ φ=- . 2 6

π 7π 法二:∵图像过点 ( , 1)和( , 0), 3 12 ∴根据“五点法”作图原理,

? 有? 7π ?12ω+φ=π
【答案】 D

π π ω+ φ= 3 2

ω= 2 ? ? ,解得? π . φ=- ? 6 ?

【规律小结】 确定 y= Asin(ωx+ φ)+b 的解析式 的步骤: (1)求 A,B.确定函数的最大值 M 和最小值 m, M- m M+ m 则 A= , b= . 2 2 2π (2)求 ω.确定函数的周期 T,则 ω= , T T 3 T 由图像可观察出 T、 、 T、 等. 2 4 4

(3)求 φ.常用方法有: ①代入法:把图像上的一个已知点代入 y= Asin(ωx + φ)+ b(此时 A, ω, b 已知 )或代入图像与直线 y= B 的交点求解.此法适用于 φ 的范围已知的情况. ②五点法:确定 φ 值时,往往以寻找“五点”中的 φ 第一零点 (- , 0)作为突破口.具体如下: ω

变式训练2

(2009年高考浙江卷)已知A是实数,
)

则函数f(x)=1+asin ax的图像不可能是(

解析:选 D.当 a=0 时, f(x)= 1,图像即为 C;当 0<a<1 时,三角函数的最大值为 1+ a<2,且最小正 2π 周期为 T= >2π,图像即为 A;当 a>1 时,三角函 a 2π 数的最大值为 a+1>2,且最小正周期为 T= <2π, a 图像即为 B.故选 D.

三角函数模型的简单应用

三角函数的应用问题,除了从题目中抽象出恰当
的函数关系式外,还要正确应用三角变换公式、

配方法、换元法、三角函数的有界性等对所抽象
出的关系式进行化简、变形,但应用时要注意角 的取值范围.

例4 (2011年南阳调研)在自然条件下,一年中10

次测量的某种细菌一天内的存活时间的统计表( 时间近似到0.1小时)如下所示:

(1)以日期在365天中的位置序号x为横坐标,一天 内的存活时间y为纵坐标,在给定坐标系中画出

这些数据的散点图;
(2)试选用一个形如y=Asin(ωx+A)+t的函数模

型来近似地描述一年中该细菌一天内的存活时间
y与日期位置序号x之间的函数关系;(注:①求出 所选用的函数关系式;②一年按365天计算) (3)用(2)中的函数模型估计该种细菌一年中大约 有多少天的存活时间都大于15.9小时?

【思路点拨】

根据表中数据作出散点图,由散

点图可得函数最值、周期等从而求得函数解析式

;列不等式求解可知道存活时间大于15.9小时的
天数. 【解】 (1)散点图如图所示.

(2)由散点图知道该细菌一天内的存活时间y与日

期位置序号x之间的函数关系近似为y=Asin(ωx+
φ)+t,由图形知函数的最大值为19.4,最小值为 5.4,即ymax=19.4,ymin=5.4. 由 19.4-5.4=14,得 A= 7,由 19.4+ 5.4= 24.8,得 2π t= 12.4,又∵ T= 365,∴ ω= . 365 2π×172 ∴当 x=172 时, +φ 365 π 323π = ,∴ φ=- . 2 730

2πx 323π ∴ y= 7sin( - )+12.4(x= 1、 2、 3?、 365). 365 730 2πx 323π 1 (3)由 y>15.9,得 sin( - )> . 365 730 2 π 2πx 323π 5π ∴ < - < , 6 365 730 6 解得 112≤ x≤ 232. ∴该种细菌大约有 121 天 (或 122 天 )中的存活时间大 于 15.9 小时.

【名师点评】

本题属于用数据结合三角函数模

型解决问题的类型.散点图对于选择函数模型有 很大的影响,通过观察散点图和对数据进行分析 ,得到具体的三角函数模型,体现了数形结合思 想.这种问题的建模接近于真正意义上的数学建

模,所以会受到高考命题的重视,由于涉及复杂
的数据,往往要进行估算.

方法感悟 方法技巧 1.五点法作函数图像及函数图像变换问题 (1)当明确了函数图像基本特征后,“描点法”是作 函数图像的快捷方式.运用“五点法”做正、余弦 型函数图像时,应取好五个特殊点,并注意曲线 的凹凸方向.(如例1) (2)在进行三角函数图像变换时,提倡“先平移, 后伸缩”,但“先伸缩,后平移”也经常出现在题 目中,所以也必须熟练掌握,无论是哪种变形, 切记每一个变换总是对字母x而言,即图像变换 要看“变量”起多大变化,而不是“角”变化多少. (如例2)

2.由图像确定函数解析式 由函数 y= Asin(ωx+ φ)的图像确定 A、 ω、 φ 的题型, φ 常常以“五点法”中的第一零点 (- , 0)作为突破 ω 口,要从图像的升降情况找准第一零点的位置.要 善于抓住特殊量和特殊点. (如例 3)

3.对称问题
函数y=Asin(ωx+φ)的图像与x轴的每一个交点均 为其对称中心,经过该图像上坐标为(x,±A)的 点与x轴垂直的每一条直线均为其图像的对称轴 ,这样的最近两点间横坐标的差的绝对值是半个

周期(或两个相邻平衡点间的距离).如(例3)

4.三角函数模型的应用及解题步骤 (1)根据图像建立解析式或根据解析式作出图像;

(2)将实际问题抽象为与三角函数有关的简单函数
模型;

(3)利用收集到的数据作出散点图,并根据散点图
进行函数拟合,从而得到函数模型.(如例4)

失误防范

1.由函数y=sinx(x∈R)的图像经过变换得到函
数y=Asin(ωx+φ)的图像,在具体问题中,可先 平移变换后伸缩变换,也可以先伸缩变换后平移 变换,但要注意:先伸缩,后平移时要把x前面 的系数提取出来.

2.函数y=Asin(ωx+φ)的图像和性质是本节考查
的重点,也是高考热点,复习时尽可能使用数形 结合的思想方法,如求对称轴、对称中心和单调 区间等.

3.注意复合形式的三角函数的单调区间的求法
.函数y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)的单调区间的 确定,基本思想是把ωx+φ看做一个整体.在单 调性应用方面,比较大小是一类常见的题目,依 据是同一区间内函数的单调性.

考向瞭望?把脉高考

考情分析
函数y=Asin(ωx+φ)的图像的平移和伸缩变换以 及根据图像确定A、ω、φ问题是高考的热点.题 型既有小题,又有解答题,难度中、低档,主要 考查识图、用图能力,同时又考查了利用三角公 式进行三角恒等变换的能力. 预测2012年高考仍将以三角函数图像的平移和伸 缩变换以及应用图像为主要考点,重点考查函数 思想,数形结合思想.

真题透析
(2010 年高考四川卷 )将函数 y= sin x 的图 π 像上所有的点向右平移 个单位长度,再把所得各 10 点的横坐标伸长到原来的 2 倍(纵坐标不变), 所得图 像的函数解析式是 ( ) π π A. y= sin(2x- ) B. y= sin(2x- ) 10 5 1 π 1 π C. y= sin( x- ) D. y= sin( x- ) 2 10 2 20


【解析】

将函数 y= sin x 的图像上所有的点向右

π 平移 个单位长度,所得函数图像的解析式为 y= 10 π sin(x- );再把所得各点的横坐标伸长到原来的 2 10 1 倍 (纵坐标不变 ),所得图像的函数解析式是 y= sin( 2 π x- ).故选 C. 10

【答案】

C

【名师点评】 (1)解本题时易出现的问题有两个: 一是左右平移的方向搞反, 误认为函数 y= sinx 的图 π 像上所有的点向右平移 个单位后得到的解析式为 10 π y = sin(x+ );二是记错横坐标变化的规律,误认 10 为横坐标伸长到原来的 2 倍,则自变量的系数变为 原来的 2 倍,进而导致错误.

(2)函数图像的平移、伸缩变换的实质就是点的变
化,横坐标的变化对应着图像的左右平移,纵坐 标的变化对应着图像的上下平移.解决函数图像 平移问题,首先应把两个函数化成同名函数,然 后找出它们的不同之处实施变换.

名师预测
1.将函数 y= sinx 的图像经过下列哪种变换可以得 到函数 y= cos2x 的图像( ) π A.先向左平移 个单位,然后再沿 x 轴将横坐标压 2 1 缩到原来的 (纵坐标不变 ) 2 π B.先向左平移 个单位,然后再沿 x 轴将横坐标伸 2 长到原来的 2 倍 (纵坐标不变 )

π C.先向左平移 个单位,然后再沿 x 轴将横坐标压 4 1 缩到原来的 (纵坐标不变) 2 π D.先向左平移 个单位,然后再沿 x 轴将横坐标伸 4 长到原来的 2 倍 (纵坐标不变 )

π 解析:选 A.y= cos2x= sin(2x+ ),将 y= sinx 的图 2 π π 像先向左平移 个单位得到 y= sin(x+ )的图像,再 2 2 1 沿 x 轴将横坐标压缩到原来的 (纵坐标不变)得到 y 2 π = sin(2x+ )的图像. 2

π 2.已知函数 f(x)= sin(ωx+ )(x∈ R,ω>0)的最小正 4 周期为 π.将 y= f(x)的图像向左平移 |φ|个单位长度, 所得图像关于 y 轴对称,则 φ 的一个值是( ) π 3π A. B. 2 8 π C. 4 π D. 8

π 解析:选 D.∵ f(x)= sin(ωx+ )的最小正周期是 π, 4 2π π ∴ T= = π? ω= 2.∴ f(x)= sin(2x+ ). 4 ω 又当 y= f(x)的图像向左平移 |φ|个单位长度,所得图 像关于 y 轴对称时, π π 则必须 sin[2(0+ |φ|)+ ]= sin(2|φ|+ )= ± 1, 4 4 π 经验证,只有 φ= 时,满足要求.故选 D. 8

3.已知函数 f(x)=2sin(ωx+φ)的图像如图所示,则 7π f( )=________. 12

3 5π π 2π 解析:法一:由图可知, T= - = π,即 T= , 2 4 4 3 2π ∴ ω= =3. T ∴ y= 2sin(3x+ φ), π 3π 将 ( , 0)代入上式得,sin( + φ)=0. 4 4 3π 3π ∴ + φ=kπ,k∈ Z,则 φ= kπ- , k∈ Z. 4 4 7π 7π 3π ∴ f( )=2sin( + kπ- )=0. 12 4 4

3 5π π 2π 法二:由图可知, T= - = π,即 T= . 2 4 4 3 又由正弦图像性质可知,若 f(x0)= 0, T 则 f(x0+ )=0, 2 7π π π ∴ f( )=f( + )= 0. 12 4 3

答案:0

π 4.关于函数 f(x)=sin(2x- )有下列命题: 4 π π ①其表达式可写成 f(x)=cos(2x+ ); ②直线 x=- 4 8 是函数 f(x)的图像的一条对称轴; ③函数 f(x)的图像 π 可由函数 g(x)= sin2x 的图像向右平移 个单位得到; 4 ④存在 α ∈ (0, π), 使得 f(x+ α )= f(x+3α )恒成立. 其中正确的命题是________.

π 2 解析:对于 f(x)= sin(2x- ),有 f(0)=- ,而对 4 2 π 2 于 f(x)= cos(2x+ ),则有 f(0)= ,所以①错误; 4 2 π π 因为 f(- )=-1,所以②正确;由 f(x)= sin(2x- ) 8 4 π = sin[2(x- )]可知,函数 f(x)的图像是由函数 g(x) 8 π = sin2x 的图像向右平移 个单位得到的, 8

所以③错误;因为 π 是函数 f(x)的最小正周期,可 π 取 α = ,所以④正确. 2

答案:②④

本部分内容讲解结束
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