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立体几何中的轨迹问题9


y?n y+n 得, , k PN = x?m x+m y 2 ? n2 k PM ? k PN = 2 , x ? m2 b2 b2 将 y 2 = 2 x 2 ? b2 , n2 = 2 m2 ? b2 a a 2 b 代入得 k PM ? k PN = 2 a 椭圆与双曲线同属于圆锥曲线 , 它们在 性质上有许多统一性与相似性 , 通过类比可 以获得许多对偶的性质. 5 数

列求和与函数的求值类比 1 例 5 设 f ( x) = x ,利用课本中推导 2 + 2 等差数列的前 n 项和的公式的方法 , 可求得 f (?5) + f (?4) + " + f (0) + " + f (5) + k PM = f (6) 的值为: . 分析 等差数列求和用的是倒序相加法 , 即 S n = a1 + a2 + " + an ?1 + an ,利用 a1 + an
= a2 + an ?1 = " ,可求得等差数列的前 n 项和. 相似地,令 t = f (?5) + f (?4) + " + f (5) + f (6) ,
由题意易得出: f (0) + f (1) = f (?1) + f (2) = " = f (?5) + f (6) 且 f (0) + f (1) =

令 g ( x) =

f ( x) ,则 g (ab) = g (a) + g (b) . x 类比具体函数:对数函数,有
g (a n ) = ng (a ) ,

∴ f (a n ) = a n g (a n )
= na n g (a ) = na n ?1 f (a) 1 1 故 Vn = f (2? n ) / n = ( )n ?1 ? f ( ) 2 2 ∵ f (2) = 2 , 1 1 1 f (1) = f (2 × ) = 2 f ( ) + f (2) = 0 , 2 2 2 1 1 1 ∴ f ( ) = ? f (2) = ? , 2 4 2 1 1 n ?1 ∴ Vn = (? ) ? ( ) , 2 2 1 n 故 Sn = ( ) ? 1 , (n ∈ Nt ) . 2 参考文献
[1] 邵琼 . 椭圆与双曲线的对偶性质及应用 . 福建中学 数学.2005.3. [2] 虞 涛 . 高 考 数 学 命 题 新 思 维 . 汉 语 大 词 典 出 版 社,2004.

2 , 2

立体几何中的轨迹问题
福建仙游第二中学 李天霞

∴ 2t = 12[ f (0) + f (1)] , t = 3 2 6 抽象与具体之间的类比 例 6 已知 f ( x) 是定义在 R 上的不恒为零 的 函 数 , 且 对 于 任 意 的 a, b ∈ R 都 满 足 f (ab) = af (b) + bf (a) ,(1)求 f (0), f (1) 的值;

(2)判断 f ( x) 的奇偶性;(3)若 f (2) = 2 , Vn =
f (2? n ) (n ∈ N t ) ,求数列 {Vn } 的前 n 项和 S n . n 分析 (1)易得, f (0) = 0 , f (1) = 0 .(2)

f ( x) 是奇函数.(3) ab ≠ 0 时, f (ab) f (b) f (a) = + , ab b a

立体几何中的轨迹问题是立体几何与解 析几何的交汇题 , 是以空间几何为载体 , 考查 空间某一动点的轨迹问题 , 要求熟练掌握立 体几何和解析几何有关知识内容 , 更要有跳 跃的思维 , 较强的转换能力 . 学生求解起来颇 感困难 , 不知从何入手 , 现略举几例探索此类 题型的解题的规律. 1 善用立体几何的定理或定义判断 例 1 已知直平行六面体 ABCD ?

A1 B1C1 D1 的各条棱长均为 3, ∠BAD = 60° , 长
为 2 的线段 MN 的一个端点 M 在 DD1 上运动,
·29·

另一端点 N 在底面 ABCD 上运动 , 则 MN 的 中点 P 的轨迹 . 分 析 联 结 DP 、 DN 由 于 DD1 ⊥ 面

ABCD ,故无论 N 如何运动, ?MDN 为直角三 MN = 1 ,又由已知 ∠BAD 角形,且 DP = 2 = 60° , ∠ADC = 120° ,根据球面的定义可判断, 1 点 P 的轨迹以点 D 为球心,半径为 1 的 球 6 面. 例 2 已知正方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 的棱
长是 1, 在正方体的侧面 BCC1 B1 上到点 A 距

分析 由三垂线定理的逆定理知 : BC 垂 直 AC ,在平面 α 内 A 、B 是两个定点,故 C 点 是以 AB 为直径的圆上的一个动点,又由已知 C 点不能与 A 、 B 重合.故选 B. 评注 题目设计匠心独运,形式新颖,很好 地将立体几何知识和圆的定义结合到一起 . 在知识的交汇处考查数学应用能力 , 是道难 得的好题. 例 4 (2004 年 北 京 卷 ) 在 正 方 体

ABCD ? A1 B1C1 D1 中 , P 是 侧 面 BB1C1C 内 一
动点,若 P 到直线 BC 与直线 C1 D1 的距离相等, 则动点 P 的轨迹所在的曲线是( B、圆 A、直线 C、双曲线 D、抛物线

2 3 离为 的点的集合形成一条曲线 , 那么这 3 . 条曲线的形状是
分析 ∵ AB ⊥ 侧面 BCC1 B1 , 设 P 为侧面

).

分析 P 到直线 C1 D1 的距离即 P 到点 C1 的距离 , 则原问题可转化为在正方体右侧面 内 P 到点定点 C1 的距离 P 到定直线 BC 的距 离相等.在平面 BB1C1C 内满足抛物线定义,故 选 D. 例 5 在棱长为 2 的正方体 AC1 中, P 是侧 面 BB1C1C 内一动点 , 若 P 到直线 DC 与直线

2 3 BCC1 B1 的动点,总有 AB ⊥ BP ,且 AP = , 3 3 ∴ BP = , 故动点 P 的点的集合形成的曲 3 3 线是以 为半径,以 B 为圆心的圆弧. 3 评注 这类题目以空间几何体为载体 , 点、线、面的垂直或平行关系显而易见,解题 时结合它的几何性质 , 选择合适的定理或定 义进行判断 , 能轻而易举地解题 . 以上几题都 利用线面垂直的定义 : 若一条直线与一个平 面垂直 , 则这条直线与平面内的任何一条直 线都垂直 , 从而通过点的任意性和已知的有 关条件来确定动点的运动轨迹. 2 妙用圆锥曲线的定义判断 例 3 (2004 年天津卷,文 8)定点 A 和 B 都 在平面 α 内 , 定点 P ? α , PB ⊥ α , C 是 α 内异 于 A 和 B 的动点,且 PC ⊥ AC .那么,动点 C 在 平面 α 内的轨迹是( ). A、一条线段,但要去掉两个点 B、一个圆,但要去掉两个点 C、一个椭圆,但要去掉两个点 D、半圆,但要去掉两个点
·30·

C1 D1 的距离之和等于 2 2 相等 , 则动点 P 的 ). 轨迹所在曲线是( B、圆 A、椭圆 D、抛物线 C、双曲线 分析 P 到直线 C1 D1 的距离即 P 到点 C1 的距离,且 P 到直线 CD 的距离即 P 到点 C 的
距离 , 则在侧面 BB1C1C 内 P 到 C , C1 的距离 之和为 2 2 ,是常数,符合椭圆的第一定义,所 以点 P 的轨迹是以 C , C1 为焦点,以 2 2 为长 轴的椭圆的一部分,故选 A. 评注 以上三题是以空间几何的点线距 为载体 , 利用已知的几何特征把空间的轨迹 迹问题转化成平面的轨迹问题 , 从而联想到 圆锥曲线的定义来判断 , 题目设计别出心意 , 考察学生立几和解几的交汇知识点的整合 , 训练学生的综合能力. 3 巧建空间直角坐标系以数解形

几何研究的一种重要思路是代数化 , 建 立空间直角坐标系把立体几何中的几何问题 转化成代数问题 , 摒弃了繁杂的几何推理 , 减 低了思维的难度.使题目思路清晰明了. 例 6 已知正方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 的棱 长为 1, P 是平面 AC 内一动点 , 若 P 到直线

A1 D1 的距离等于 P 到直线 CD 的距离,则动点 P 的轨迹所在的曲线是( ). B、圆 A、椭圆 C、双曲线 D、抛物线 分析 以 D 为原点 , DA 为作 x 轴 , DC 为 y 轴 , DD1 为 Z 轴 , 建立空间直角坐标系 , 设 P( x, y,0) PE ⊥ AD 于 E , PF ⊥ A1 D1 于 F , 连 结 EF ,又作 PN ⊥ CD 于 N ,则 E ( x,0,
0), F ( x, 0,1), N (0, y, 0) , 由 PF = PN , 可 得
y 2 + 1 = x 可解得 x 2 ? y 2 = 1 ,因而 P 在平面

AA1 = 1 ,点 E 、F 分别在棱 A1 D1 、AB 上滑动, 且线段 EF 的长恒等于 2, 则线段 EF 的中点 P 的轨迹是( ). (B)椭圆的一部分 (A)圆的一部分 (C)双曲线的一部分 (D)抛物线的一部分 分析以 D 为坐标原点, DA 为 x 轴, DC 为 y 轴 , DD1 为 z 轴建立空间直角坐标系 . 设 AD = a, E ( x, 0,1), F (a, y, 0) , 则 EF 的 中 点 x+a y 1 P( , , ) , 过 E 点作 EM ⊥ AD 于 M 点 , 2 2 2 则 EM ⊥ 平面 ADCB , EM ⊥ MF , ∴ PM = 1 且 M ( x,0, 0) , x+a y 1 即 ? x) 2 + ( )2 + ( )2 = 1 , ( 2 2 2 整理得 : ( x ? a ) 2 + y 2 = 3 , 因而点 P 的轨 迹是圆的一部分,故选 A. 评注 以上 3 题通过建立空间直角坐标 系 , 设点的坐标 , 把几何的问题转化成代数问 题来解决 , 也使问题变得通俗易懂 . 充分体现 它的独特的作用. 以上是以空间图形为背景探求动点的轨 迹问题的几种主要思路 , 解题时要善于把立 体几何问题转化到平面问题 . 空间图形中的 轨迹问题的新颖性、综合性值得我们重视和 探索 , 这种知识的交汇融合与综合应用 , 对培 养学生的空间想象能力和数学实践能力大有 益处.
参考文献
[1] 吴明德 . 立体几何中的共面轨迹问题 . 高中数学教 与学.2004.4. [2] 曾安雄.立体几何与解析几何的交汇点.高中数学 大世界.2005.1-2.

AC 上的轨迹是双曲线的一部分,故选 C. 例 7 已知:平面 α 的一条斜线 l 过面外一 点 P 且与面成 30 度角,动直线 PQ 与直线 l 成
30 度角且交平面 α 于 Q , 则 Q 点的轨迹是 ( ). B、椭圆 A、一条直线 D、抛物线 C、双曲线一支 分析 作 PO ⊥ 平面 α 于点 O , 以 O 为坐 标 原 点 , OA 为 x 轴 ( A 为 直 线 l 与 α 的 交 点 ), OP 为 z 轴 , x 轴 y 轴确定的平面为 α , 建
立空间直角坐标系 . 设 OP = 1 , 则 A( 3, 0,0),

P(0,0,1), Q( x, y, 0) . 在△ APQ 中 , 利用余弦定 理得:
AQ = AP + PQ ? 2 AP ? PQ ? cos ∠APQ ,
2
2 2



( 3 ? x) + y
2

2

= 4 + ( x 2 + y 2 + 1) ? 2 3 ? x 2 + y 2 + 1 ,

整理得: 故选 D.

2 3 3 (x ? ), 3 3 因而点 Q 在平面 α 上的轨迹是抛物线 .

y2 =

例 8 在长方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 中,
·31·


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