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2015年高考全国2卷理科数学试题(纠错版)


2015 高考数学新课标Ⅱ卷(理科)
一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。 (1) 已知集合 A={-2,-1,0,2} ,B={x|(X-1) (x+2)<0},则 A∩B= (A) {--1,0} (B) {0,1} (C) {-1,0,1} (D) {,0,,1,2} (2)若 a 为实数且(2+a

i) (a-2i)=-4i,则 a= (A)-1 (B)0 (C)1 (D)2

(3)根据下面给出的 2004 年至 2013 年我国二氧化硫排放量(单位:万吨)柱形图。以下结论不正确的是 2700 0 2600 0 2500 0 2400 0 2300 0 2200 0 2100 0 2000 0 1900 2004 年 2005 年 2006 年 2007 年 2008 年 2009 年 2010 年 2011 年 2012 年 2013 年 (A)逐年比较,2008 年减少二氧化硫排放量的效果最显著 (C)2006 年以来我国二氧化硫年排放量呈减少趋势名 (D)2006 年以来我国二氧化硫年排放量与年份正相关 (4)等比数列{an}满足 a1=3,a1+ a3+ a5=21,则 a3+ a5+ a7 = (A)21 (B)42 (C)63 (D)84 (B)2007 年我国治理二氧化硫排放显现成效

(5 设函数f x = (A)3

1 + log 2 2 ? x ,x < 1 ,则f ?2 + f log2 12 = 2x ?1 ,x ≥ 1 (C)9 (D)12

(B)6

(6)一个正方体被一个平面截去一部分后,剩余部分的三视图如 右图,则截去部分体积与剩余部分体积的与剩余部分体积的比值为 (A)

1 8

(B)

1 7

(C)

1 6

(D)

1 5

(7)过三点 A(1,3) ,B(4,2) ,C(1,-7)的圆交于 y 轴于 M、N 两点,则 MN =

1

(A)2 6

(B)8

(C)4 6

(D)10

开始 输入 a,b 是 a≠b 否

(8)右边程序抗土的算法思路源于我国 古代数学名著《九章算术》中的“更相减 损术”。执行该程序框图,若输入 a,b 分 别为 14,18,则输出的 a= A.0 B.2 C.4 D.14

是 否 输出 a (9)已知 A,B 是球 O 的球面上两点, a≠b ∠AOB=90,C 为该球面上的动点,若三 棱锥 O-ABC 体积的最大值为 36,则球 b=b-a 结束 a=a-b O 的表面积为 A.36π B.64π C.144π D.256π 10. 如图,长方形 ABCD 的边 AB=2 ,BC=1 ,O 是 AB 的中点,点 P 沿着边 BC ,CD 与 DA 运动, ∠BOP=x。将动点 P 到 AB 两点距离之和表示为 x 的函数 f(x) ,则 f(x)的图像大致为
y 2 A y 2 B y 2 C y 2
A

D

D

P

C

x O B

O

π 4

π 2

3π π 4

x

O

π 4

π 3π π 2 4

x O

π 4

π 3π π 2 4

x O

π 4

π 3π π 2 4

x

(11)已知 A,B 为双曲线 E 的左,右顶点,点 M 在 E 上,?ABM 为等腰三角形,且顶角为 120° ,则 E 的 离心率为 (A) 5 (B)2 (C) 3 (D) 2 (12)设函数 f′(x)是奇函数 f(x) (x∈R)的导函数,f(—1)=0,当 x>0 时,xf′(x)—f(x)<0,则使 得 f (x) >0 成立的 x 的取值范围是 (A)(-∞,-1)∪(0,1) (B) )(-1,0)∪(1,+∞) (C)(-∞,-1)∪(-1,0) (D)(0,1)∪(1,+∞) 二、填空题 (13)设向量a,b 不平行,向量λ a + b 与a + 2b平行,则实数λ = x ? y + 1 ≥ 0, (14)若 x,y 满足约束条件 x ? 2y ≤ 0, ,则 z=x+y 的最大值为____________. x + 2y ? 2 ≤ 0, (15)(a+x)(1+x)4 的展开式中 x 的奇数次幂项的系数之和为 32,则 α=__________. (16)设 Sn 是数列{an}的前 n 项和,且 α1=-1,αn+1=SnSn+1,则 Sn=___________________________. 三.解答题 (17)?ABC 中,D 是 BC 上的点,AD 平分∠ BAC,?ABD 是?ADC 面积的 2 倍。 (Ⅰ )求
sin ∠B sin ∠C

.



(Ⅱ )若 AD =1,DC =

2 ,求 BD 和 AC 的长。 2

(18)某公司为了解用户对其产品的满意度,从 A,B 两地区分别随机调查了 20 个用户,得到用户对产品的 满意度评分如下: A 地区:62 73 81 92 95 85 74 64 53 76 78 86 95 66 97 78 88 82 76 89 B 地区:73 83 62 51 91 46 53 73 64 82 93 48 65 81 74 56 54 76 65 79
2

(Ⅰ )根据两组数据完成两地区用户满意度评分的茎叶图,并通过茎叶图比较两地区满意度评分的平均值 及分散程度(不要求计算出具体值,得出结论即可) ; (Ⅱ )根据用户满意度评分,将用户的满意度从低到高分为三个不等级: 满意度评分 满意度等级 低于 70 分 不满意 70 分到 89 分 满意 不低于 90 分 非常满意

记时间 C:“A 地区用户的满意度等级高于 B 地区用户的满意度等级”。假设两地区用户的评价结果相互独 立。根据所给数据,以事件发生的频率作为相应事件发生的概率,求 C 的概率。 19.如图,长方体 ABCD-A1B1C1D1 中 AB=16,BC=10,AA1=8, 点 E,F 分别在 A1B1,D1C1 上,A1E=D1F。过 E,F 的平面 a 与此长 方体的面相交,交线围成一个正方形。 (Ⅰ )在图中画出这个正方形(不必说出画法和理由)

D1 F E D B1

C1 C B

A1

A

(Ⅱ)求直线 AF 与平面 a 所成角的正弦值。

20. 已知椭圆 C:9x 2 + y 2 = m2 (m > 0),直线 l 不过原点 O 且不平行于坐标轴,l 与 C 有两个交点 A, B,线段 AB 的中点为 M. (Ⅰ )证明:直线 OM 的斜率与 l 的斜率的乘积为定值; (Ⅱ )若 l 过点(
m 3

,m),延长线段 OM 与 C 交于点 P,四边形 OAPB 能否形成平行四边形?若能,求

此时 l 的斜率,若不能,说明理由. 21.设函数 f(x)=emx+x2-mx. (Ⅰ )证明:f(x)在(-∞,0)单调递减,在(0,+∞)单调递增; (Ⅱ )若对于任意 x 1, x2∈ [-1,1],都有|f(x1)- f(x2)|≤e-1,求 m 的取值范围 请考生在 22、23、24 题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分,作答时请写清题号。 A 22 (本小题满分 10 分)选修 4—1:几何证明选讲 如图,O 为等腰三角形 ABC 内一点,圆 O 与 ABC 的底边 BC 交于 M、N 两 G 点与底边上的高 AD 交于点 G,且与 AB、AC 分别相切于 E、F 两点. E F (1)证明:EF 平行于 BC (2) 若 AG 等于圆 O 的半径,且 AE=MN= ,求四边形 EBCF 的面积。
B M D N C

(23) (本小题满分 10 分)选修 4-4:坐标系与参数方程 (23)在直角坐标系 xOy 中,曲线C1 x = tcosα, y = tsinα, : t 为参数,t ≠ 0 ,其中 0 ≤ α < .,在以 O 为极点,x

轴正半轴为极轴的极坐标系中,曲线 (1).求 (2).若 与 与 交点的直角坐标 相交于点 A, 与

,曲线



.

相交于点 B,求

的最大值

(24) (本小题满分 10 分)选修 4-5 不等式选讲 设 a、b、c、d 均为正数,且 a+b=c+d,证明: (Ⅰ)若ab > ,则 a + b > c + d; (Ⅱ) a + b > c + d是 a ? b < c ? d 的充要条件。
3


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