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2016高考数学二轮复习微专题强化练习题:28几何证明选讲


第一部分



28

一、填空题 1.(文)如图,在△ABC 中,∠A=60° ,∠ACB=70° ,CF 是△ABC 的边 AB 上的高, FP⊥BC 于点 P,FQ⊥AC 于点 Q,则∠CQP 的大小为________.

[答案] 50° [解析] 由 PF⊥BC,FQ⊥AC,得 C、Q、F

、P 四点共圆,所以∠CQP=∠CFP=∠B =180° -(∠A+∠C)=180° -(60° +70° )=50° . (理)

如图,已知 PA 是圆 O 的切线,切点为 A,PO 交圆 O 于 B、C 两点,AC= 3,∠PAB =30° ,则线段 PB 的长为________. [答案] 1 [解析] 因为 PA 是圆 O 的切线, ∠PAB=30° , 由弦切角定理可得∠ACB=∠PAB=30° , 1 而∠CAB=90° ,∠ABC=60° ,所以 AB= BC,又因为 AC= 3,所以 AB=1,BC=2,∠ 2 PBA=120° ,所以∠APB=∠PAB=30° ,∴PB=AB=1. 2.(文)如图,已知圆中两条弦 AB 与 CD 相交于点 F,E 是 AB 延长线上一点,且 DF= CF= 2,AF?FB?BE=4?2?1.若 CE 与圆相切,则线段 CE 的长为________.

[答案]

7 2

[解析] 设 BE=a, 则 AF=4a, FB=2a, 根据相交弦定理: DF· FC=AF· FB, 则 2=8a2,

1 ∴a2= ,由切割线定理:EC2=BE· AE=7a2, 4 7 7 ∴EC2= ,∴EC= . 4 2 (理)(2014· 湖南理,12)如图,已知 AB、BC 是⊙O 的两条弦,AO⊥BC,AB= 3,BC =2 2,则⊙O 的半径等于________.

[答案]

3 2

[解析] 本题考查勾股定理、相交弦定理. 设线段 AO 交 BC 于点 D, 延长 AO 交圆于另外一点 E, 则 BD=DC= 2, 在三角形 ABD 中由勾股定理可得 AD=1,由相交弦定理可得 BD· DC=AD· DE,∴DE=2,则直径 AE=3 3 3 ?r= ,故填 . 2 2 3.(2015· 湖北理,15)如图,PA 是圆的切线,A 为切点,PBC 是圆的割线,且 BC=3PB, 则 AB =________. AC

[答案]

1 2

[解析] 设 PB=a,则 BC=3a,由 PA2=PB· PC 可得 PA=2a;又因为△PAB ∽△PCA, 所以由 PA AB AB 1 = 可解得 = . PC CA AC 2

1 故本题正确答案为 . 2 4.(文)如图,AB 为圆 O 的直径,PA 为圆 O 的切线,PB 与圆 O 相交于 D,若 PA=3, PD?DB=9?16,则 PD=________,AB=________.

[答案]

9 ,4 5

[解析] 由于 PD?DB=9?16, 设 PD=9a, 则 DB=16a, 根据切割线定理有 PA2=PD· PB 1 9 有 a= ,所以 PD= ,在直角△PBA 中,AB2=PB2-AP2=16,所以 AB=4. 5 5 (理) (2015· 重庆理,14)如图,圆 O 的弦 AB,CD 相交于点 E,过点 A 作圆 O 的切线与 DC 的延长线交于点 P,若 PA=6,AE=9,PC=3,CE?ED=2?1,则 BE=________.

[答案] 2 [解析] 此题主要考查切割线定理,属于简单题型. 由切割线定理知 PA2=PC· PD, 易得 PD=12, 故 CD=PD-PC=9, 因为 CE?ED=2?1, 故 CE=6,ED=3.由相交弦定理可得 AE· EB=CE· ED,又因为 AE=9,CE=6,ED=3,易 得 EB=2. 5.(文)(2015· 广东理,15)如图,已知 AB 是圆 O 的直径,AB=4,EC 是圆 O 的切线, 切点为 C, BC=1.过圆心 O 作 BC 的平行线, 分别交 EC 和 AC 于点 D 和点 P, 则 OD=________.

[答案] 8 [解析] 本题考查直线与圆、直角三角形的射影定理,属于中档题. 如下图所示,连接 OC,因为 OD∥BC,又 BC⊥AC,所以 OP⊥AC,又 O 为 AB 线段 1 1 1 的中点,所以 OP= BC= ,在 Rt△OCD 中,OC= AB=2,由直角三角形的射影定理可得 2 2 2 OC2 22 OC2=OP· OD,所以 OD= = =8. OP 1 2

1 (理)在平行四边形 ABCD 中,点 E 在线段 AB 上,且 AE= EB,连接 DE、AC,若 AC 2 与 DE 相交于点 F,△AEF 的面积为 1cm2,则△AFD 的面积为________cm2.

[答案] 3 [解析] ∵AB∥CD,∴△AEF∽△CDF, ∴ S△AFD DF DF DC = =3, = =3,S△AFD=3S△AFE=3cm2. FE AE S△AFE FE

6.(文)如图,△ABC 为圆的内接三角形,BD 为圆的弦,且 BD∥AC.过点 A 作圆的切 线与 DB 的延长线交于点 E,AD 与 BC 交于点 F.若 AB=AC,AE=6,BD=5,则线段 CF 的长为________.

[答案]

8 3

[解析] 如图所示:

∵AE 为圆的切线,∴AE2=BE· ED, 设 BE=x,∴36=x(5+x), x2+5x-36=0,∴x=4. ∵AB=AC,∴∠ACB=∠ABC, 又∠EAB=∠ACB,∴∠EAB=∠ABC,∴AE∥BC, 又 EB∥AC,∴四边形 BCAE 为平行四边形, ∴BC=AE=6,AC=BE=4, ∵△DFB∽△AFC, ∴ BD BF 5 6-FC 8 = ,∴ = ,∴FC= . AC FC 4 FC 3

(理)如图,在△ABC 中,∠ACB=90° ,∠BAC=60° ,过 C 作△ABC 的外接圆的切线 CD,BD⊥CD 于 D,BD 与外接圆交于点 E,已知 DE=5,则△ABC 的外接圆的半径为

________.

[答案] 10 [解析] 利用切割线定理和正弦定理求解.因为 CD 是圆的切线,所以∠BCD=∠BAC =60° ,所以 DB= 3DC.又由切割线定理可得 DC2=DE×DB=5 3DC,则 DC=5 3,所 BC 10 3 以 BC=2DC=10 3.在直角三角形 ABC 中,由正弦定理可得 2R=AB= = =20,所 sinA 3 2 以△ABC 的外接圆的半径 R=10. 二、解答题 7. (2015· 辽宁葫芦岛市一模)如图,P 是⊙O 外一点,PA 是切线,A 为切点,割线 PBC 与⊙O 相交于点 B,C,PC=2PA,D 为 PC 的中点,AD 的延长线交⊙O 于点 E,证明:

(1)BE=EC; (2)AD· DE=2PB2. [证明] (1)连接 AB,AC.由题设知 PA=PD,

故∠PAD=∠PDA. 因为∠PDA=∠DAC+∠DCA, ∠PAD=∠BAD+∠PAB,∠DCA=∠PAB, 所以∠DAC=∠BAD,因此 BE=EC. (2)由切割线定理得 PA2=PB· PC. 因为 PA=PD=DC,所以 PD2=(PD-BD)· 2PD,∴PD=2BD,∴DC=2PB,BD=PB. 由相交弦定理得 AD· DE=BD· DC, 所以 AD· DE=2PB2.

8.(文)(2014· 沈阳市质检)如图,△ABC 内接于圆 O,AD 平分∠BAC 交圆 O 于点 D, 过点 B 作圆 O 的切线交直线 AD 于点 E. (1)求证:∠EBD=∠CBD; (2)求证:AB· BE=AE· DC.

[解析] (1)∵BE 为圆 O 的切线, ∴∠EBD=∠BAD,

又∵AD 平分∠BAC,∴∠BAD=∠CAD, ∴∠EBD=∠CAD. 又∵∠CBD=∠CAD,∴∠EBD=∠CBD. (2)在△EBD 和△EAB 中,∠E=∠E,∠EBD=∠EAB, BE BD ∴△EBD∽△EAB,∴ = , AE AB ∴AB· BE=AE· BD, 又∵AD 平分∠BAC,∴BD=DC, 故 AB· BE=AE· DC. (理)(2014· 唐山市二模)如图, E 是圆 O 内两弦 AB 和 CD 的交点, 过 AD 延长线上一点 F 作圆 O 的切线 FG,G 为切点,已知 EF=FG.求证:

(1)△DEF∽△EAF; (2)EF∥CB. [分析] (1)欲证△DEF∽△EAF,可证两个三角形有两内角对应相等,亦可证两个三角 形有两边对应成比例,夹角对应相等,由已知条件,FG、FA 分别是圆的切线、割线及 EF =FG 可知两个三角形有两条边对应成比例,关键是其夹角相等,而夹角是公共角,第一问

获证. (2)欲证 EF∥CB,由圆想到可证角相等(同位角、内错角),注意利用圆的有关角的性质 和(1)的结论. [解析] (1)由切割线定理得 FG2=FA· FD. EF FD 又 EF=FG,所以 EF2=FA· FD,即 = . FA EF 因为∠EFA=∠DFE,所以△DEF∽△EAF.

(2)由(1)得∠FED=∠FAE. 因为∠FAE=∠DAB=∠DCB, 所以∠FED=∠BCD,所以 EF∥CB. 9. (文) (2015· 洛阳市质量监测)如图, AB 是⊙O 的切线, B 为切点, ADE 是⊙O 的割线, C 是⊙O 外一点,且 AB=AC,连接 BD,BE,CD,CE,CD 交⊙O 于 F,CE 交⊙O 于 G.

(1)求证:BE· CD=BD· CE; (2)求证:FG∥AC. [证明] (1)由已知得∠ABD=∠AEB,而∠BAD=∠EAB, ∴△ABD∽△AEB, BD AB AD 所以 = = ,又 AB=AC, BE AE AB 所以 BD· AE=AB· BE, 且 ①

AC AD = ,又∠CAD=∠EAC,∴△ADC∽△ACE, AE AC ②

DC AC 所以 = ,即 DC· AE=AC· CE. CE AE 由①②两式相除可得 BE· CD=BD· CE.

(2)由△ADC∽△ACE 得,∠ACD=∠AEC, 又 D,F,G,E 四点共圆,∴∠GFC=∠AEC,

因此∠GFC=∠ACD,所以 FG∥AC. (理)(2015· 河南八市质量监测)已知 BC 为圆 O 的直径,点 A 为圆周上一点,AD⊥BC 于 点 D,过点 A 作圆 O 的切线交 BC 的延长线于点 P,过点 B 作 BE 垂直 PA 的延长线于点 E. 求证:

(1)PA· PD=PE· PC; (2)AD=AE. [证明] (1)因为 AD⊥BP,BE⊥AP,所以△APD∽△BPE, AP PD 所以 = ,所以 AP· PE=PD· PB, BP PE 又因为 PA,PB 分别为圆 O 的切线和割线, AP PC 所以 PA2=PB· PC,所以 = , PE PD 所以 PA· PD=PE· PC. (2)连接 AC,DE,因为 BC 为圆 O 的直径,所以∠BAC=90° ,

AP PC 即 AB⊥AC,因为 = ,所以 AC∥DE, PE PD 所以 AB⊥DE,又因为 BE⊥AP,AD⊥PB, 所以 A,D,B,E 四点共圆且 AB 为直径, 又因为 AB⊥DE,所以 AD=AE. 10.圆的两条弦 AB、CD 交于点 F,从 F 点引 BC 的平行线和直线 DA 的延长线交于点 P,再从点 P 引这个圆的切线,切点是 Q.求证:PF=PQ.

[分析] 要证 PF=PQ,因为 PQ 为圆的切线,∴PQ2=PA· PD,故只须证 PF2=PA· PD, 观察图形及条件可以发现,PF 与 PA 在△APF 中,PF 与 PD 在△EPD 中,若能证得这两个

三角形相似,则问题获解,由于两个三角形有公共角∠APF,只须再找一角相等即可.由圆 的几何性质不难证得∠AFP=∠ADF,故△APF∽△FPD. [证明] 因为 A、B、C、D 四点共圆, 所以∠ADF=∠ABC. 因为 PF∥BC,所以∠AFP=∠ABC,所以∠AFP=∠ADF. 又因为∠APF=∠FPD, PF PD 所以△APF∽△FPD,所以 = ,所以 PF2=PA· PD. PA PF 因为 PQ 与圆相切,所以 PQ2=PA· PD. 所以 PF2=PQ2,所以 PF=PQ. 11.(文)如图,CD 为△ABC 外接圆的切线,AB 的延长线交直线 CD 于点 D,E、F 分 别为弦 AB 与弦 AC 上的点,且 BC· AE=DC· AF,B、E、F、C 四点共圆.

(1)证明:CA 是△ABC 外接圆的直径; (2)若 DB=BE=EA,求过 B、E、F、C 四点的圆的面积与△ABC 外接圆面积的比值. [解析] (1)因为 CD 为△ABC 外接圆的切线, 所以∠DCB=∠A, BC DC 由题设知 = , FA EA 故△CDB∽△AEF,所以∠DBC=∠EFA. 因为 B、E、F、C 四点共圆,所以∠CFE=∠DBC, 故∠EFA=∠CFE=90° , 所以∠CBA=90° ,因此 CA 是△ABC 外接圆的直径. (2)连接 CE,因为∠CBE=90° ,所以过 B、E、F、C 四点的圆的直径为 CE, 由 DB=BE,有 CE=DC, 又 BC2=DB· BA=2DB2,

所以 CA2=4DB2+BC2=6DB2.

而 CE2=DC2=DB· DA=3DB2, 1 故过 B、E、F、C 四点的圆的面积与△ABC 外接圆面积的比值为 . 2 (理)(2014· 唐山市一模)如图,AE 是圆 O 的切线,A 是切点,AD⊥OE 于 D,割线 EC 交 圆 O 于 B、C 两点. (1)证明:O、D、B、C 四点共圆; (2)设∠DBC=50° ,∠OBC=30° ,求∠OEC 的大小.

[分析] (1)由 EA、 EC 分别为切线和割线, 可利用切割线定理, 由 EA 为切线, AD⊥EO, 在 Rt△EOA 中可利用射影定理,这样可得到边的比例关系式. 要证 O、D、B、C 四点共圆,只需证明对角互补或外角等于内对角,结合条件与结论 可考虑证明三角形相似,即△BDE∽△OCE. (2)给出∠DBC 与∠OBC 的大小,欲求∠OEC 的大小,由外角定理∠OEC=∠DBC-∠ BDE,由 OB=OC 知∠OBC=∠OCB,沟通两者的桥梁是(1)的结论,∠BDE=∠OCB,于 是获解. [解析] (1)连接 OA、OC,则 OA⊥EA.由射影定理得 EA2=ED· EO. 由切割线定理得 EA2=EB· EC, ED EC 故 ED· EO=EB· EC,即 = , EB EO

又∠OEC=∠OEC,所以△BDE∽△OCE, 所以∠EDB=∠OCE. 因此 O,D,B,C 四点共圆. (2)因为∠OEC+∠OCB+∠COE=180° ,结合(1)得 ∠OEC=180° -∠OCB-∠COE=180° -∠OBC-∠DBE =180° -∠OBC-(180° -∠DBC)=∠DBC-∠OBC=20° . 12.(文) (2015· 江西质量监测)如图,D,E 分别为△ABC 的边 AB,AC 上的点,且不与 △ABC 的顶点重合.已知 AD· AB=AE· AC.

(1)求证:B,C,D,E 四点共圆; (2)若三角形 ABC 是边长为 3 的正三角形,且 AD=1,求 B,C,D,E 四点所在圆的半 径. AD AE [解析] (1)因为 AD· AB=AE· AG,所以 = , AC AB 所以△ADE∽△ACB, 所以∠ADE=∠ACB,又∠ADE+∠BDE=180° , 所以∠ACB+∠BDE=180° , 所以 B,C,D,E 四点共圆. (2)依题意:BCED 是等腰梯形,且高为 3,设 B,C,D,E 四点所在圆的半径为 r, 则 1 r2- + 4 9 r2- = 3, 4

解得 r=

21 21 ,∴B,C,D,E 四点所在圆的半径为 . 3 3

(理)(2015· 唐山市一模)如图, 圆周角∠BAC 的平分线与圆交于点 D, 过点 D 的切线与弦 AC 的延长线交于点 E,AD 交 BC 于点 F.

(1)求证:BC∥DE; (2)若 D,E,C,F 四点共圆,且 AC = BC ,求∠BAC. [解析] (1)证明: 因为∠EDC=∠DAC, ∠DAC=∠DAB, ∠DAB =∠DCB, 所以∠EDC=∠DCB, 所以 BC∥DE. (2)解:因为 D,E,C,F 四点共圆,所以∠CFA=∠CED,由(1) 知∠ACF=∠CED,所以∠CFA=∠ACF.设∠DAC=∠DAB=x, 因为 AC = BC ,所以∠CBA=∠BAC=2x, 所以∠CFA=∠FBA+∠FAB=3x,

π 2π 在等腰△ACF 中,π=∠CFA+∠ACF+∠CAF=7x,则 x= ,所以∠BAC=2x= . 7 7 [方法点拨] 这一部分主要命题方式是将圆的有关角、比例线段或圆内接四边形和三角 形相似结合,求角,求线段长等,注意依据条件和结论选择思维方向,如:①给出切线时, 常作辅助线是作过切点的半径,考虑方向是切割线定理,直角三角形射影定理、弦切角与圆 周角的互化等;②给出平行线时,主要考虑角的关系及三角形相似;③有关圆的问题,求线 段长时,常考虑相交弦定理、切割线定理、射影定理、垂径定理;④证明比例线段,主要通 过三角形相似.


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