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高三数学总复习:专题一第4讲不等式(2)


2014-2015 学年度第二学期教学案例
年 级:ZX-12 编写时间:2015-03-11 主 备 人: 学 科:SX 编 号:NO:011 复备人:
复备栏 教学内容:不等式(2) 教学目标: 掌握不等式解法;基本不等式;线性规划;不等式的实际应用。 教学重点: 一元二次不等式的解法、基本不等式及线性规划问题。 教学难点: 不等式成立问题. 教学过程:

一、基础训练: 1.若 A={x|x2+(p+2)x+1=0,x∈R},B={x|x>0},且 A∩B=?,则实数 p 的取值 范围是________. 解析 当 A=?时,Δ=(p+2)2-4<0,∴-4<p<0. 当 A≠?时,方程 x2+(p+2)x+1=0 有一个或两个非正根, ? ?Δ≥0, ∴? ∴p≥0.综上所述,p>-4. ?x1+x2=-?p+2?≤0, ? 2.已知函数 f(x)=x2-2x+3 在闭区间上的最大值为 3,最小值为 2,则 m 的取值范 围为________. 解析 ∵f(x)=(x-1)2+2, 其对称轴为 x=1, 当 x=1 时, f(x)min=2, 故 m≥1, 又∵f(0) =3,f(2)=3,∴m≤2.综上可知 1≤m≤2. 3 3.方程 x2- x-m=0 在 x∈上有实根,则 m 的取值范围是________. 2 3 3 9 x- ?2- ,x∈. 解析 m=x2- x=? 2 ? 4? 16 5 3 9 9 5 当 x=-1 时,m 取最大值为 ,当 x= 时,m 取最小值为- ,∴- ≤m≤ . 2 4 16 16 2 ?x+1,x≤0, ? 4.已知函数 f(x)=? 2 若关于 x 的方程 f2(x)- ?x -2x+1,x>0, ? af(x)=0 恰有 5 个不同的实数解,则 a 的取值范围是________. 解析 设 t=f(x),则方程为 t2-at=0,解得 t=0 或 t=a, 即 f(x)=0 或 f(x)=a.如图,作出函数 f(x)的图象, 由函数图象,可知 f(x)=0 的解有两个,
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故要使方程 f2(x)-af(x)=0 恰有 5 个不同的解, 则方程 f(x)=a 的解必有三个,此时 0<a<1.所以 a 的取值范围是(0,1). 二、例题教学: 例 1 (2014· 武汉模拟 ) 直 线 2x + y - 10 = 0 与不等式 组 x≥0, ? ?y≥0, ?x-y≥-2, ? ?4x+3y ≤20

表示的平面区域的公共点有________个.

由不等式组画出平面区域如图(阴影部分). 4 直线 2x+y-10=0 恰过点 A(5,0), 且斜率 k=-2<kAB=- , 3 即直线 2x+y-10=0 与平面区域仅有一个公共点 A(5,0). 二元一次不等式(组)表示平面区域的判断方法:直线定 界,测试点定域.不等式中不等号有无等号,无等号时直线画成虚线,有等号时直线 画成实线. 测试点可以选一个, 也可以选多个, 若直线不过原点, 测试点常选取原点. 变式训练: x-y≥0, ? ? (2014· 北京模拟)若满足条件?x+y-2≤0, ? ?y≥a, 的整点(x, y)恰有 9 个, 其中整点是

指横、纵坐标都是整数的点,则整数 a 的值为______. 解析:不等式组所表示的平面区域如图中阴影部分,当 a=0 时,只有 4 个整点(1,1),(0,0),(1,0),(2,0);当 a=-1 时,正好增加(-1,-1),(0,-1),(1,-1),(2,-1), (3,-1)5 个整点.故所求整数 a 的值为-1. 例 2 (2014· 苏北三校市模拟)为了响应国家号召,某地 决定分批建设保障性住房供给社会. 首批计划用 100 万元购 得一块土地,该土地可以建造每层 1 000 平方米的楼房,楼房的每平方米建筑费用与 建筑高度有关,楼房每升高一层,整层楼每平方米建筑费用提高 20 元.已知建筑第 5 层楼房时,每平方米建筑费用为 800 元. (1)若建筑第 x 层楼时,该楼房综合费用为 y 万元(综合费用是建筑费用与购地费 用之和),写出 y=f(x)的表达式; (2)为了使该楼房每平方米的平均综合费用最低,应把楼层建成几层?此时平均 综合费用为每平方米多少元? (1)由题意知建筑第 1 层楼房每平方米建筑费用为 720 元, 建筑第 1 层楼房建筑费用为 720×1 000=720 000(元)=72 (万元), 楼房每升高一层,整层楼建筑费用提高 20×1 000=20 000(元)=2(万元), 建筑第 x 层楼房的建筑费用为 72+(x-1)×2=2x+70(万元), 建筑第 x 层楼房时,该楼房综合费用为 x?x-1? y=f(x)=72x+ ×2+100=x2+71x+100, 2 综上可知 y=f(x)=x2+71x+100(x≥1,x∈Z). f?x?×10 000 10f?x? (2)设该楼房每平方米的平均综合费用为 g(x),则 g(x)= = = 1 000x x

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10?x2+71x+100? 1 000 1 000 =10x+ +710≥2 10x· +710=910. x x x 1 000 当且仅当 10x= ,即 x=10 时等号成立. x 综上可知应把楼层建成 10 层,此时平均综合费用最低,为每平方米 910 元. 江苏高考实际应用题的背景一般是人们关心的社会热点问题,如“物价、销 售、税收、原材料”等,题目往往较长,解题时需认真阅读,从中提炼出有用信息, 建立数学模型,转化为数学问题求解.当运用基本不等式求最值时,若等号成立的自 变量不在定义域内时,就不能使用基本不等式求解,此时可根据变量的范围用对应函 数的单调性求解. 变式训练: 如图,GH 是东西方向的公路北侧的边缘线,某公司准备在 GH 上的一点 B 的正 北方向的 A 处建一仓库, 设 AB=y km, 并在公路同侧建造边长为 x km 的正方形无顶 中转站 CDEF(其中边 EF 在 GH 上), 现从仓库 A 向 GH 和中转站分别修两条道路 AB, AC,已知 AB=AC+1,且∠ABC=60° . (1)求 y 关于 x 的函数解析式; (2)如果中转站四周围墙造价为 1 万元/km,两条道路造 价为 3 万元/km,问:x 取何值时,该公司建中转站围墙和 两条道路总造价 M 最低? 解:(1)∵AB=y,AB=AC+1,∴AC=y-1. 在直角三角形 BCF 中,∵CF=x,∠ABC=60° , 1 ∴∠CBF=30° ,BC=2x.由于 2x+y-1 >y,得 x> . 2 2 2 2 在△ABC 中,∵AC =AB +BC -2AB· BCcos 60° ,∴(y-1)2=y2+4x2-2xy. 2 4x -1 1 则 y= .由 y > 0,及 x> ,得 x > 1. 2 2?x-1? 4x2-1 即 y 关于 x 的函数解析式为 y= (x > 1). 2?x-1? 12x2-3 (2)M=3(2y-1)+4x= -3+4x. x-1 12?t+1?2-3 9 令 x-1=t,则 M= -3+4(t+1)=16t+ +25≥49, t t 3 7 15 在 t= ,即 x= ,y= 时,总造价 M 最低. 4 4 2 7 所以 x= 时,该公司建中转站围墙和两条道路总造价 M 最低. 4 巩固练习: 1.(2013· 重庆改编)若 a<b<c,则函数 f(x)=(x-a)(x-b)+(x-b)(x-c)+(x-c)(x-a) 的两个零点分别位于下列哪个区间________.(填序号) ①(a,b)和(b,c)内②(-∞,a)和(a,b)内 ③(b,c)和(c,+∞)内④(-∞,a)和(c,+∞)内 解析 由于 a<b<c,所以 f(a)=0+(a-b)(a-c)+0>0,f(b)=(b-c)(b-a)<0,f(c)=(c -a)(c-b)>0.因此有 f(a)· f(b)<0,f(b)· f(c)<0, 又因 f(x)是关于 x 的二次函数,函数的图象是连续不断的曲线, 因此函数 f(x)的两零点分别位于区间(a,b)和(b,c)内.
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2.已知函数 f(x)=x3+ax2+bx+c 有两个极值点 x1,x2.若 f(x1)=x1<x2,则关于 x 的方 程 3(f(x))2+2af(x)+b=0 的不同实根的个数为________. 解析 因为函数 f(x)=x3+ax2+bx+c 有两个极值点 x1,x2,可知关于导函数的方程 f′(x)=3x2+2ax+b=0 有两个不等的实根 x1,x2.则方程 3(f(x))2+2af(x)+b=0 的根 的个数就是方程 f(x)=x1 和 f(x)=x2 的不等实根的个数之和, 再结合图象可看出函数 y =f(x)的图象与直线 y=x1 和直线 y=x2 共有 3 个不同的交点,故所求方程有 3 个不同 的实根. 3.若关于 x 的不等式(2x-1)2<ax2 的解集中整数恰好有 3 个,则实数 a 的取值范围是 __________. 解析 因为不等式等价于(-a+4)x2-4x+1<0,其中(-a+4)x2-4x+1=0 中的 Δ= 1 1 1 1 1 4a>0,且有 4-a>0,故 0<a<4,不等式的解集为 <x< , < < ,则 2+ a 2- a 4 2+ a 2 25 49? 1 一定有{1,2,3}为所求的整数解集.所以 3< ≤4,解得 a 的范围为? ? 9 ,16?. 2- a 4.已知函数 f(x)=x2-2ax+2,当 x∈.

课后反思:

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