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吉林省毓文中学2015-2016学年高二数学上学期期中试题(新)


2015-2016 高二上学期期中考试 数学试题
一.选择题(每题 5 分,共 60 分) 1.设 a<b<0,下列不等式一定成立的是( A.a <ab<b
2 2


2 2

B.b <ab<a

2

2

C.a <b <ab

r />D.ab<b <a

2

2

2.“直线与平面 α 内无数条直线垂直”是“直线与平面 α 垂直”的( A.充分不必要条件

)

B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分又不必要条件

3.等比数列{an}中,a2,a6 是方程 x -34x+64=0 的两根,则 a4 等于( A.8 D.以上都不对 4.若{an}是等比数列,其公比是 q,且-a5,a4,a6 成等差数列,则 q 等于( A.1 或 2 D.-1 或-2 5 .若两个等差数列 {an} 和 {bn} 的前 n 项和分别是 Sn 、 Tn ,已知 = ( ) A.7 D. 21 4 2 B. 3 C. 27 8 B.1 或-2 C.-1 或 2 B.-8 C.±8

2

)

)

Sn Tn

7n a5 ,则 等于 n+3 b5

6.已知等差数列{an}中,Sn 是它的前 n 项和.若 S16>0,且 S17<0,则当 Sn 最大时 n 的值 为( A .8 D.16 7.已知数列{an}中,a1=3,a2=6,an+2=an+1-an,则 a2009=( A.6 D.-3 8.在下列各函数中,最小值等于 2 的函数是( )
1

) B .9 C.10

) . 3

B.-6 C

1 A.y= x+ C.y=

x

B.y=cos x+

1 π (0<x< ) cos x 2

x2+3 x2+2

4 x D.y=e + x-2 e

x+2y-5≤0, ? ?2x+y-4≤0, 9.若实数 x,y 满足条件? x≥0, ? ?y≥1,
A . zmax = D.zmin=0 5 2

目标函数 z=2x-y,则(

)

B . zmax = - 1

C . zmax = 2

10.若正数 a,b 满足 ab-(a+b)=1,则 a+b 的最小值为( A.2+2 2 D. 5-2 1 1 11.若 lgx+lgy=2,则 + 的最小值为( B.2 2-2

) C. 5 + 2

x y
1 B. 5

) 1 C. 2 D.2

A.

1 20

12.a1,a2,a3,a4 是各项不为零的等差数列且公差 d≠0,若将此数列删去某一项得到 的数列(按原来的顺序)是等比数列,则 的值为( A .- 4 或 1 D.4 或-1 二.填空题(每题 5 分,共 20 分) 13.若 A=( x+3)(x+7),B=(x+4)(x+6),则 A、B 的大小关系为________. 14.命题:若 a>0,则二元一次不等式 x+ay-1≥0 表示直线 x+ay-1=0 的右上方区 域(包含边界)是________命题(“真”或“假”). 15.不等式(m+1)x +(m -2m-3)x-m+3>0 恒成立,则 m 的取值范围是__________. 16.已知等比数列{an}为递增数列,若 a1>0,且 2(an+an+2)=5an+1,则数 列{an}的公比
2 2

a1 d

) C .4

B.1

q=________.
三.解答题(6 道题共 70 分)
2

17.(10 分)记等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,设 S3=12,且 2a1,a2,a3+1 成等比数 列,求 Sn.

18.(12 分)解关于 x 的不等式 56x +ax-a <0.

2

2

19.(12 分)若不等式(1-a)x -4x+6>0 的解集是{x|-3<x<1}. (1)解不等式 2x +(2-a)x-a>0; (2)b 为何值时,ax +bx+3≥0 的解集为 R.
2 2

2

20.(12 分) 设数列{an}的前 n 项和为 Sn,若对于任意的正整数 n 都有 Sn=2an-3n. (1)设 bn=an+3,求证:数列{bn}是等比数列,并求出{an}的通项公式;
3

(2)求数列{nan}的前 n 项和.

21.(12 分) 已知正项数列{an}的前 n 项和为 Sn,且 an 和 Sn 满足:4Sn=(an+1) (n= 1,2,3??), (1)求{an}的通项公式; (2)设 bn= 1 ,求{bn}的前 n 项和 Tn; an·an+1
*

2

(3)在(2)的条件下,对任意 n∈N ,Tn> 都成立,求整数 m 的最大值. 23

m

22.(12 分)如图所示, 将一矩形花坛 ABCD 扩建成一个更大的矩形花坛 AMPN,要求 B 点 在 AM 上,D 点在 AN 上,且对角线 MN 过 C 点,已知 AB=3 米,AD=2 米. (1)要使矩形 AMPN 的面积大于 32 平方米,则 DN 的长应在什么范围内? (2)当 DN 的长为多少时,矩形花坛 AMPN 的面积最小?并求出最小值.

4

2015-2016 高二上学期期中考试数学试题答案 一:选择题 1-5:BBACD 二:填空题 13:A<B 三:解答题 17.解:设数列{an}的公差为 d,
? ?2a1?a3+1?=a2, 依题设有? ?a1+a2+a3=12, ?
2

6-10:ABDCA

11-12 :BA

14:真

15.[-1,1)∪(1,3)

16.2

即?

?a1+2a1d-d +2a1=0, ? ? ?a1+d=4. ? ?a1=1, ?d=3 ?

2

2

解得?

或?

? ?a1=8, ?d=-4. ?

1 因此 Sn= n(3n-1)或 Sn=2n(5-n). 2 18.解:原不等式可化为(7x+a)(8x-a)<0, 即?x+ ??x- ?<0. ? 7?? 8? ①当- < ,即 a>0 时,- <x< ; 7 8 7 8 ②当- = ,即 a=0 时,原不等式解集为?; 7 8 ③当- > ,即 a<0 时, <x<- . 7 8 8 7 综上知,当 a>0 时,原不等式的解集为?x|- <x< ?; 7 8? ? 当 a=0 时,原不等 式的解集为?; 当 a<0 时,原不等式的解集为?x| <x<- ?. 7? ? 8
? ?

?

a??

a?

a a

a

a

a a a a

a

a

a

a?

a

a?

19.解:(1)由题意知 1-a<0 且-3 和 1 是方程(1-a)x -4x+6=0 的两根,
5

2

? 4 ? =-2 ∴?1-a 6 ? ?1-a=-3
1-a<0
2

,解得 a=3.

∴不等式 2x +(2-a)x -a>0 3 2 即为 2x -x-3>0,解得 x<-1 或 x> . 2
? 3? ∴所求不等式的解集为?x|x<-1或x> ?. 2? ?

(2 )ax +bx+3≥0,即为 3x +bx+3≥0, 若此不等式解集为 R,则 b -4×3×3≤0,∴-6≤b≤6. 20.解:(1)∵Sn=2an-3n 对于任意的正整数都成立, ∴Sn+1=2an+1-3(n+1), 两式相减,得 Sn+1-Sn=2an+1-3(n+1)-2an+3n ∴an+1=2an+1-2an-3,即 an+1=2an+3, ∴an+1+3=2(an+3),即
2

2

2

bn+1 an+1+3 = =2 对一切正整数都成立. bn an+3

∴数列{bn}是等比数列.由已知得 S1=2a1-3, 即 a1=2a1-3,∴a1=3, ∴首项 b1=a1+3=6,公比 q=2, ∴bn=6·2 ∴an=6·2
n-1

. -3=3·2 -3.
n n

n-1

(2)∵nan=3×n·2 -3n, ∴Sn=3(1·2+2·2 +3·2 +?+n·2 )-3(1+2+3+?+n) 2Sn=3(1·2 +2·2 +3·2 +?+n·2 -Sn=3(2+2 +2 +?+2 )-3n·2
n
2 3 2 3 4 2 3

n

n +1

)-6(1+2+3+?+n),

n

n+1

+3(1+2+3+?+n)

2?2 -1? 3n?n+1? n =3· - 6n·2 + , 2-1 2 3n?n+1? n ∴Sn=(6n-6)·2 +6- . 2 21.解:(1)∵4Sn= (an+1) ,①
6
2

∴4Sn-1=(an-1+1) (n≥2),② ①-②得 4(Sn-Sn-1)=(an+1) -(an-1+ 1) . ∴4an=(an+1) -(an-1+1) . 化简得(an+an-1)·(an-an-1-2)=0. ∵an>0,∴an-an-1=2(n≥2). ∴{an}是以 1 为首项,2 为公差的等差数列. ∴an=1+(n-1)·2=2n-1. (2)bn= 1 1 1 1 1 = = ( - ). an·an+1 ?2n-1??2n+1? 2 2n-1 2n+1
2 2 2 2

2

1 ∴Tn= 2



1 1 1 1 1 ?1- ?+? - ?+?+? - ? 3 3 4 2n-1 2n+1



1 1 n = (1- )= . 2 2n+1 2n+1 1 1 (3)由(2)知 Tn= (1- ), 2 2n+1

Tn+1-Tn= (1-

1 2

1 1 1 )- (1- ) 2n+3 2 2n+1

1 1 1 = ( - )>0. 2 2n+1 2n+3 ∴数列{Tn}是递增数列. 1 ∴[Tn]min=T1= . 3 ∴

m 1 23 < ,∴m< . 23 3 3

∴整数 m 的最大值是 7.

22.解:(1)设 DN 的长为 x(x>0)米, 则 AN=(x+2)米.
7



DN DC 3?x+2? = ,∴AM= , AN AM x
2

3?x+2? ∴SAMPN=AN·AM= ,

x

3?x+2? 由 SAMPN>32,得 >32.

2

x

又 x>0,得 3x -20x+12>0, 2 解得:0<x< 或 x>6, 3 2 即 DN 长的取值范围是(0, )∪(6,+∞). 3 (2)矩形花坛 AMPN 的面积为

2

y=

3?x+2?

2

x x



3x +12x+12

2

x
12 3x· +12=24,

12 =3x+ +12≥2

x

12 当且仅当 3x= ,即 x=2 时,

x

矩形花坛 AMPN 的面积取得最小值 24. 故 DN 的长为 2 米时,矩形 AMPN 的面积最小, 最小值为 24 平方米.

8


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