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高中数学竞赛专题讲座:三角函数与向量


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高中数学竞赛专题讲座:三角函数与向量
一、三角函数部分 1.(集训试题 . 集训试题 集训试题)在△ABC 中,角 A、B、C 的对边分别记为 a、b、c(b≠1),且

C , A

sin B 都是方程 log x=log (4x-4)的根,则△ABC(B) b b sin A A.是等腰三角形,但不是直角三角形 B.是直角三角形,但不是等腰三角形 C.是等腰直角三角形 D.不是等腰三角形,也不是直角三角形 2 解:由 log b x=logb(4x-4)得:x -4x+4=0,所以 x1=x2=2,故 C=2A,sinB=2sinA,

因 A+B+C=180°,所以 3A+B=180°,因此 sinB=sin3A,∴3sinA-4sin3A=2sinA, ∵sinA(1-4sin2A)=0,又 sinA≠0,所以 sin2A=

1 1 ,而 sinA>0,∴sinA= . 4 2

因此 A=30°,B=90°,C=60°。故选 B。 吉林预赛) 2. 2006 吉林预赛)已知函数 y=sinx+acosx 的图象关于 x=5π/3 对称,则函数 y=asinx+cosx 的图象的一条对称轴是(C) ( A.x=π/3 B.x=2π/3 C.x=11π/6 D.x=π 3.2006 年南昌市)若三角形的三条高线长分别为 12,15,20,则此三角形的形状为( B ) 年南昌市) A.锐角三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形 D.形状不确定 4. 2006 年南昌市)若 a = sin θ + tan θ , b = cos θ + cot θ ,则以下诸式中错误的是( B ) 年南昌市) ( ab 1 1 ab A. sin θ = B. cos θ = b +1 a +1 2 (a + b + 1) + 1 2ab (a b)(a + b + 2) D. tan θ cot θ = C. tan θ + cot θ = (a + 1)(b + 1) (a + 1)(b + 1) 5. 2006 安徽初赛)已知△ABC 为等腰直角三角形,∠C = 90°,D、E 为 AB 边上的两个点,且点 D 在 AE 之间, 安徽初赛) ( ∠DCE = 45°,则以 AD、DE、EB 为边长构成的三角形的最大角是 ( ) A.锐角 B.钝角 C.直角 D.不能确定
6. 2006 陕西赛区预赛)若 sin 陕西赛区预赛) ( A. [0,

π
4

4 4 2 1 3 10 7. 2006 年江苏)在△ ABC 中, tan A = , cos B = 年江苏) .若△ ABC 的最长边为 1 ,则最短边的长为 ( D ) ( 2 10 4 5 3 5 2 5 5 A. B. C. D. 5 5 5 5 x 8.(2005 年浙江 年浙江)设 f1 ( x ) = 2 , f 2 ( x ) = sin x + cos 2 x , f 3 ( x ) = sin + cos 2 x , f 4 ( x) = sin x 2 ,上述函数中, 2
周期函数的个数是( B ) A.1 B .2 【解】 f 1 ( x) = :
C .3 D.4

]

θ cos3 θ ≥ cos θ sin θ , 0 ≤ θ < 2π ,则角 θ 的取值范围是(C) π π 5π π 3π B. [ , π ] C. [ , ] D. [ , )
3

4

4

2 是以任何正实数为周期的周期函数; f 2 ( x) 不是周期函数。 因为 sin x 是以 T1 = 2π 为周期 2π 的周期函数 , cos 2 x 是以 T2 = 为周期的周期函数 , 而 T1 与 T2 之比不是有理数,故 f 2 ( x) 不是周期函数。 2 2π x f 3 ( x) 不是周期函数。 因为 sin 是以 T1 = 2 2π 为周期的周期函数, cos 2 x 是以 T2 = 为周期的周期函数, 2 2
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T1 = 2 ,故 f 3 ( x) 是周期函数. f 4 ( x) = sin x 2 不是周期函数.因此共有 2 个周期函数. ∴ 选 【 B 】 T2 9.(2005 年浙江 sin x + sin y = 1 ,则 cos x + cos y 的取值范围是 年浙江)若 ( )
而 A. [2, 2] 【 解 】: 设
2

B. [1, 1]

C. [0, 3 ]

D. [ 3 , 3 ]

cos x + cos y = t ,
2



cos x + 2 cos x cos y + cos 2 y = t 2 。 又 由
2

sin x + sin y = 1 , 故

sin x + 2 sin x sin y + sin y = 1 。因此有 2(cos x cos y + sin x sin y ) = t 2 + 1 ,即 2 cos( x y ) = t 2 + 1
由于 1 ≤ cos( x y ) ≤ 1 ,所以有 t 2 ≤ 3 ,即 3 ≤ t ≤ 3 。 ∴选 【 D 】 10. (2005 全国 ABC 内接于单位圆,三个内角 A、B、C 的平分线延长后分别交此圆 全国) A B C AA1 cos + BB1 cos + CC1 cos 2 2 2 的值为 于 A1 、 B1 、 C1 。则 ( ) sin A + sin B + sin C A.2 B.4 C.6 D.8 解:如图,连 BA1 , 则 A A1 = 2 sin( B + A ) = 2 sin( A + B + C + B C ) = 2 cos( B C ). 2 2 2 2 2 2

∴ AA1 cos

cos 3θ 1 sin 3θ = ,则 = 7/3 cos θ 3 sin θ + 12(2004 年浙江省预赛)设 ai ∈ R (i = 1,2, n), α , β , γ ∈ R, 且 α + β + γ = 0,则对任意 x ∈ R , 年浙江省预赛) (
11(2006 陕西赛区预赛)已知 θ 为锐角,且 ( 陕西赛区预赛)

A B C A A+ BC A+C B π π = 2 cos( ) cos = cos + cos = cos( C ) + cos( B ) 2 2 2 2 2 2 2 2 B C A = sin C + sin B , 同 理 BB1 cos = sin A + sin C , CC1 cos = sin A + sin B ,∴ AA1 cos + BB1 2 2 2 B C 2(sin A + sin B + sin C ) = 2.选 A. cos + CC1 cos = 2(sin A + sin B + sin C ),∴ 原 式 = 2 2 sin A + sin B + sin C

∑ 1 + aα
i =1

n



1
x

i

+ ai 1

(α + β ) x

+ +

1 + aiβx
βx

1 1 + ( β +γ ) x γx 1 + ai + ai(α +γ ) x + ai 1 1 + ( β +γ ) x γ x + ai 1 + ai + ai(α +γ ) x

=

n

.

解:

1 + a i + ai
=
γx

αx

(α + β ) x

1 + ai

ai ai(γ +α ) x 1 + (γ +α ) x + = 1, γx (α +γ ) x γx γx ai + ai + 1 ai + 1 + ai 1 + a i + ai(α +γ ) x

所以,



1 1 1 + + (α + β ) x βx ( β +γ ) x γ x αx 1 + ai + ai 1 + a i + ai(α +γ ) x + ai i =1 1 + a i
n

= n.

13 ( 2006

年 浙 江 省 预 赛 ) 设 a, b 是 非 零 实 数 , x ∈ R , 若

sin 4 x cos 4 x 1 + = 2 ,则 2 2 a b a + b2

1 sin 2008 x cos 2008 x + = 2 2006 2006 a b (a + b 2 )1003
解:已知

sin 4 x cos 4 x 1 + = 2 , ……………… (1) 2 2 a b a + b2 b2 a2 4 4 4 4 将(1)改写成 1 = sin x + cos x + 2 sin x + 2 cos x . a b
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而 1 = (sin x + cos 2 x) 2 = sin 4 x + cos 4 x + 2 sin 2 x cos 2 x .
2

b2 a2 sin 4 x 2 sin 2 x cos 2 x + 2 cos 4 x = 0 . a2 b 2 sin 4 x cos 4 x a b 即 sin 2 x cos 2 x = 0 , 也即 = ,将该值记为 C。则由(1)知, b a4 b4 a 1 1 a 2C + b 2C = 2 。于是有, C = 2 . 2 a +b (a + b 2 ) 2
所以有 而

sin 2008 x cos 2008 x 1 1 + = a 2 C 502 + b 2 C 502 = (a 2 + b 2 ) 2 = 2 . 2006 2006 2 1004 a b (a + b ) (a + b 2 )1003
cr 的取值范围是 S

14 ( 200 6 天津 ) 在 RtABC 中, c , r , S 分别表示它的斜边长,内切圆半径和面积,则

[2 2 2,1)



15(200 6 天津)已知 A( 2 cos α , 3 sin α ) , B ( 2 cos β , 3 sin β ) , C (1,0) 是平面上三个不同的点,且满足关系式 ( 天津)

CA = λ BC ,则实数 λ 的取值范围是
16(2006 年江苏)设 cos 2 = ( 年江苏)

1 ≤λ≤3 3



2 11 4 4 ,则 cos + sin 的值是 . 3 18 π 3π π π 1 172006 吉林预赛)若 sin 2 ( x + ) sin 2 ( x ) = ,且 x ∈ ( , ) ,则 tanx 的值为__________. 吉林预赛)
12 12 4

2 4

18(2006 年南昌市)已知 sin θ + cos θ = ( 年南昌市)

2 π 8 6 ,( <θ<π ) ,则 tan θ cot θ =_ ____. 5 2 23 19. 2006 年上海)设 n ( n ≥ 2) 是给定的整数, x1 , x2 , , xn 是实数,则 sin x1 cos x2 + sin x2 cos x3 + + sin xn cos x1 年上海) ( n 的最大值是 . 2 20. 2004 全国)在平面直角坐标系 xoy 中,函数 f ( x ) = a sin ax + cos ax ( a > 0) 在一个最小正周期长的区间上的图 全国) (
像与函数 g ( x ) =

a 2 + 1 的图像所围成的封闭图形的面积是________________. 1 2π 2 2 解: f ( x ) = a + 1sin( ax + ), 其中 = arctan ,它的最小正周期为 ,振幅为 a + 1 。由 f ( x ) 的图像与 a a 2π 2 g ( x) 的图像围成的封闭图形的对称性,可将这图形割补成长为 、宽为 a + 1 的长方形,故它的面积是 a 2π a2 + 1 。 a 21.(2005 全国 α 、 β 、 γ 满足 0 < α < β < γ < 2π ,若对于任意 全国)设 x ∈ R, cos( x + α ) + cos( x + β ) + 4π cos( x + γ ) = 0, 则 γ α = .
3 解:设 f ( x) = cos(x + α ) + cos(x + β ) + cos(x + γ ), 由 x ∈ R , f ( x) ≡ 0 知, f (α) = 0, f (γ ) = 0, f (β ) = 0, 即 cos( β α ) + cos(γ α ) = 1, cos(α β ) + cos(γ β ) = 1 , cos(α γ ) + cos( β γ ) = 1.
∴ cos( β α ) = cos(γ β ) = cos(γ α ) =

∵ 0 < α < β < γ < 2π ,
只有 β α = γ β =

∴ β α , γ α , γ β ∈{

β α < γ α ,γ β < γ α.

2π 4π . ∴γ α = . 3 3

2π 4π , }, 3 3



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3 3 即 cos( x + α ) + cos( x + β ) + cos( x + γ ) = 0. 二、向量部分
1.(集训试题)已知 a =(cos 则△OAB 的面积等于

2π 2π 4π ,有β =α + ,γ = α + , x ∈ R, 记 x + α = θ , 3 3 3 2π 2π 4π 4π ), sin(θ + )), (cos(θ + 由于三点 (cosθ , sin θ ), (cos(θ + ), sin(θ + )) 构成 3 3 3 3 2 2 单位圆 x + y = 1 上正三角形的三个顶点.其中心位于原点,显然有 2π 4π cosθ + cos(θ + ) + cos(θ + ) = 0.
另一方面,当 β α = γ β =

2 2 π, sin π), OA = a b , OB = a + b ,若△OAB 是以 O 为直角顶点的等腰直角三角形, 3 3
( )

1 A.1 B. C.2 2 (a + b)(a b) = 0 解:设向量 b =(x, y),则 , | a + b |=| a b |

3 D. 2

1 3 1 3 ) ( x , y + =0 ( x , y + 2 2 2 2 , 即 1 2 3 2 1 2 3 2 ( x 2 ) + ( y + 2 ) = ( x + 2 ) + ( y 2 ) 2 2 1 3 1 3 1 x + y = 1 即 . ∴b = ( , ) 或 ( , ) ,∴S△AOB= | a + b || a b | =1。 2 2 2 2 2 x = 3 y
2. 2004 全国)设 O 点在 ABC 内部,且有 OA + 2OB + 3OC = 0 ,则 ABC 的面积与 AOC 的面积的比为 ( 全国) ( ) A.2 B.

3 2

C.3

D.

5 3
A

解:如图,设 D,E 分别是 AC,BC 边的中点, 则

OA + OC = 2OD 2(OB + OC ) = 4OE

(1)
D

(2)
B E

O

由(1) (2)得, OA + 2OB + 3OC = 2(OD + 2OE ) = 0 , 即 OD与OE 共线, 且 | OD |= 2 | OE |

C

S AEC 3 S 3× 2 = , ∴ ABC = = 3 , 故选 C。 2 S AOC 2 S AOC 2 1 3. (2006 陕西赛区预赛)如图 1,设 P 为△ABC 内一点,且 AP = AB + AC , 5 5 ∴
则△ABP 的面积与△ABC 的面积之比为( A )

2 5 1 D. 3 4.(2005 年浙江 年浙江)已知 a , b 是两个相互垂直的单位向量,而 | c |= 13 , c a = 3 , c b = 4 .
A. B. 则对于任意实数 t1 ,t 2 , | c t1 a t2 b | 的最小值是 A.5 B.7 C.12 ( D.13 )

1 5 1 C. 4

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【解】 :由条件可得

c t1 a t 2 b = c 6t1 8t 2 + t1 + t 2
2

2

2

2

= 169 + (t1 3) 2 + (t 2 4) 2 25 = 144 + (t1 3) 2 + (t 2 4) 2 ≥ 144
当 t1 = 3, t 2 = 4 时, c t1 a t 2 b
2

= 144 。

∴选 【 C 】

5.(2005 全国 )空间四点 A、B、C、D 满足 | AB | = 3 , | BC | = 7 , | CD | = 11 , | DA | = 9 , 则 AC BD 的取值 ( ) A.只有一个 B.有二个 C.有四个 D.有无穷多个 解:注意到 3 + 11 = 1130 = 7 + 9 , 由于 AB + BC + CD + DA = 0, 则 DA = DA =
2 2 2 2
2 2

( AB + BC + CD) 2 = AB 2 + BC 2 + CD 2 + 2( AB BC + BC CD + CD AB) = AB 2
BC 2 + CD 2 + 2( BC + AB BC + BC CD + CD AB ) = AB 2 BC 2 + CD 2 + 2( AB +
2

BC ) ( BC + CD), 即 2 AC BD = AD 2 + BC 2 AB 2 CD 2 = 0,∴ AC BD 只有一个值得 0,故选 A。
7. 2006 年南昌市)等腰直角三角形的直角顶点 A 对应的向量为 A (1, 0 ) ,重心 G 对应的向量为 G ( 2, 0 ) ,则三角形另二 ( 年南昌市) 个顶点 B 、 C 对应的向量为_____ 6. 2006 吉林预赛) ( 吉林预赛) 已知 P 为△ABC 内一点, 且满足 3PA + 4 PB + 5 PC = 0 , 那么 S△PAB: △PBC: △PCA = S S .

5 3 , ± _________. 2 2 2 的圆周 2
.

8. 2006 年浙江省预赛)手表的表面在一平面上。整点 1,2,…,12 这 12 个数字等间隔地分布在半径为 ( 年浙江省预赛) 上。从整点 i 到整点(i+1)的向量记作 t i t i +1 ,则 t1t 2 t 2 t 3 + t 2 t 3 t 3 t 4 + + t12 t1 t1t 2 = 解:连接相邻刻度的线段构成半径为

6 3 9

2 的圆内接正 12 边形.相邻两个边向量的夹角即为正 12 边形外角,为 30 2
2

2 3 2 π 2 3 cos π = 2 2 3 3 . 共有 度。各边向量的长为 2 sin = 2 . 则 t1t 2 t 2 t 3 = 2 2 12 4 4 6 4 2 12 个相等项. 所以求得数量积之和为 6 3 9 .

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